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数学教学——到底该教什么？
谈起古代数学，很多人都知道古希腊曾在几何学中获得了伟大成就，但我们中国古代数学曾经的历史却没那么了解。实际上，我国古代对于数学的研究也是非常深刻并且很辉煌的，对于中华民族乃至人类文明的发展都做出了很大贡献。下面，我们就把中国古代数学的发展分为三部分，为大家简单介绍一下我们自己的数学发展历史。 我们国家源远流长、起源甚早，在祖先从蛮荒走向开化的路途中，少不了对于数字和形状研究与琢磨。早在殷商时期（公元前1400——公元前1100年）挖掘的甲骨文中，就已经出现了13种计数单字。从“一”到“三万”，其中已经蕴含了十进制的规则。而对于几何知识来说，根据当时的传说，伏羲创造了“规”用来画圆，“矩”用来画方形。后来大禹治水之时，便左准绳、右规矩的来规划方向和形状。人们后来用这些工具丈量土地、测算山谷、计算产出、制定历法。商朝之后的周朝，更是把数学作为了名门贵族必须学习的六艺之一。但是在那个远古时期，普通百姓想要接触数学、学习数学知识还是非常困难的。
到了有史可追的春秋时期，皇权衰弱、诸王兴起。生产力的不断提高导致百姓必须要掌握一定的数学知识才能更好的为官、从商、务农。这时，大量的私人学塾出现。最晚在春秋末年人们就已经普遍的掌握了十进制的计数方法，并且可以轻易使用“算筹”这种工具进行运算。甚至人们已经熟练运用起了九九乘法口诀、整数四则运算和分数。这在世界史的同时期都是领先于人的。春秋而后便到了战国和两汉，在这个时间段，诸侯国都基本完成了封建制度的完善。此时是中国古代一次思想进步爆发时期，不论是哲学还是科学，都开始了百家争鸣的局面。这为各种科学技术的发展都提供了肥沃的土壤，也就是在此不久以后，我国古代伟大的数学专著《九章算术》也初露雏形。秦始皇结束了战国纷乱，一统华夏江山，按理说这时应该是数学家们集中起来，共同推动数学进步的一个时期，不过秦始皇的暴政加上他焚书坑儒的行动，给当时的文化产业造成了毁灭性的打击。这场文化浩劫持续到刘邦推翻暴政成立汉朝，数学和其他科学才得以重新发展。也就是在汉朝时期，人们开始进行先秦文化典籍的整理和抢救。而其中数学上抢救工作的结晶便是中国第一部数学专著《九章算术》被正式整理出来。它的作者已经不可考证，我们现在认为它是由历代各家所整理修订，逐渐形成定稿的。 《九章算术》涵盖了战国、秦朝、汉朝时期的数学成就，它还先进性的提到了分数问题和盈不足问题。《九章算术》按照不同的用途和问题的性质分为方田、粟米、衰分等九章。其中讲述了平面几何的计算、比例的算法、通过面积体积求边长径长、还介绍了开平方开立方的方法。特别是最后三章盈不足、方程、勾股更是体现出了先辈们的智慧。盈不足章节中提到了三种类型的盈亏问题，这是领先世界的成果，在传到西方以后，也造成了巨大影响。方程主要是研究一次方程组的解法，通过分离系数来表示线性方程也就是现在我们所说的“矩阵”；而其中的直除法是世界上最早的完整线性方程解法，在西方直到17世纪才提出了他们的完整解法。还引进并使用了负数的概念，这是世界数学史上的一次伟大突破——人类第一次突破了正数的范围，拓展了数系。在外国的数学发展史上，7世纪的印度才认识了负数。《九章算术》的最后一章“勾股”更是赫赫有名了。我们大多人熟知的勾股定理就是出自于九章算术的最后一章，书中提出了勾股数问题的通解公式。而在西方，不论是毕达哥拉斯还是欧几里得都只是得到了通解公式的几个特殊情况（如等腰直角三角形），直到公元300年左右他们才取得相似结果。而这已经比《九章算术》的出现晚了三百多年。《九章算术》的出现标志着我国古代数学形成了一个完整的体系。它是当时世界上最先进的数学宝典。在西方数学传入之前，朝鲜、日本等东亚国家都把《九章算术》作为数学教科书。同时其中一些篇章问题也经过印度和阿拉伯人传到了欧洲，对欧洲代数的复兴也起到了推动的作用。虽然《九章算术》也有着不能忽视的缺点，譬如缺少数学概念的定义和推导与证明。但是它对我国、对世界数学发展的贡献是无法抹去的。汉朝以后，进入了魏晋南北朝时期，在这个阶段，出现了我国古代伟大的三位数学家——刘徽与祖冲之父子。他们的研究也与数学中一直非常神秘的“圆周率”发生了联系。刘徽出生在西晋前后，他通过对《九章算术》中缺少注解、过程的缺陷进行了注解，著作了《九章算术注》一书。书中不但详细的解读了《九章算术》提到的各种问题。还在其基础上提出了极限思想，并且创立了“割圆术”这一突破性的数学方法。圆内接正多边形的边数无限增加，其周长就愈逼近圆周长。通过计算圆内接正一百九十二边形的面积，刘徽得出了圆周率约为3.1416。 而后的祖冲之父子则在割圆术的基础上把圆周率精确到了小数点后7位的π值。得出了圆周率超过3.1415926但不足3.1415927，甚至还算出了两个近似分数值，密率355/113和约率22/7，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值（公元466年）。现在我们可以轻易的算出圆周率的值，但在过去，欧洲直到十六世纪数学家们才算出同样的结果。祖冲之的计算领先了世界将近千年。魏晋南北朝之后便是唐朝。而从唐朝中叶到宋元时期，中国数学的发展达到了历史高潮。早在隋唐时期，中央直属机构国子监中便成立了算术管，同时设立了“算学博士”、“助教”来指导学生的学习。唐代的数学家李淳风在公元656年左右为《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》等十部数学典籍作注，也就是著名的《算经十书》。到了宋元时期，数学研究的繁荣顶点出现，在这一时期也涌现出了大批有成就的数学家。其中以“宋元四大家”为代表。在这个百花齐放的年代，中国古代数学发现了增乘开方、开四次方解法、开高阶等差级数求和、提出弓形弧长近似公式、负系数方程。以及朱世杰讨论的高次方程组的解法、高阶等差数求和还有高次内插法等等。美国著名科学史家曾评论朱世杰是“汉民族的、他所生存时代、同时也是贯穿古今的一位最杰出数学家。” 宋元时期，绘画、科学、数学都进入了古代最辉煌的时期
而到了之后的明清时期，由于西方数学著作的引入，中国的数学研究逐渐转入了低迷。不但在数学想法上缺少创新，而且问题逐渐脱离了实际生活的背景。这也是数学发展思想的转化和演变的过程。中国数学起源上古到西汉末期，发展在隋朝并且到元朝后期达到了顶点,之后一直到清朝中期发展的都比较缓慢。我们统计了中国古代数学的一些主要发展成果。3.几何思想起源（战国《墨经》）早于世界100多年6.分数运算及小数使用（公元一世纪《九章算术》）领先世界500年，而运 用最小公倍数和小数都领先了1000年7.负数（《九章算术》）领先印度600年，领先世界1600年但是我国古代数学研究有两个遗憾，一是由于地理、文化差异的影响，我国古代数学的绝大多数成就没有传播到全世界，而与外国学者和学术界的交流极其有限。二是公理化体系的缺失,没有严谨的推理过程，很难有更深入的探讨。中国古代数学最明显的特点是解决的往往是生活中实际遇到的问题；偏重于问题本身的求解，而非一些抽象的概念；往往列出明确的程序化的算法，来告诉你如何一步一步做下去。例如《九章算术》把当时人们关心的数学问题分成九类，对这九类大问题的不同小问题分别给出解决的方法。它给出的解决方法是算法化的，或者说是程序化、机械化的，使用者无需思考问题本身，只要按照算法正确操作下去，就能获得想要的结果。比方说计算物体的体积或面积，通过书中介绍的方法，即使是没有相关几何学背景，只学过简单算术的人也可以一步一步计算出相应的结果。西方古代数学的方法和思路与中国古代数学有着非常明显的差别。古希腊的数学主要遵循的是公理定理的证明体系：给出若干抽象的数学公理，然后通过推理一步一步推出各种定理。例如：几何原本中各个定理的证明，都是先给出事实存在的条件，再进行下一阶段的推理。这套基于公理的推理体系有着高度的严谨性，为近代数学的繁荣发展提供了强有力的支持，当今世界的主流数学主体上继承的也是西方的推理体系。中国古代数学曾经非常辉煌，虽然有些典籍已经遗失。但现存的著作依旧让我们不禁感叹古代数学家的聪明才智。近几十年来，特别是随着计算机技术的发展，算术算法体系的优点被越来越多地发现，其被承认的范围也越来越广，认可的人也越来越多。举一个例子，几乎所有的几何定理，可以完全不通过西方的公理、定理体系，而是通过给出一个固定的算法，在计算机上计算出定理是否正确。又例如四色定理是十分著名的数学难题，这个定理到目前为止还没有公理体系的证明方法。但在1976年，两个青年数学家哈肯和阿佩尔使用了机械化的方法，在计算机上算了1200个小时，成功计算出这个定理是正确的。
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