单墫：数学学习与解题

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单墫教授简介

单墫，1943年11月生，数学家，数学教育家，教授，博士生导师，我国著名数学传播、普及和数学竞赛的专家。1983年获理科博士学位（我国首批18名博士之一），1991年当选全国“优秀教师”，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年评为国家有突出贡献的中青年专家。曾任南京师范大学数学系主任，南京数学学会理事长，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，国家教委理科试验理专家组组长。1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参赛IMO均获总分第一。代表作“单墫解题研究丛书”，包括《解题研究》《解题漫谈》《我怎样解题》《数学竞赛研究教程》等。

谈数学学习

说实话，小时候我自己对数学并不是太上心，我其实更喜欢文史一些。喜欢看小说，看历史上的东西。那时候觉得数学好像没什么用，就是觉得比较容易。我小时候喜欢玩，下棋，比如象棋、军棋，那时候没有围棋，围棋那时候不普及，还有打扑克牌、牌九。其实我小的时候就是喜欢玩，数学也没花什么功夫，那时候也不像现在，要学这么多奥数。

我在小学的时候做算术应用题有个特点，老师那时候都要求解应用题要分开写几个式子，但是我基本上从头到尾就写一个式子。因为那时候数学学得不错，脑子转的很快，所以可以就写一个式子。 

当时小学数学比较容易，初中也学的很少。像平面几何，我们初中都不学相似，相似是在高中才学的，用的是苏联教材，但教材体系比较严谨。我觉得那时候初中对平面几何的表达都要求比较严格。我们做平面几何都要求打草稿的，我语文作文都不打草稿，但是做平面几何是要打一个草稿，然后再写上去。我们老师要求非常严格，他打个差都是打对角线的那种大差。他个子也高，嗓门也大，一叫大家都吓一跳，很认真、很严肃。但是初中数学那时确实不是很难，不过我们都觉得很有意思。好就好在不是很难，都是因为兴趣、喜欢，思维要求也不超过我们那时候学生的水平，学生只要努力就能达到了，要是太难的学生就该没有兴趣了。

到了高一稍微花了一点功夫，当时平面几何书是线装本的，刚发下来老师还没讲我就把题目都做了一遍。那个教材习题比较多，还是不错的。现在的教材也有这个特点，习题比较多。我那时就是喜欢自己看看书，主要还是因为有兴趣。我们那时候书看的也不多，平面几何好不容易有一本李俨的《近世几何学初编》，不过排版的错误非常多。后来有一个同学买了一本邱丕荣的《近世几何学》，大家当了宝贝，那个书相当好了，但也就只有平面几何而已，现在来看眼界非常浅，那时没看到过现在许多东西。我们那时候还组织了一个数学小组，叫FSTY，四个同学一起做《数学通报》上的题目。FSTY其实就是每个人的姓氏首字母。其实我们那时候就是觉得做数学题很好玩，也没有说特别懂什么的，都是自己感觉兴趣。但水平也就如此而已，那时候书也少，偶尔看几本书或者小册子，也没有看得太懂。那时候就喜欢玩儿，可是好玩的东西也少，下下棋啊，书也少。

上高中那会儿，我哥哥比我高两个年级，他是南京师范大学数学系的，所以有时候我就看看他的书。他到大学就学微积分了，我也拿他的书来看看，就是也看看微积分，比较浅的也看了一些。那时候我还在上中学，可能看的最花功夫的一本书是高扬芝的《极限浅说》，她是南京师范大学早期的系主任，一位女教授。说老实话，那本《极限浅说》写的一点都不浅，书中什么都要证的，而且印刷错误非常的多，真的看得头疼得要死，但是不管怎么说总想要看下来，确实觉得我看书的能力还是有的，坚持下来以后，后来看书不觉得吃力，就是说自学的能力还是有提高的，自己能看书了。

后来接触到的微积分教材比较严谨，我们大概在高三也看了。上大学以前我也看过，就是自学过一些东西。好像数学是看那些书，乱看看，也没有什么计划，我哥哥买了些书他看，我跟着他看，其他的真是没怎么用过功。

但是像我这样不用功的也少，我上课净是在胡思乱想，很少听课，常常上课做作业，在学校时就偷偷的做，放学时就做完了。那时候应该说课程比较轻松，相对来说比较容易，跟现在不好比，现在中学学的内容太多。我的小测验成绩往往不大好，数学可能好些，可以做出几道题，总归就是不非常用功，那时候不懂得用功。

谈数学解题

解题能力的话应该说也是要锻炼的。我在中国科学技术大学上研究生时，同宿舍的有肖刚和李克正，他们的解题能力都很强。因为我“文革”前就教书了，他们]那时候都还是学生，所以中学这块儿知识我觉得我还是很强的，就是做题能力很好，但是跟他们一比却不高。他们有很好的想法，而且思路很活，跟他们学到不少的东西。刚开始大家一起做题，做美国的大学生竞赛题，确实收获很大，他们思维很开阔，跟这两个人学到很多东西。他们对我的影响很大，解题方面的能力提高很多。你跟一个高手在一起切磋才会有很大的进步，就跟下棋一样，你跟一个下得好的一起下，很容易提高。

我还在解题上有个心得，就是总希望把题解得更好点，那就需要在做完以好好总结下。在解题这方面波利亚的几本书是相当好的，如《怎样解题》，他确实是有真正的看法。我一直是要求自己写完以后要回顾，要注意看能不能写得更好一点。对于老师来说，不是说一个问题你绕了5个圈子解决了，你还要带着人家再要绕5个圈子。即使你自己绕了5个圈子，讲的时候，要让人家少绕圈子这才是好的，所以要注意这个问题，每次都注意做的更好一点。

现在的学生做题很多了，也不一定对他的解题有特别大的帮助。首先现在的学生功利性太强，他不一定是因为喜欢数学而去做题的。

第二，确实是有些人把太难的题目给小孩了，这个不好。包括教材里面也有很多很难的题目，以前教材中的题目难度还比较平稳，偶尔有点难的题放在最后。现在你不知道忽然哪个难题就“锚”在里面，这个很不好。教学时可以补充一点课外题，但是基本上来说不要太难，更不要总是以中考、高考题为目标，我觉得现在有些题是过分难了。一个题目是你自己解出来，还是看了解答之后想出来的，是很不一样的。我们许多人碰到难题，看了解答觉得不难，其实是不恰当的。

第三，就是初中教材的要求太低，而课外的题太难。以前是课内外差别不大，课外难一点，但不是难很多，现在差距太大。这也许和现在的课标制定有关。初中课标把几何证明几乎取消了，把几何的表达要素基本上取消了，把三次方公式、十字相乘这些乘法公式基本取消，那等于初中的代数也没有学，所以初中的教材东西就很少。在学校里面没有让学生学，学生跑到外面学，这样就很花时间很花精力。你在学校给他学点儿就好了，他也不累，现在反而造成他负担很重。如果仅仅学在学校教的东西又太少，确实也不行，这是一个大问题。总归教育搞成这样，还是有问题的。从1980年代末以来，教育水平是有所下降。本来1980年代左右还是可以，现在除了应试高考的书基本上也没有什么了。

现在的问题就是给数学的负担太重，刚才讲初中教材内容少而空，高中教材的内容却是多而杂。你比如说算法的东西不应该在数学里面，应该是计算机的内容，这个应该把它切掉，把这个切掉以剩下的就少很多。现在学生学的确实比较多比较杂。作为数学本身应该学习的最基本的东西反而不存在了。就像我们学生在学校里面需要把身体锻炼好，你不能让学生既要会踢足球，又要会打篮球，他各个项可以自己去搞，我们教他们把身体基本素质锻炼好，提高基本的反应灵敏度，学一些基本的东西。数学要把自己的体系搞好，现在好多人不承认数学有一个体系，要把体系打掉，非要过度强调应用。数学主要是培养人的思维能力，当然学好数学需要的思维能力也是很强的。

总结数学解题的12条原则：

(1)要享受到解题的乐趣，对解题有浓厚的兴趣，能有几分痴迷更好；

(2)要有充足的信心；

(3)要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力；

(4)要做100道有质量的题目；

(5)反复探索，大胆地跟着感觉走；

(6)从简单的做起；

(7)从不同的角度看问题；

(8)学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”；

(9)设法创造条件，不断变更问题；

(10)引入适当字母，向基本量靠拢；

(11)力求简单自然，直剖核心；

(12)注意总结。

选自曹一鸣等《与数学家同行》、单墫《解题研究》。

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