一道椭圆离心率问题的常规解法
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邹生书,男,1962年12月出生,中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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一道椭圆离心率问题的常规解法
湖北省阳新县高级中学 邹生书
题目:已知点A是椭圆的短轴端点,且该椭圆以A为直角顶点的内接等腰直角三角形有且仅有三个,求椭圆离心率的取值范围.
解:不妨设椭圆的短半轴长为1,长半轴长为a,则椭圆的标准方程为x2 /a2+y2= 1(a>1).设椭圆以A为直角顶点的内接等腰直角三角形为ABC,如图所示。
因为AB与AC垂直,由图知直线AB,AC的斜率均存在且互为负倒数,不妨设直线AB的方程为y=kx-1(k>0),将其代入椭圆方程整理得
因该椭圆以A为直角顶点的内接等腰直角三角形有且仅有三个,所以关于k的方程②有3个不等正根,
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秋 色
秋风吹过水无波,浪濯残蓬涌运河。
弦月朦胧清朗照,未知光景怎嗟哦。
对人性不要失望,而要懂得体谅。对个性不要固执,而要能够改变。对本性不要修饰,而要恢复原来。想不如做,说不如行。善观于己者,必善观于人。话宜中肯,不宜好;人宜中道,不宜强。灿烂只是短暂,平淡方能长久。静静观察变化,渐渐有所体悟。有了定位,才有了方向;有了实力,才有了希望。
(以上诗文由汪跃中老先生提供)