罗小明：锲而不舍勤思考 别出心裁巧作答——对一道二元条件分式最值问题的试解与讨论

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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锲而不舍勤思考  别出心裁巧作答

——对一道二元条件分式最值问题

的试解与讨论

湖南省益阳市牌口学校        罗小明

    求解最值问题的方法有很多，诸如三角换元法、△法、导数法、放缩法、柯西不等式法、参数方程法、恒成立法、先猜后证法、几何法等等，当然我们还可以综合上述方法来求解.下面我想通过多种方法与途径来对一道二元条件分式最值问题进行求解与讨论，以此达到活跃思维，拓宽思路，触类旁通，提升解题能力之目的.

评析：由待求式子为分式的特征，可设比值为t，通过引入参数后可将变量合二为一，代入条件等式可转化为一元二次方程，应用“△法”求得参数t的取值范围，进而获解.显然我们还可以得到y/x的最小值.

解法2：应用“柯西不等式” .

评析：类似解法1设y/x=t，应用整体思想将常数6换成（x-3）²+（y-3）²,再运用柯西不等式列出关于参数t的不等式，求得t的取值范围，非常巧妙获解.

解法3：应用“几何法” .

评析：类似解法1和解法2设y/x=t，注意到条件等式为圆的标准方程，而满足条件的实数对（x，y）可看着圆上的动点，这样就可以把y/x理解为动点（x，y）与原点所成直线的斜率，到这里自然而然联想到“几何法”来解决问题了.显然只有当直线y=tx与圆相切时，才能取得斜率t的最大值和最小值.

解法4： 圆的切线方程+方程思想+几何法.

评析：注意到解法3中求y/x的最大值时，只有当过原点的直线与已知圆相切时才能取得最值，因此自然想到两点：①圆的切线方程；②切点在已知圆上.通过它们可以列出方程组，从而求得切点坐标，利用极端原理来求解本问题.

解法5： 参数方程+柯西不等式.

评析：此解法先利用圆的参数方程将动点坐标（x,y）表示为三角函数形式，然后代入y/x中，并设比值为k.再应用柯西不等式建立关于k的表达式来求解.

解法6： 参数方程+几何法.

评析：同解法5先利用圆的参数方程表示出y/x，再利用几何法来求y/x的取值范围，从而可以求得y/x的最大值.

解法7： 参数方程+△法.

说明：同解法6先利用圆的参数方程表示出y/x，再利用△法列出关于参数k即y/x的不等式，从而求得y/x的最大值，解答过程从略.

解法8： 参数方程+万能公式+△法.

评析：本解法不同于解法4、5、6的是利用圆的参数方程后，再使用正、余弦的万能公式来把变量统一为θ角的半角的正切，最后使用△法来解决问题.

解法9： 参数方程+导数+对称性.

评析：本解法利用圆的参数方程表示出y/x，然后通过求导得出关于角θ的导函数，从而求得一个极值点，再利用关于直线y=x对称的直线的斜率关系来求得y/x的最值.

我通过尝试用不同方法解答上述问题后，下面提出几个变式题供各位有兴趣的朋友思考.

【后记】数学之美在于变，数学之变在于思，数学之乐在于勤.盛夏酷热，连日来外面骄阳似火，我蹲在书房时而推断，时而躺在地板上写写画画.虽挥汗如雨，湿透衣衫，但每当一种新的思路若隐若现，我便会有一种莫名的冲动与快感，我不想有丝毫懈怠，以至于夜深人静时还躺在沙发上搜肠刮肚地去思考.这或许是我被众多数学行家孜孜不倦严谨求实的工作态度所感染，抑或我与生俱来喜好数学的缘故吧.既然我此生已离不开数学，那么就让她永远陪伴我，去享受她带给我的无穷乐趣吧！

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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