相交两圆训练题2-IMO2015/4

昨天一题罗振华老师调和搞的蛮好~ 上一题确实存在简洁的证明, 不过我给大家分享的是用一般性的探索思维能搞掉的路子, 期待更多老师能关注发出的题目, 嘿嘿~

今天给大家带来的是一道IMO2015年的题目, 是顺承昨天的题目继续搞相交两圆性质的应用, 如果不知道相交两圆性质的, 可以参考昨天的题目:

相交两圆训练题1-2013土耳其

题目标签: 共点类-相交两圆-IMO2015-4

知识储备: 相交两圆的性质

先放题目:

外接圆为圆，以为圆心做一个圆与交于、 两点，与圆交于、 ， 且排列顺序如图所示，与再次交于， 与再次交于，求证：、 交点在上；

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这里注意到, 为两个圆心, 要证的点在的中垂线上, 因此, 直觉上只需证明即可, (顺便引向相交两圆的性质)

连接, , 交于,

则由性质得, ,

结合

因此有

得到四边形顺相似以后, 欲证, 我们就可以把角转移到一块去了;

作, 在圆上;

则

(为弧中点)

故原命题证毕!

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