学生习作-究极版-纯几何吧4338

你们等的大招来了!

学生习作超级版-IN神专版, 姑且也当作一道练习题吧, 根据IN神口述, 此题为炸酱面出的, 后被整理到纯几何吧, 编号为4338. 感兴趣想挑战的同学试试吧~

题目标签: (没有标签)-纯几何吧4338

知识储备: 无

作者: INSANE

先放题目:

外心为, 内心为, 为平面上一点, 、、是到三边的投影, 、分别为与的垂心, 与圆交于, 与圆交于, 为中点,

求证: 、、、四点共圆;

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证明:(INSANE)

先证明两个引理:

引理1: 为上一条高线, 为平面上一点, , , 为的垂心, 则;

引理1的证明:

过做于, 则四点共圆;

注意到为矩形, 为平行四边形;

故为平行四边形;

故引理1证毕！

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引理2: 垂心为, 外心为, 取平面上一点, 于; 关于的对称点为, 交圆于, 交圆于; 则与交点在圆上.

引理2的证明:

证明：我们采用同一法; 设与圆第二个交点为, 为圆第二个交点, 下面只需证即可;

设直线与交于, 与圆交于,

直线与圆交于,

结合,

则只需证即;

设与交于, 与交于,

则结合

再由垂心性质易知三点共线,

故, 结合

故为中点且,

则五点共圆;

注意到且

故引理2证毕!

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回到原题:

如图连线：

由引理2得与交于则在圆上;

分别为、、中点;

再由引理1得

故, 点同理;

故五点共圆证毕!

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简评:

...其实我看完无特别激昂的感情, 也没有十分强烈的欲望想评价做的如何, 但是确实实实在在学习了一把, 至少学会了处理且的处理...

膜完赶紧跑..

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精巧, 值得学习;

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