华罗庚谈学习和研究数学的一些体会

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人贵有自知之明。我知道，我对科学研究的了解是不全面的。也知道，搞科学极重要的是独立思考，各人应依照各人自己的特点找出最适合的道路。听了别人的学习、研究方法，就以为我也会学习研究了，这个就无异于吃颗金丹就会成仙，而无需经过勤修苦炼了。

今天把我五十年来的经验教训，所见所闻、所体会的向你们介绍，目的在于尽可能把我的经验作为你们的借鉴，具体问题具体分析、具体的个人应当想出最适合自己的有效方法来。

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我第一点准备和同志们谈的问题是速度、是效率

速度是实现社会主义现代化的保证。例如说象我这样又老又拐的人，我在前头走你们赶我不费劲，一赶就赶上，而我要赶你们，除非你们躺下来睡大觉，否则我无论如何是赶不上的。现在世界上科学发展很快，我们如果没有超过美国的速度和效率就不可能赶上美国。我们没有超过日本的速度和效率，我们就不可能赶上日本。如果我们的速度仅仅和美、日等国一样，那么也只能是等时差的赶，超就是一句空话。所以说，我们应当首先在速度和效率上超过他们。

但要我们的速度和效率超过他们有没有可能呢？这似乎是一个大问题，其实不然，我在美国呆过，在英国呆过，也在苏联呆过。我看到他们的速度不是神话般地快不可及。我们是赶得上超得过的！我们许多美籍华人，如果他们的速度不能超过一般的美国人的话，也就不会成为现代著名的科学家了。所以事实证明，只要我们努力下功夫，赶超是完全可以的。就以我自己来说，我是1936年到英国的，在那里呆了两年，回国后在昆明乡下住了两年，1940年就完成了堆垒素数论的工作。1950年回国后，在1958年之前，我们的数论、代数、多复变函数论等等都达到了世界上的良好的水平。所以经验告诉我们，纯数学的一门学科有四五年就能在世界上见头角了。你们现在时代更好了，中央粉碎了“四人帮”，带来了科学的春天。在这样的条件下边，我敢断言，只要肯下功夫，努力钻研，只要不浪费一分一秒的时间，我们是能够赶上世界先进水平的。特别是我们数学，前有熊庆来、陈建功、苏步青等老前辈的榜样，现在又有许多后起之秀，更多的后起之秀也一定会接踵而来。

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消化

抢速度不是越级乱跳，不是一本书没有消化好就又看一本，一个专业没有爬到高处就又另爬一个山峰。我们学习必须先从踏踏实实地读书讲起。古时候总说这个人“博闻强记”、“学富五车”。实际上古人的这许多话到现在已是不足为训了，五车的书，从前是那种大字的书，我想一个指甲大小的集成电路就可以装它五本十本，学富五车，也不过十几块几十块集成电路而已。现在也有相似的看法，说某人念了多少多少书，某人对世界上的文献记得多熟多熟，当然这不是不必要的，而这只能说走了开始的第一步，如果不经过消化，实际抵不上一个图书馆，抵不上一个电子计算机的记忆系统。人之所以可贵就在于会创造，在于善于吸收过去的文献的精华，能够经过消化创造出前人所没有的东西。不然人云亦云世界就没有发展了，懒汉思想是科学的敌人，当然也是社会发展的敌人。

什么叫消化？检验消化的最好的方法就是“用”。会用不会用，不是说空话，而是在实际中考验。碰到这个问题束手无策，碰到那个问题又是一筹莫展，即使他能写几篇模仿性的文章，写几本抄抄译译著作，这同社会的发展又有什么关系呢？当然我不排斥初学的人写几篇模仿性的文章，但决不能局限于此，须发皆白还是如此。

消化，只有消化后，我们才会灵活运用。如果社会主义建设需要我们，我们就会为社会主义建设服务，解决问题，贡献力量。客观的问题上面不会贴上标签的，告诉你这需要用数论，那个是要用泛函，而社会主义建设所提出来的问题是各种各样无穷无尽的，想用一个方法套上所有的实际问题，那就是形而上学的做法。只有经过独立思考和认真消化的学者，才能因时因地根据不同的问题，运用不同的方法真正解决问题。

当然，刚才说消化不消化只有在实际中进行检验。但是同学们不一定就有那么多的实践机会，在校学习的时候有没有检查我们消化了没有的方法呢？我以前讲过，学习有一个由薄到厚，再由厚到薄的过程。你初学一本书，加上许多注解，又看了许多参考书，于是书就由薄变厚了。自己以为这就是懂了，那是自欺欺人，实际上这还不能算懂。而真正懂，还有一个由厚到薄的过程。也就是全书经过分析，扬弃枝节，抓住要点，甚至于来龙去脉都一目了然了，这样才能说是开始懂了。想一想在没有这条定理前，人家是怎样想出来的，这也是一个检验自己是否消化了的方法。当然，这个方法不如前面那种更踏实。总的一句话，检验我们消化没有，弄通没有的最后的标准是实践。是能否灵活运用解决问题。也许有人会说这样念书太慢了。我的体会不是慢了，而是快了。因为我们消化了我们以前念过的书。再看另一本书时，我们脑子里的记忆系统就会排除那些过去弄懂了的东西。而只注意新书中自己还没有碰到过的新东西。所以说，这样脚踏实地地上去，不是慢了而是快了。不然的话囫囵吞枣地学了一阵，忘掉一阵，再学再忘，白费时光是小，使自己“于国于家无望”事大。更可怕的是好高骛远。例如中学数学没学懂，他已读到大学三、四年级的课程，遇到困难，但又不屑于回去复习，再去弄通中学的东西，这样前进，就愈进愈糊涂，陷入泥坑，难于自拔。有时候阅读同一水平的书，如果我们以往的书弄懂了，消化了，那么在同一水平书里找找以往书上没有的东西就可以过去了。找不到很快送上书架，找到一点两点就只要把这一两点弄通就得了，这样读书就快了，不是慢了。

读书得法了，然后看文献，实际上看文献和看书没有什么不同，也是要消化。不过书上是比较成熟的东西，去粗取精，则精多粗少。而文献是刚出来的，往往精少而粗多。当然也不排除有些文章，一出来就变成经典著作的情况，但这毕竟是少数的少数。不过多数文章通过不多时间就被人们遗忘了。有了吸取文献的基础，就可以搞研究工作。

这里我还要强调一下独立思考。独立思考是搞科学研究的根本，在历史上，重大的发明没有一个是不通过独立思考就能搞出来的。当然，这并不等于说不接受前人的成就而“独立”“思考”。例如有许多人，搞哥德巴赫猜想，对前人的工作一无所知，这样搞，成功的可能性是很小的。独立思考也并不是说不要攻书，不要看文献，不要听老师的讲述了。书本、文献、老师都是要的，但如果拘泥于这些，就会失去创造力，使学生变成教师的一部分，这样就会愈缩愈小，数学上出了收敛的现象。只有独立思考才能够跳出这个框框，创造出新的方法，创造出新的领域，推动科学的进步。独立思考不是说一个人独自在那里冥思苦想，不和他人交流。独立思考也要借助别人的结果，也要依靠群众和集体的智慧。独立思考也可以补救我们现在导师的不足。导师经验较差，导师太忙顾不过来，这都需独立思考来补救。甚至于象我们过去在昆明被封锁的时候，外国杂志没处来，我们还是独立思考，想出新的东西来，而想出来的东西和外国人并没重复。即使有，也别怕。例如说，我青年时在家里发表过几篇文章，而退稿的很多，原因是别人说你的这篇文章那本书里已有此定理了，那篇文章在某书里也已有证明了等等。而对这种情况是继续干呢？还是就泄气呢？觉得上不起学，老是白费时间搞前人所搞过的东西。当时，我并没有这样想。在收到退稿时反而高兴，这使我明白，原来某大科学家搞过的东西，我在小店里也能搞出来。因此我还是加倍继续坚持搞下去了。我这里并不是说过去的文献不要看，而是说即使重复了人家的工作也不要泄气。要对比一下自己搞出来的同已有的有什么区别，是不是他们的比我们的好，这样就学习了人家的长处，就有进步，如果相比之下我们还有长处就增加了信心。

我们有了独立思考，没有导师或文献不全，就都不会成为我们的阻力。相反，有导师我们也还要考虑考虑讲的话对不对，文献是否完整了……。总之，科学事业是善于独立思考的人所创造出来的，而不是象我前面所说的等于几块集成电路的那种人创造出来的，因为这种人没有创造性。毛主席指出，研究问题，要去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里。做到这四点，就非靠独立思考不可，不独立思考就只能得其表，取其粗，只能够伪善杂存，无法明辨是非。

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搞研究工作的几种境界

1.照葫芦画瓢地模仿。模仿性的工作，实际上就等于做一个习题。当然，做习题是必要的，但是一辈子做习题而无创新又有什么意思呢？

2.利用成法解决几个新问题。这个比前面就进了一步，但是我们在这个问题上也应区别一下。直接利用成法也和做习题差不多，而利用成法，又通过一些修改，这就走上搞科学研究的道路了。

3.创造方法，解决问题，这就更进了一步。创造方法是一个重要的转折，是自己能力的提高的重要表现。

4.开辟方向，这就更高了，开辟了一个方向，可以让后人做上几十年，成百年。这对科学的发展来讲就是有贡献。我是粗略地分为以上这四种，实际上数学还有许多特殊性的问题。象著名问题你怎样改进它，怎样解决它，这在数学方面一般也是受到称赞的。在二十世纪初希尔伯特提出了二十三个问题。这许多问题，有些是会对数学的本质产生巨大的影响。费尔马问题我想这是大家都知道的。这个问题如用初等数论方法解决了，那没有发展前途，当然，这样他可以获得“十万马克”。但对数学的发展是没有多大意义的。而库麦尔虽没有解决费尔马问题，但他为研究费尔马却创造了理想数，开辟了方向。现在无论在代数、几何、分析等方面，都用上了这个概念，所以它的贡献远比解决一个费尔马问题大。所以我觉得，这种贡献就超过了解决个别难题。

我对同志们提一个建议，取法乎上得其中，取法乎中得其下。研究工作还有一条值得注意的，要攻得进去，还要打得出来。攻进去需要理论，真正深入到所搞专题的核心需要理论，这是人所共知的。可是要打得出来，并不比钻进去容易。世界上有不少数学家攻是攻进去了，但是进了死胡同就出不来了，这种情况往往使其局限在一个小问题里，而失去了整个时间。这种研究也许可以自娱，而对科学的发展和社会主义的建设是不会有作用的。

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我还想跟同学们讲一个字，“漫”字

我们从一个分支转到另一个分支，是把原来所搞分支丢掉跳到另一分支吗？如果这样就会丢掉原来的。而“漫”就是在你搞熟弄通的分支附近，扩大眼界，在这个过程中逐渐转到另一分支，这样，原来的知识在新的领域就能有用，选择的范围就会越来越大。我赞成有些同志钻一个问题钻许多年搞出成果，我也赞成取得成果后用“漫”的方法逐步转到其它领域。

鉴别一个学问家或个人，一定要同广，同深联系起来看。单是深，固然能成为一个不坏的专家，但对推动整个科学的发展所起的作用，是微不足道的。单是广，这儿懂一点，那儿懂一点，这只能欺欺外行，表现表现他自己博学多才，而对人民不可能做出实质性的成果来。

数学各个分支之间，数学与其它学科之间实际上没有不可逾越的鸿沟。以往我们看到过细分割、各搞一行的现象，结果呢？哪行也没搞好。所以在钻研一科的同时，把与自己学科或分支相近的书和文献浏览浏览，也是大有好处的。

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我再讲一个“严”字

不单是搞科学研究需要严，就是练兵也都要从难，从严。至于说相互之间说好听的话，听了谁都高兴。在三国的时候就有两个人，一个叫孔融，一个叫弥衡，弥衡捧孔融是仲尼复生。孔融捧弥衡是颜回再世。他们虽然相互捧得上了九霄云外，而实际上却是两个饭桶，其下场都是被曹操直接或间接地杀死了。当然，听好话很高兴，而说好话的人也有他的理论，说我是在鼓励年青人。但是这样的鼓励，有的时候不仅不能把年青人鼓励上去，反而会使年青人自高自大，不再上进。特别是若干年来，我知道有许多对学生要求从严的教师受到冲击。而一些分数给得宽，所谓关系搞得好的，结果反而得到一些学生的欢迎。这种风气只会拉社会主义的后腿，以至现在我们要一个老师对我们要求严格些，而老师都不敢真正对大家严格要求。所以我希望同学们主动要求老师严格要求自己，对不肯严格要求的老师，我们要给他们做一些思想工作，解除他们的顾虑。同样一张嘴，说几句好听的话同说几句严格要求的话，实在是一样的，而且说说好听话大家都欢迎，这有何不好呢？并且还有许多人认为这样是团结好的表现。若一听到批评，就认为不团结了，需要给他们做思想工作了等等。实际上这是多余的，师生之间的严格要求，只会加强团结，即使有一时想不开的地方，在长远的学习、研究过程中，学生是会感到严师的好处的。同时对自己的要求也要严格。大庆三老四严的作风，我们应随时随地、人前人后地执行。

我上面谈到过的消化，就是严字的体现，就是自我严格要求的体现。一本书马马虎虎地念这在学校里还可以对付，但是就这样毕了业，将来在工作中间要用起来就不行了。我对严还有一个教训，在1964年，我刚走向实践想搞一点东西的时候，在“乌蒙磅礴走泥丸”的地方，有一位工程师，出于珍惜国家财产的心情，就对我说：雷管现在成品率很低，你能不能降低一些标准，使多一些的雷管验收下来。我当时认为这个事情好办。我只要略略降低一些标准，验收率就上去了。但后来在梅花山受到了十分深刻的教训。使我认识到，降低标准1％，实际就等于要牺牲我们四位可爱的战士的生命。这是我们后来搞优选法的起点。因为已经造成了的产品，质量不好，我们把住关，把废品卡住，但并不能消除由于废品多而造成的损失。如果产品质量提高了，废品少了，那么给国家造成的损失也就自然而然地小了。我这并不是说质量评估不重要，我在1969年就提倡，不过我们搞优选法的重点就在预防。这就和治病、防病一样，以防为主。搞优选法就是防止次品出现。而治就是出了废品进行返工，但这往往无法返工，成为不治之症。老实说，以往我对学生的要求是习题上数据错一点没有管，但是自从那次血的教训，使我得到深刻的教育。我们在办公室里错一个1％，好象不要紧，可是拿到生产、建设的实践中去，就会造成极大的损失。所以总的一句话，包括我在内，对严格要求我们的人，应该是感谢不尽的。对给我们戴高帽子的人，我也感谢他，不过他这个帽子我还是退还回去，请他自己戴上。同学们，求学如逆水行舟，不进则退。只要哪一天不严格要求自己，就会出问题。当然，数学工作者，从来没有不算错过题的。我可以这样说一句，天下只有哑巴没有说过错话；天下只有白痴没想错过问题；天下没有数学家没算错过题的。错误是难免要发生的，但不能因此而降低我们的要求，我们要求是没有错误，但既然出现了错误，就应该引以为教训。不负责任的吹嘘，虽然可能会使你高兴，但我们要善于分析，对这种好说恭维话的人要敬而远之，自古以来有一句话，就是：什么事情都可以穿帮，只有戴高帽子不能穿帮。不负责任地恭维人，是旧社会遗留下来的恶习，我们要尽快地把它洗刷掉。当然，别人说我们好话，我们不能顶回去，但我们的头脑要冷静、要清醒，要认识到这是顶一文钱不值的高帽子，对我的进步毫无益处。

实事求是，是科学的根本，如果搞科学的人不实事求是，那就搞不了科学，或就不适于搞科学。党一再提倡实事求是的作风，不实事求是地说话、办事的人，就背离了党的要求。科学是来不得半点虚假的。我们要正确估价好的东西，就是一时得不到表扬，也不要灰心，因为实践会证明是好的。而不太好的东西，就是一时得到大吹大擂，不会多久也就会烟消云散了。我们要有毅力，要善于坚持。但是在发现是死胡同的时候，我们也得善于转移，不过发现死胡同是不容易的，不下功夫是不会发现的。就是退出死胡同时，也得搞清楚它死在何处，经过若干年后，发现难点解决了，死处复活了，我就又可以打进去。失败是经常的事，成功是偶然的，所有发表出的成果，都是成功的经验，同志们都看到了，而同志们哪里知道，这是总结了无数失败的经验教训才换来的。跟老师学习就有这样一个好处，好老师可以指导我们减少失败的机会，更快吸收成功的经验，在这个基础上又创造出更好的东西。还可以看到他的失败的经验，和山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村，怎样从失败又转到成功的经验，切不可有不愿下苦功绕幸成功的想法。天才，实际上在他很漂亮解决问题之前是有一个无数次失败的艰难过程。所以同学们千万别怕失败，千万别以为我写了一百张纸了，但还是失败了，我搞一个问题已两年了，而还没有结果等就丧失信心，我们应总结经验，发现我们失败的原因，不再重复我们失败的道路，总的一句话，失败是成功之母。

似懂非懂，不懂装懂比不懂还坏。这种人在科学研究上是无前途的，在科学管理上是瞎指挥的。如果自己真的知已和承认不懂，则容易听取群众的意见，分析群众的意见，尊重专家的意见，然后和大家一起做出决定来，……。特别对你们年青人，没有经过战火的考验(战火的考验是最好的考验，错误的判断就打败仗，甚至于被敌人消灭)，也没有深入钻研的经验，就不知道旁人的甘苦。如果没有组织群众性的搞科学研究的锻炼和能力，就必然陷入瞎指挥的陷井。虽然他(或她)有雄心想办好科学，实际上会造成拆台的后果。所以我要求你们年青人有两条：(1)有对科学钻深钻懂一行两行的锻炼。(2)能有搞科学实验运动，组织群众，发动群众，把科学知识普及给群众的本领。不然，对四个现代化来说就会起拉后腿的作用。对个人来说一事无成，而两鬓已斑。

当前在两条不可得兼的时候，择其一也可，总之没有农民不下田就有大丰收的事情，没有不在机器边而能生产出产品的工人。脑力劳动也是如此，养得肠肥脑满，清清闲闲，饱食终日无所用心的科学家或科学工作组织者是没有的。

单凭天才的科学家也是没有的，只有勤奋，才能勤能补拙，才能把天才真正发挥出来。天资差的通过勤奋努力，就可以赶上和超过有天才而不努力的人。古人说，人一能之己十之，人十能之己百之，这是大有参考价值的名言。

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要善于暴露自己

不懂装懂好不好？不好！因为不懂装懂就永远不会懂。要敢于把自己的缺点和不懂的地方暴露出来，不要怕难为情。暴露出来顶多受老师的儿句责备，说你“连这个也不懂’”，但是受了责备后不就懂了吗？可是不想受责备，不懂装懂，这就一辈子也不懂。科学是实事求是的学问，越是有学问的人，就越是敢暴露自己，说自己这点不清楚，不清楚经过讨论就清楚了。在大的方面，百家争鸣也就是如此，每家都敢于暴露自己的想法，每家都敢批评别人的想法，每家都接受别人的优点和长处，科学就可以达到繁荣、昌盛。“四人帮”搞得大家对问题表态不好，不表态也不好，明知不对也不敢暴露，这样就自然产生僵化，僵化是科学的死敌，科学就不能发展。不怕低，就怕不知底。能暴露出来，让老师知道你的底在那里，就可以因材施教。同时，懂也不要装着不懂。老师知道你懂了很多东西，就可以更快地带着你前进。也就是一句话，懂就说懂，不懂就说不懂，会就说会，不会就说不会，这是科学的态度。

好表现，这似乎是一个坏事，实际也该分析一下。如果自己不了解，或半知半解而就卖弄他的渊博，这是真正的好表现，这不好。而把自己懂的东西交流给旁人，使别人以更短的时间来掌握我们的长处，这种表现是我们欢迎的，这不是好(hào)表现，这是好(hǎo)表现。科学有赖于相互接触，互相交流彼此的长处，这样我们就可以兴旺发达。我上面所讲的有片面性，更重要的是为人民服务的问题。大家政治理论学习比我好，同时我们这里也没有时间了，就不在这里多讲了。我用一句话结束我的发言：

不为个人，而为人民服务。

当然我这篇讲话就是这个主题，但没能充分发挥，不过人贵有自知之明，我对这方面的认识更弱于我对数学的认识了，而政治干部比我搞业务的人就知道的更多了，我也就不想在这里超出我的范围多说了。

本文原载1979年1期“数学通报”

 THE END 

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