学习方法：笨人学数学的一点心得

静能生慧妙解之慧 2022-07-16

收录于合集

我把自己这个彻底的外行，学数学的一点经验分享给大家。

数学是什么？大部分中国人心目中的数学，其实按严格的分类，都属于应用数学。一句话：应用数学是用数字和公式描述客观世界的科学，研究的是客观世界的数量性质和运动规律；而数学（为了区分，多称作“纯数学”或“基础数学”）是含有公式的哲学，研究的是抽象概念的关系、运动规律和空间的性质，具有很强的主观性和艺术性。古人从猎物分配中总结了算术，从土地面积丈量中总结出基础的平面几何，可以说，先有应用数学后有纯数学。二者在300年前可以说不分彼此，牛顿、高斯、欧拉等大数学家同样也在应用数学、物理和哲学等领域取得累累硕果。后来，罗巴切夫斯基和黎曼等建立非欧几何学，使得人类第一次脱离生活中直观的三维空间，思考抽象空间的性质，这个事件标志着纯数学开始自立门户。而1900年希尔伯特在国际数学家大会上的讲话，可以说是纯数学从应用数学中彻底独立出来。二战后经济复苏，数学家有了资金支持可以无忧生计，全心全力做研究，数学得到长足发展。

为什么要学基础数学？常言道，练武不练功，到老一场空。倚天剑屠龙刀是绝世神兵，但也要拿得动舞得起来才有威力。看过电影《导火线》的筒子，肯定对里面甄子丹的背摔印象深刻。但如果没有甄子丹的身体素质和协调能力，硬用背摔这样的技能非伤到自己不可。应用数学的模型的发明研究者多数有很深的基础数学功底，故学习者若无一定的基础数学的训练，理解他们的成果就要花费很多的时间和精力，而且难以理解透彻和应用到位，更不要提举一反三了。而目前工业日新月异，金融界瞬息万变，相关的模型和公式也是层出不穷。学习者如果不能触类旁通，一个一个学是必然学不完的。一切高级的数学，归根结底都是微积分和线性代数的各种变化，这是哈佛数学系主任丘成桐和普林斯顿数学系前系主任释天(Elias Stein)经常告诫学生的话。而基础数学的初级学科，如数学分析和高等代数，就是对最基本的高等数学和线性代数进行理论上的完善，让学习者不仅仅能学会现有的套路，更能理解公式定理背后的道理，从而能更好地应对各种随机的情况，甚至于自创招式。故将来计划学习理工科和金融的学生，除了练好微积分和线性代数的计算，至少要学习一下这两个领域的证明课程，也就是一年的基础数学。这只是最低要求，物理学特别是理论方向的必修群论（属于抽象代数），量子力学要学希尔伯特空间（属于实变函数）。另外，有些较为高端的金融数学项目中的随机模型的课程，已经要求初步掌握测度论。具体到理工科和金融的名家案例：生物学家施一公高中数学竞赛河南省第一名，大学物理和生物双学位中修了大量数学；哈佛大学双聘教授庄小威本科在中科大读核物理，群论和偏微分方程是必修，出国读博时数学水准不亚于数学系毕业生；文艺复兴基金创始人、30年内杀入福布斯前50名的富豪赛猛宅(James Simons) 本身就是基础数学出身。近一点的例子：北大生命科学学院05级本科第一名、现斯坦福博士生高小井；06级本科第一名、现哈佛医学院博士生李鑫，高中都有数学奥赛经历，在大学也一直加强数学学习。MHC生物和化学双学位取得者，目前杜克大学医学院MD学生王晓雯，大学期间做完了著名的《吉米多维奇数学分析习题集》。本科阶段学好数学，是理工社科从业者一生的财富。

我的数学到底有多烂？做过《五年高考三年模拟》的朋友，都知道高考数学北京卷的特点是基础题特别基础，最后一道大题用超纲知识+新信息+方法综合拉开分数档次。我当时模考，就总是最后一道题得一两分或者全部放弃。我从小强于记忆而不善也不喜欢逻辑推理，故高中数学基本上靠题海练习、熟悉题型、照搬定式来得分。来到石溪，我学数学有过非常痛苦的经历。其实当时规划也有失误，很多地方失于急躁冒进，不然，完全可以不那么累而且学得更好。欧美有很多数学天才写过数学的学习心得，但鉴于他们起点太高，学习节奏可以很快，故方法未必适合大家。我的方法可以说是零起点的，目的是帮助像我一样没搞过竞赛的理科生以及文科生搞定美国大学的数学系要求，以在未来的职业竞争中，数学方面不至于拖累自己甚至领先身边人。那么如何学好数学？看我细细道来：

第一：要具备不卑不亢的心态。数学并非难，只是它的表述体系和思维要求，对于多数中国学生比较陌生。要把它当作全新的东西来认识，就跟学习一门新语言一样。以前自己学的东西，包括高中知识和AP数学等，记住概念即可，思维推导不要沿用。然后严格按照老师讲的思维方式，不厌其烦的推导和证明，慢慢一回生二回熟。几年前华人数学天才陶哲轩给UCLA本科生讲Honor Analysis（荣誉数学分析）的时候，上来进度非常慢，前一个月都在证明皮亚诺公理、集合论和基本的映射理论，但后来可以越学越快，而且学生越学越Hi。拳不离手，曲不离口，学语言要勤动口和动笔，学数学也要没事常动脑。就算文科生一样可以学好数学：20世纪俄罗斯数学学派掌门人、莫斯科国立大学数学系主任柯莫高（Kolmogorov,又译柯尔莫格洛夫）大一是读历史的。美国人魏爱华(Edward Witten)更奇葩，本科四年读的都是历史和语言学，博士申请UWM的经济学博士，读了半年退学，自修数学和物理,23岁考进Princeton，硕转博再同时搞数学和物理。16年后，他站在菲尔兹奖的领奖台上。我说过了基础数学其实是哲学，而哲学算文科还是理科都有道理。所以，就算国内数学学得再烂，只是按照国内标准比较烂，在美国完全有可能前途无量，要有信心。另一方面，国内就算奥赛摘金夺银，到美国也要扎扎实实的学。因为奥赛国际金牌在欧美的精英面前多数是渣：俄罗斯盖芳德(Gelfand)15岁读完代数几何教父高探蝶（Grothendieck）的名著EGA（代数几何原理），这套书让北大博士去读都够呛。我们石溪的米糯教授本科大一在《数学年鉴》上发论文，这是数学界最高学术期刊，每年中国大陆所有教授加起来在上面都很难有一篇文章发表。这里特别要说一下美国数学教学的二段教学法：不同于俄罗斯和中国上来就是带证明的数学分析和高等代数，美国的教学更为亲民：上来先是微积分和不带证明的线性代数，内容比较简单，作业和考试很多中国学生可以依靠高中基础秒杀之。但不少人练习不够，很多知识没搞透，方法技巧也不够熟练。然后到了第二段，数分和高代一开，很多人欲哭无泪。这就要求第一阶段，哪怕觉得这些题再傻，一本书一道不落地做完是很有必要的。然后第二段就要细读书，多问老师。在美国基础数学能学好的中国人，要么是自己天才，要么就把教授办公室的椅子坐穿。

第二，保证数学的学习时间。要是天才并且喜欢数学，那你自然会给数学大量时间。如果是为了将来胜任其他领域而学数学，要记住大一大二对于打好数学基础是最宝贵的。所以，建议每天先完成其他学科的作业，然后把大块时间分配给数学的看书做题细琢磨。我目前主要是修各种数学课和一门应用数学的概率论，每天时间大体是这样分割的：睡觉6小时，吃饭包括饭后的休息2小时，健身和洗澡2小时，交通1小时，个人爱好1小时（抄抄四书五经，读读文艺的歌词，主要是墨明棋妙的还有林夕的），机动时间1小时，剩下11小时是听课和课下学习。周末多用两小时坐校车去买个菜，路上一直思考，也相当于最终学习10小时。谁说数学天才每天悠哉游哉？那么最年轻的菲尔兹奖得主，27岁得奖的赛赫（Jean-Pierre Serre）够天才了吧？他自述道：习惯带着数学题入梦，醒来往往有思路。故我用最爱的《红楼梦》第一回作为他的雅号：“梦幻通灵”赛赫(与“造化阴阳”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯（Sir Michael Atiyah，英国皇家学会会长，敕封爵士）并列20世纪世界第一的数学家)。数学多好算好？别说拿A，满分都是不够的。一本书读完，知识和方法不超纲的题目要难不住你（by“现代微分几何之父”陈省身）。一本书读完，同一领域下一阶段的书要能自通30%（by菲尔兹奖得主Curtis McMullen的导师Dennis Sullivan，石溪数学四大导师之苏立文）。校内传的什么每天学习八小时那是给别的学科的。每天八小时想学好数学？做梦！

第三，学会科学的思维方法：下面分条目详解。数学天才请华丽丽的无视。

（1）数学思维的三个方面：任何数学的定义、定理说透了也就三部分：第一是它本身的文字和（或）符号、公式内容；第二是它在数学知识体系中的位置，与其他数学内容的逻辑关系，包括由什么可以推出来该定义或定理，它又可以（与其它定理一起）推出些什么；第三是它所涉及的范畴有什么具体实例（比如循环群就有旋转图形、整数加群和同余模加群等例子），这些例子又有何作用，能否在数学中或数学外（典型的如几何和物理）取得应用。这就分别是数学对象的本体论、方法论和目的论。柯莫高说：“的确学生对数学的适应性存在差异，这种适应性表现在：1，算法能力，也就是对复杂式子作高明的变形，以解决标准方法解决不了的问题的能力。2，几何直观的能力，对于抽象的东西能把它在头脑里像图画一样表达出来，并进行思考的能力。3，一步一步进行逻辑推理的能力。”这些对应的就是掌握数学概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做题，几何直观除了做题还要平时多留意，多联系生活实际；逻辑推理这个往往是中国学生的弱项，毕竟我们母语的方块字二维画面性远远超过西方拼音文字，而一维线形（逻辑链的内在属性）却不足。汉字个个如画，横竖左右写均可，而西方拼音文字就得一条路从左往右，上下写都够呛。故逻辑推理要特别练习。练习逻辑推理的方法关键在定理的证明，下面会详述。

（2）如何课前预习：一开始微积分可以多做一点，而数分和高代等带证明的预习下一节课内容即可。先回顾上堂课所学知识，再看新章节内容：先略读本章节，看清有几个定义（Definition），几个定理（Theorem）和引理（Lemma），有哪些例子（Example）和注释（Remark）。如果把数学比作一门语言，定义就是名词，定理和引理是句子，而例子和注释相当于古文经典中的注和疏。定义一定要自己品味，比较长的拆开句子成分慢慢看，不行就抄。日本第一个菲尔兹奖小平邦彦大学时抄过整本Van de Warden的代数，咱们抄书不丢人。定义要么是全新的，这个不急着理解，往后看看；要么是基于以前内容的，这个不妨回顾一下相关内容再继续看。遇到定理就要注意，课本的证明不要先看，自己理解定理内容后，把定理当作习题徒手证一遍，写下来，再与课本原文比较，查找二者的不同：自己的证明是不是漏某条件或者把某需要说明的当做显然了（初学者常犯错误），是不是有多余的语句，是不是有地方用错了。凡是不同处，都要重点思考，这样进步就快了。如果实在想不起来，就看看书本怎么证的。对于自己的不足，要整理到上述公式、逻辑或几何三个大类中，并提醒自己注意（如国内分析教材从罗尔定理证明拉格朗日中值定理，很多人不会把一般的函数构造成符合罗尔定理条件的函数，这个就牵涉到公式变形能力和逻辑能力）。引理也是这么证。别小看引理，朗兰兹猜想中的基本引理之一，吴宝珠证出来就是一个菲尔兹奖。至于例子，也是不要先看，自己看了定理，自己想至少两个例子，一个是典型的，一个是退化的极限情况（by Halmos，《我要做数学家》和《希尔伯特空间习题集》的作者，芝加哥大学鼎盛时期和陈省身等共事的数学家）。例如高中解析几何的双曲线，分母的a^2, b^2当然大于零，可以找出来一个例子。如果其中一项等于零，就退化成两条直线，这就是退化的极限情况。不要小看退化，这正是跟以前知识的联系。自己想了例子，其实潜意识中，注释的内容已经过了一遍。然后不必太早做习题，再回顾一下整个思维过程有没有需要看课本提示的地方，有没有自己能看懂但是跟以往惯性思维相悖的地方，有没有突然顿悟的地方。这都要记下来，上课等老师讲到这里时要格外留心。

（3）听课：美国的数学教授基本还是写黑板，而且不会太快。上课公式一写几黑板的那是应用数学教授，噼噼啪啪打幻灯的在石溪一定不是数学或物理教授。所以，有时间记笔记。但不必全记住，把预习的成果调动起来，老师讲的时候跟自己脑中的备份随时印证并修正。就一个建议，教授不停嘴，学生不动笔。真正听好了，上课一字不写又何妨？课下完全可以轻松补全并注上自己的心得见解。

（4）课下：先整理笔记，一定有自己的见解，全抄老师的对于学应数是有用的，对于学数学则是浪费时间。数学界的师生关系往往很融洽，但思维上绝对是批判继承和启发继承，学我者昌，似我者亡。然后是定义再品味一下，定理和引理自己再证一遍，比较老师的证明、课本的证明和自己当初的证明，这次不仅要能说出哪个好，还要能说出为什么好。然后是做题了。除了开始的微积分要刷书，带证明的课，课本做好作业题就够了，因为老师选的可能不是经典教材（经典的往往比较难，很多美国学生受不了）。但每个题要做精，做完一题回顾自己的思路历程，并对其中的公式变形、逻辑推理和几何直观进行归类。实在做不出来，画个记号，改天再看，两天都做不出来才可以看解答。对于解答中自己想不到的，要特别标注，常常回顾。然后就是选一本这一门课比较经典的书，按照上文预习和做题的路子走一遍。经典教材的知识点和思路要自己总结，每过一两章节，找一张大的纸画下来本章定理的逻辑体系图。经典教材的题目最好都做，做不出来，Office Hour坐穿椅子去。

（5）心理状态：很多人开始觉得数学难，然后生怕基础打得不牢，一个定理看半天，看似很认真很投入，其实就算理解了思维也很僵化，而且容易跟不上进度。这就像打羽毛球和练书法，你心里紧张，手抓得太紧，反而发不出力来，写的字也不好看。掌心要虚着，身体要保持随时可以发力的弹簧状，击球时蹬地转体推肩压臂一套动作一气呵成，手掌瞬间抓紧最后一次加速，这才能打出林丹那样硬砸开李宗伟铁板防御的扣杀。书法所谓挥洒，也是如此。要保持轻微的紧张和激动，有点小期待，随时能调动已有知识，并可以多角度观察新知识，思维能发散也能迅速收回并集中攻关。这种感觉一旦找到，妙不可言。不过重难点也要适当文火慢炖：如果教材中有令自己感到太难的思考，头一天理解了要标记，第二天要试着不看书回忆。曾任Princeton和University of Wisconsin Madison教授，现坐镇石溪的微分几何大家陈秀雄先生在《初遇尤金·卡拉比》中写道，当年导师卡拉比告诉过他：如果你不能在脑海中重复整个论证过程，那么它就没有成为你的一部分。

下面是几个本科课程的经典教材：

基础微积分：Stewart，Thomas，吉米多维奇选一个就可以。吉米可以晚一些，学数学分析时做。

基础线性代数：Gilbert Strang的Introduction to Linear Algebra, MIT OCW上有教学视频，作者亲自讲，非常非常适合入门。

高等代数（带证明的线代）：Friedberg的Linear Algebra。不要用那个Linear Algebra Done Right，太粗糙。

抽象代数：小丫挺（Michael Artin）的Algebra，国内张禾瑞的《近世代数基础》很好，毕竟是小丫挺的父亲丫挺先生（Emil Artin）的博士生，土豆网上有授课视频。学有余力的看Dummit & Foote的Algebra，再牛的挑战郎射日（Serge Lang）的Algebra。

数学分析：基础一般的，陶哲轩的Analysis I,II很好。基础很好的用苏联卓里奇（Vladimir Zorich）的Mathematical Analysis I,II，这是清华基础科学班大一数分教材。课外想自虐的用Rudin的Principles of Mathematical Analysis，即Baby Rudin。

复分析：经典的多数用Rudin的Real and Complex Analysis，不过有点小难。

实分析：这个不必看本科生专门的实分析，研究生的可以直接上，毕竟本科分析扎实的话，测度论可以直接看。上一条中Rudin的就好，另外有个Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications by Folland写的不错。至于释天的三卷分析，相当难，慎用。

微分方程：常微分方程很多人推荐Arnold的，不过偏难。偏微分一定要问老师，毕竟涉及的范畴太广了。

拓扑学：Munkres的不解释。如果多元微积分很好，可以用Milnor的那本小册子（Topology from the Differentiable Viewpoint）看看微分拓扑。

有条件的话，尽量使用西方原版教材及其中译本。如果用新中国成立后国内写的数学教材，一定要多咨询老师。毕竟各个学校的经典教材，实际使用时与该学校的教学相配合，换一个学校或老师未必适用，也未必适合自学。而国外的数学教材很多有几十个学校的使用记录，作者根据反馈有所增订，思路更有普适性。（本段原文为“永远不要用新中国成立后国内写的数学教材，特别是同济大学的高等数学，有知识性错误。”前半句太极端，在此致歉并更正。）

第四，打造良好的身体素质：数学是劳心的工作，如果身体素质不够，气血不足，将直接影响思维质量。数学牛人几乎没有不爱运动的：柯莫高70岁仍冬泳，注意，是莫斯科的冬天！陶哲轩骑山地车，高探蝶养牛（囧），陈秀雄卖萌（我坚持认为他是自然萌）。说说离我们比较近的，目前清华数学系第一名刘琳媛，我高中师妹，天天长跑，全程马拉松4小时内拿下。要想学好数学，摸爬滚打至少要喜欢一项。这里给男生推荐练习腹肌：首先这个可以天天练，作为读书的调剂（上肢和下肢如果负重，要隔天练才不会受伤）；其次腹肌训练能提高躯干供血，这样在各种环境（沙发，椅子，树上，火车或飞机上）看书都不易出现头晕或胸闷；最后当然是能吸引妹子。每天推荐训练量：腹肌撕裂者(Abs Ripper)或八分钟腹肌（8 Min Abs）教程一套（网上有），配合腿部负重（沙袋就好）；负重仰卧起坐50次每组x5组（开始可以20次每组x10组），负重悬垂举腿10-30每组x5组，负重俯卧挺身10-20次每组x5组。这对综合防身也有用：常言到手是两扇门，全靠腿打人。同样是低位置的快速踢腿，小腿发力叫下段踢，腰胯发力叫碎骨，只有用上腹部和背部的力量，才是令人闻风丧胆的“武神强踢”。

最后祝大家都能以高效率学好数学，享受学习数学的过程。各路高人欢迎拍砖。

本文的每条回复我都细看过，无论臧否，皆是动力。不过有一些内容，需要略作补充说明（补充说明本来另发日志，后发现整合进入原文更加直观。原文除错别字外一字不易，便于大家比较）：

１.这篇文章是帮助我这样基础不好的人学数学的，而绝非劝人做数学的。我提到的学习方法无非看书听课做题，这些只可以供本科和硕士阶段学数学用。读论文，查资料，听研讨班才是做数学的纯数学博士生的每天工作。做数学需要很多现代的数学工具，如李群论、表示论、算子代数等等，而这些我的文章中一个都没有推荐。如果要做数学，我列的书单全做透还是谈不上入门的，一定要多听教授指点。

２.我需要重申这篇文章的读者定位：首先是需要应用数学的理工科和社科同学，以及想学基础数学但中学期间没有受过系统训练的数学系同学（奥赛可以近似看作系统的思维训练而非数学训练，下文详述）。学习安排也需要明确一下：建议利用大一大二专业课不是特别重的时间（这是美国的情况，国内有些专业大一大二课程较重），尽可能利用选课或旁听的条件来掌握相当于国内数学系大一的数学分析和高等代数。国内这是四门课（各两学期），美国则是微积分两门，基础线形代数一门，高等代数一门，数学分析一到两门，故为五到六门，但实际工作量并不比国内的四门更多。这个工作量对于大多数比较努力的同学应该不难达成。至于抽象代数、实分析和复分析等并非对所有理工科和社科均必需，请根据具体情况按需学习。

３．一些具体的数学内容：首先是线性代数和高等代数的区别：我当然知道这两个学术领域范畴有差别，而不仅仅是难度和对证明的要求不同。但这里谈的是课程名称。美国的Introduction to Linear Algebra确实是数学系第一门代数类课程，接着是Linear Algebra。美国一般没有对应于“高等代数”的“Higher Algebra”或“Advanced Algebra”的课程名称。这两门学完，课程进度上等同于国内学完一年高等代数，下面可以学抽象代数了。然后是Gelfand读完EGA，我当时确实看到过一则消息这样写的，未加考证就直接用了，是我的失误，在此致歉。其实Gelfand比Grothendieck要年长不少，他15岁的时候Grothendieck还在童年。

4.关于教材的推荐：有人说我推荐的都太难，请去读Stewart 的微积分和陶哲轩的Analysis半小时，然后是否还是坚持此观点。Rudin的书主要是思路跳跃性大，讲完一个知识点马上就要灵活运用，而且默认读者的微积分和集合论有很好的基础，故不适合作为第一本分析教材。而卓里奇是知识量大并且对思维考察事无巨细，需要经常查资料或有老师带。如果这些都感到难，陶哲轩应当是最好的第一本分析教材之一，在解答的详细度和思路的严谨性上都堪称一绝。至于国内的教材的问题，主要不在定义上的错误，而在思路上的舍近求远和表述上的佶屈聱牙。比如同济版《线性代数》，上来先用一个很奇怪的“逆序数”概念来导出行列式的一个很不直观的定义（见《理解矩阵》）。又如同济的高等数学，这个的知识性错误见（http://news.cn.yahoo.com/10-03-/612/2jzpk.html）。当初我是听我们中学数学第一高手说的。此人高一做完Baby Rudin，高考去南京大学大气科学系，大二转入数学系后三年毕业（总共四年，未降级），然后去宾夕法尼亚大学从事微分几何和动力系统的研究。他入学就去听卡拉比的讨论班并提出让卡拉比都要思考片刻的问题。并非国内的数学教材都不好，只是每个领域，都是国外的更好一些。国外的书很多网站可以找到免费的，何必看国内的？

4.关于奥赛：奥数比起高考的数学，难度和深度上高很多，对锻炼思维有好处。但奥赛和科研路子还是不一样，如果是纯搞奥数，到研究阶段未必有大成就。陶哲轩的情况是小学时学完了澳洲的高中数学，小学高年级就在家附近的大学听数学课，然后12岁起顺手去参加奥赛。故想做数学家，比较容易达成的路子是童子功加上正统大学数学教学为主，奥赛成绩如何并无决定性意义。

5.关于翻译：无论做数学还是只学数学，都很辛苦。故娱乐万岁。翻译如果能博人一笑，不仅便于记忆，还能为大脑增氧。至于Grothendieck和Atiyah的封号来源：前者的自传《收获与播种》中用很大篇幅探讨东方哲学中的阴阳辩证关系，加上他提出很多代数几何的新概念，故得来“造化阴阳”的雅号；后者艾抵涯和辛格（I.M. Singer）提出的Atiyah-Singer Index Theorem，对分析、拓扑、微分几何等领域都产生了深远影响。加上艾抵涯自己带出来Donaldson一个菲尔兹奖得主，又力挺物理学家魏爱华（Edward Witten）获菲尔兹奖，并且喜欢帮助数学上比较后进的国家（担任中国和巴西的最高数学刊物的顾问等等），故送他雅号“迷津慈航”。

6.关于健身。用DNF的技能只是比喻，毕竟这几招很有渐进性。锻炼腹肌不仅男生可以练习，女生练也不错。健身房里时时有女生做腹肌撕裂者。一次学校主健身房人太多，改去一个宿舍楼的健身房，遇到一个身材修长堪比超模的白人女生，脚夹20磅哑铃做负重悬垂举腿，一组20个。女生如果担心长肌肉，只要不吃蛋白质粉，并且使用每组能做20次以上的较轻重量即可。