章建跃：数学思想方法的力量

章建跃妙解之慧 2022-07-16

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数学思想方法的力量

什么叫数学思想方法？它有什么作用？数学家和数学教育工作者对此有诸多论述。通常，大家从“数学思想”和“数学方法”两个角度来阐释，认为数学思想是对数学对象的本质认识，是认识具体数学概念、命题、规律、方法等的过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想；数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等，是由思想转化而来的具体操作方法，可以提高效果和效率。数学思想和数学方法是紧密联系的。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时则称数学方法。

我们说，

数学思想方法如根，它是发现和提出数学问题的源泉，是分析和解决数学问题的根本。

没有数学思想方法的教学，就如同一颗枯萎的树，不能生长、开花，更不能结果。例如，大家都知道等式、不等式的基本性质“是什么”，但为什么把它们称为“基本性质”？为什么要研究它们？特别是，如何才能让学生自己发现这些性质？课堂观察发现，很少有老师把这些纳入教学视野，实际上也鲜有老师去思考这些问题。因此教学中一般都把“能用基本性质解决问题”作为目标。我认为，这样的教学缺乏必要的数学思想，是“无根”的教学，学生学到的是没有生长力的知识，“学会思考”更是奢望。实际上，代数学的根源在于代数运算，要研讨的是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题；引进一种新的数（量）就要定义它的运算，定义一种运算就要研究运算律；字母代表数，数满足运算律，所以关于字母的运算也满足运算律；等等。这些就是数学教学中用来指导学生发现和解决代数问题的基本思想。它们是宏观的，但发挥着指路明灯的作用。例如，对字母施加运算，就要研究运算法则；由运算而得到各种代数式，就要进一步研究代数式的运算；运算结果必须保持原有代数式的意义不变，因此就要研究如何保证代数变换的等价性，而等式或不等式的基本性质保证了“运算中的不变性”。所以，称它们为“基本性质”当之无愧，它们根源于运算，体现了运算中的不变性。总之，代数教学中，应让学生体会到，从运算的角度入手，是发现和提出各种代数问题的“基本套路”。

我们说，

数学思想方法如手，它是解决问题的直接工具。

例如，等差数列、等比数列教学中，首先是如何引导学生发现一列数具有“等差”或“等比”的特征。通常是，举出一些数列的例子，然后问“观察上述数列，你有什么发现？”如果没有“代数学的问题源于代数运算”的思想，就缺乏观察的角度和操作的手段，“发现规律”就成了“撞大运”。而具备这样的思想，学生就能自觉地想到，“算一算，看看能出现什么规律”，由此而得到它们的共同特征就成为必然。实际上，这两类数列的名称就已指明了观察的方向：“等差”意味着“相减”（运算）——“差相等”；“等比”意味着“相除”（运算）——“比相等”。

我们说，

数学思想方法如船，在没有解决问题的直接方法时，它可以助你“渡过难关”。

例如，复数源于解方程，数学史上，在《重要的艺术》（

1545

）中，

Cardan

解决了“把

分为两部分，使其乘积为

”

的问题，列出的方程为

(10

－

)=40

，求得的根是

5±

。人们质疑，负数怎能开平方？

是“虚构的数”。想要接受它的人就想给出几何解释，让大家实实在在地“看到”它，达到“虚数不虚”的目的。三个世纪后，高斯等人给出了“复平面”，给出了复数及其运算的几何意义，再加上在物理学中得到应用，人们终于承认了复数。进一步地，数学家把复数与三角、向量等联系起来，开辟了一片充满生机的数学新天地。显然，“用图形表示复数”的思想，不仅使“虚数”渡过了“虚假”的危机，而且推动了数学的发展。

数学思想方法的力量无限，它蕴含于数学知识中，需要用心挖掘，应成为数学教与学的根、手和船。

2014-02-21

人教网

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