更多内容，敬请关注：今天，刘老师在黑板上写下一串数：1、3、6、10

更多内容，敬请关注：最近读了《孙子兵法》，我被其中的一个数学问题吸引了：汉高祖刘邦问大将军韩信统御的士兵有多少人，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余2人，刘邦茫然而不知其数。我也和刘邦一样茫然，自言自语道：“韩信也真是的，直接说有多少士兵不就行了吗？报个人数说得那么复杂，到底有多少人呢？”妈妈听见了，问：“是韩信点兵的问题吧？”我好像看到了救兵，连忙回答：“对，妈妈你知道韩信到底点了多少士兵吗？”“《孙子算经》中有一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”

更多内容，敬请关注：数学不仅是丈量和设计建筑的一种科学方法，更是改进建筑理念的手段。建筑师们利用数学知识，创造性地改变着建筑风格，改变着世界。在课堂上，在书本上，数学不时被一大堆公式和符号所掩盖，难免让人觉得枯燥和乏味，数学的光芒被掩盖，失去了它应有的魅力。走，我们一起走出去，去寻找那些隐藏在各类建筑中的数学奥秘吧！路有曲直宽窄，房有大小高低，建筑必须与形和数打交道。建筑里讲数学，数学里讲建筑，你中有我，我中有你。不信，你往下看！对称，作为美的艺术标准，它的身影我们随处可见。你瞧，世界七大建筑奇迹之一——印度泰姬陵的最大特点就是对称，对称的运用使得泰姬陵庄重而大气。远远望去，赵州桥像一道彩虹架在河上，看到那一个个圆弧了吗？那弯弯的桥拱形成的圆弧，是多么艺术，富有曲线美！金字塔是个奇特形体：一个抽象几何体“正四棱锥体”。这种形体方正规范而显得庄严肃穆，经纬分明而显得至高无上。埃菲尔铁塔曲线优美，比例匀称，美得壮观。其在距离地面57米、125米和276米处各有一个平台，第二层平台的位置可视为全塔的黄金分割点。从高处俯视华盛顿美术馆东馆，我们看到它在平面上被划分成一个等腰三角形和一个直角三角形。除此之外，我们也能在其身上找到菱形、梯形等其他几何图形。水立方的整体造型是一个长方体，远看像一个盒子，但是这个“方盒子”可不简单。看，由各种几何图形无间隙拼接的外皮是不是显得水立方这个“方盒子”更新颖别致？数学赋予了建筑活力，同时它的美也被建筑表现得淋漓尽致。数学可以出现在建筑物的每一个角落，可以出现在建筑的设计图纸上，可以躲藏在华丽的墙面花纹中，可以被勾勒在壮阔的建筑外观上。它的美化成锥状的金字塔，化成浪形的桥梁……END往期精彩回顾：网球中的数学挪威数学家阿贝尔公元纪年与干支纪年的转换

更多内容，敬请关注：2014年澳大利亚网球公开赛女单决赛，中国选手李娜2：0绝杀齐布尔科娃，捧得她职业生涯继法网后第二座大满贯奖杯。这不但刷新了中国人在网球大满贯史上的最好成绩，同时也刷新了亚洲纪录。现如今，网球已逐步从原先的贵族运动融入了寻常百姓家。更多的人拿起球拍，在球场上挥洒汗水。今天，我们就来研究一下网球中较为特殊的情况——ACE球。在网球比赛中，ACE球指对局双方中一方发球，球落在有效区内，但对方却没有触及到球而使之直接得分的发球。如果对方触到球而出界或下网，则只称作发球得分，而不是ACE球。发出ACE球需要速度、落点和战术的完美结合，因此是可遇而不可求的。发球是一项比较难掌握的技术，因为发球时运动的部位较多，动作幅度较大，需要肌肉的协调程度较高，同时它也是网球运动中最舒展最优美的动作之一。难怪ATP（职业网球联合会）的标志就是一个发球动作的剪影。而ACE球就是网球发球动作的“杰作”。一般来说，以ACE球中的高速球为例。在一个标准硬地场（其中有效单打场地长78英尺（23.77m），宽27英尺（8.23m）的矩形）中，一位身高1.70m的女运动员站在A点，发出了一个时速u-180km/h的高速球。根据平抛运动理论：综合得出，落点距离A处直线距离约为29m。通常情况下，网球只有发到指定区域才能成功，所以根据勾股定理计算，落地点距离B点直线距离6m。假设人的反应时间为0.2s，球落地时间为0.6s，也就是该运动员需要在0.8s的时间内至少奔跑6m的路程，所以此人的速度要达到7.5m/s，即27km/h。可通常情况下，反应时间会大于0.2s，同时，27km/h的速度需要消耗人体大量的能量，一般来说瞬时的加速度也无法立刻使人体机能在短时间内达到这样的高速，尤其是在大型赛事的后半程，比赛一旦拖入僵持态势，每一次这样的加速，都会使运动员的体力锐减，不利于赛事的进程。同时，运动员在接球时，需要集中大量精力关注球的动向与预定飞行轨道和落点，以方便身体提前启动，增加接球的机会。这样的话，也会使运动员消耗大量的精力，造成比赛中的失误。以上假设均是建立在理想状态下。现实情况下，球场中或顺风或逆风，球场中观众的走动与声音，运动员的身体机能与心理状态，甚至是当日当时的气温与湿度，都会对高速球（ACE球）的击发，产生一定的影响。因而，在实际场合中，运动员的接球难度要比理想状态下的难度加大。由此可见，每一记的ACE球都蕴含着发球者的力量与速度。如果能成功击发ACE球，在一局比赛中就能获得一定的主动优势。也正因为如此，网球以其技巧性和竞技性，逐渐在世界球类运动中获得越来越高的地位。网球也成为了继足球、排球、篮球后，世界上的又一大球类运动。中国也有更多的人开始从事该运动。我想：如果从青少年开始，普及一些基础的网球知识，网球运动将发展得更好。END往期精彩回顾：浅谈数学中所蕴含的美世界数学十大未解难题日常生活的数学起源

更多内容，敬请关注：阿贝尔（N.H.Abel，1802一l

更多内容，敬请关注：公元纪年法现行的公元纪年法是从耶稣出生之年算起，这一年以前的年份叫公元前某年，以后的年份叫公元某年.但应该注意，没有公元0年这一年.我国是从1949年中华人民共和国成立之后采用公元纪年的，比如今年是公元2017年（可简记为2017年）.因为没有公元0年，所以本文把公元前1，2，3，…，n，…年分别记作公元0，-1，-2，…，1-n，…年.因而，在下文中的公元n（n∈Z）年中都有意义.干支纪年法中国自古便有十天干（即甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸）与十二地支（即子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥）的说法.天干地支纪年法（简称干支纪年法），是把天干中排奇数号的（即甲，丙，戊，庚，壬）与地支中排奇数号的（即子，寅，辰，午，申，戌）任意搭配，但天干在前地支在后（比如甲子，甲寅等等）；或把天干中排偶数号的（即乙，丁，己，辛，癸）与地支中排偶数号的（即丑，卯，巳，未，酉，亥）任意搭配，也是天干在前地支在后.由分步乘法计数原理可知，奇数号的搭配是5·6种情形，偶数号的搭配也是5·6种情形.所以在干支纪年法中，共有5·6·2即60种情形.这60种情形的前后顺序就是干支纪年法的一个周期（也叫一甲子），即下面6行10列的表1：表1中的“甲子”、“乙丑”、…、“癸亥”就表示干支甲子年（可简记为甲子年）、乙丑年、…、癸亥年，数字1，2，…，60分别表示相应干支纪年的代号.因为干支纪年法是呈周期变化的，所以癸亥年的后一年是甲子年，甲子年的前一年是癸亥年.记号在本文中，把自然数n被10除所得的余数即n的个位数记作（n）10，可得（n）10=0，1，2，…，或9；把自然数n被12除所得的余数记作（n）12，可得（n）12=0，1，2，…，或12.对于已知的整数m，可得存在唯一的整数k及自然数r（r≤10），使得m=10k+r，在本文中把这里的r记为（m）10；同理还可得（m）12的含义.把公元纪年转换成干支纪年因为干支纪年甲子年、乙丑年、…、癸亥年中的“甲子”、“乙丑”、…、“癸亥”都是汉字，所以欲把它们与公元纪年之间进行转换，必须先把“甲子”、“乙丑”、…、“癸亥”这些汉字转换成相应的数字.我们规定十天干与十二地支对应的数字分别是下面的表2、表3：这样，甲子年、乙丑年、…、癸亥年就可分别用有序数对（4，4），（5，5），

更多内容，敬请关注：文章导读近期，一则“滴滴出行”App接受网络安全审查并在应用商店下架、停止新用户注册的官方通报，引发高度关注。此前，滴滴于6月30日在美国纽交所低调上市。分析人士认为，与以往滴滴所受监管不同，此次通报直接提及“维护国家安全”，意味着作为信息基础设施运营商的滴滴已触碰“生死底线”，甚至不排除滴滴在美国监管压力下可能存在数据信息泄露的隐患。对此，倡导数据自由流动的人认为此事反应过激，无论是全球贸易、赴美融资还是出海业务，数据跨境已成必然。本文指出，包括美国在内的发达国家互联网企业的先发优势，会带来天然的数据本地化存储及全球数据管理权，进而享有国际规则制定的主导权、话语权和解释权。宽松的数据跨境流动规则，有助于美国维持其在数字经济上的领先地位和既得利益，由此可以理解为什么美国宣扬数据自由流动，并通过《云法案》加强全球数据控制。但由于各国数字产业发展严重失衡，如果任由数据从发展中国家积聚到发达国家，可能助长数据霸权的形成，所以严格的数据管制不止存在于中国，也存在于包括印度在内的其他发展中国家。作者认为，处理好维护国家安全、保护数据主体权益、发展经济贸易这三者的平衡关系，对数据流动进行分类管制，落实数据出境过程中的风险管理责任，同时为合法的数据流动开辟丰富渠道，是当务之急。如果在数据立法还不完善的情况下放任数据跨境，意味着数据主体将无法获得足够的权利救济。作者简介马其家

更多内容，敬请关注：数学是一门重要的自然科学，在现代化的工业、科技领域占据着很重要的地位。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学美。数学是一门自然科学，同时是一门很精美的学科，数学中所蕴含的美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。和谐美数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：π4=1-13+15-…，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。欧拉公式：eiπ=-1，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗-欧拉公式是cosθ+isinθ=eiθ――（1）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。比如，由公式（1）得cosθ=eiθ+e-iθ2，sinθ=eiθ-e-iθ2。由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比λ=5-12，即0.61803398…。维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割比λ=5-12为“神圣比例”.他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。对称美在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。对称不仅美，而且有用。电磁波的波动方程：2E-1C22Et2=02B-1C22Bt2=0其中，B为磁场强度，E为电场强度，C为光速。这个方程中B与E是对称的，麦克斯韦用纯数学的方法从这些方程中推导出可能存在的电磁波，这种电磁波后来被赫芝发现，由此可得电场与磁场的统一性。对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如格点对称，十四世纪在西班牙的格拉那达的阿尔汉姆拉宫，存在所有的格点对称，而1924年才证明出格点对称的种类。李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。从中我们体会到了对称的美与成功。简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。欧拉给出的公式：V-E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数V、边数E、区域数F满足V-E+F=2，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。奇异美全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数abbc，不合理地把b约去得到ac，结果却是对的？经过一种简单计算，可以找到四个分数：1664，2665，1995，4998。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗。人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹，当e>1时，形成的是双曲线.当e=1时，形成的是抛物线.常数e由0.999变为1、变为0.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。统一美数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc2揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。数学之美，还可以从更多的角度去审视，而每一侧面的美都不是孤立的，她们是相辅相成、密不可分的。她需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会她的美学价值和她丰富、深隧的内涵和思想，及其对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。END往期精彩回顾：新世纪的数学问题饶毅对非升即走的思考π是无理数，为什么圆的周长不固定？

更多内容，敬请关注：其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。黎曼(Riemann)假设有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。几何尺规作图问题这里所说的“几何尺规作图问题”是指作图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；2.三等分任意角；3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。4.做正十七边形。以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。哥德巴赫猜想公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。【哥德巴赫猜想最新最好的成果是中国数学家陈景润的陈氏定理，通俗地讲：哥德巴赫猜想如果简称“1+1”，如今解决的是“1+2”。但是这样说使得许多大众容易产生误会。】四色猜想1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。希尔伯特23问题里尚未解决的问题：1、问题1连续统假设全体正整数（被称为可数集）的基数和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。2、问题2算术公理相容性。背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。3、问题7某些数的无理性和超越性。背景：此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。4、问题8素数问题。证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s+…(s属于复数域)所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。背景：此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？5、问题11系数为任意代数数的二次型。背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。6、问题12阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。7、问题13仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。8、问题15舒伯特计数演算的严格基础。背景：代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。9、问题16代数曲线和曲面的拓扑。要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。10、问题18用全等多面体来构造空间。无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。11、问题20一般边值问题。偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。12、问题23变分法的进一步发展。希尔伯特23个数学问题及其解决情况（1）康托的连续统基数问题。1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。（2）算术公理系统的无矛盾性。欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。（4）两点间以直线为距离最短线问题。此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。（7）某些数的超越性的证明。需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。（9）一般互反律在任意数域中的证明。1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。（11）一般代数数域内的二次型论。德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。（12）类域的构成问题。即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。（14）某些完备函数系的有限的证明。即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K［X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。（15）建立代数几何学的基础。荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。注：舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。（17）半正定形式的平方和表示。实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。（18）用全等多面体构造空间。德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。（20）研究一般边值问题。此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。（22）用自守函数将解析函数单值化。此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。（23）发展变分学方法的研究。这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。可见，希尔伯特提出的问题是相当艰深的。正因为艰深，才吸引有志之士去作巨大的努力。END往期精彩回顾：新世纪的数学问题饶毅对非升即走的思考π是无理数，为什么圆的周长不固定？

五边形、六边形等对称图案，在房屋遗址的基地上，亦发现几何图形，表明远古的人们在一定程度上已经具有数和形的概念。发展到现在，我们早已不再用绳结来计数了。早在

更多内容，敬请关注：关键的改革与质量的提高：中国高校人事制度导读决定现代高等学校质量最重要的是教师。教师质量决定教育质量，也决定研究质量。因此，高校的教师人事制度决定了高校的质量。因为人事制度的敏感性，也因中国的文化因素，成功地进行了人事制度改革的北京大学和清华大学都没有没有对外描述其改革过程和改革的成功，不是很多人清楚建立预聘制（tenure

更多内容，敬请关注：一国际数学家大会能够在某一个国家申办成功有很多因素，其中该国在数学研究和数学教育方面的水平无疑是一重要因素。自1897年开始，国际数学家大会已经举办了23届，除了由于两次世界大战有所中断外，每四年召开一次，会议的举办国有瑞士、法国、德国、意大利、美国、加拿大、挪威、荷兰、英国、瑞典、苏联、芬兰、波兰、日本，都是经济发达或比较发达，数学研究＋分活跃的国家，主要集中于北美和中、北欧，在亚洲仅有1990年的东京大会。90年代初，著名数学家陈省身先生和他的学生，惟一的华裔菲尔兹奖得主邱成桐教授向国家主席江泽民建议，中国可以申办世界数学家大会，借以提高我们在国际数学界的地位，促进我们的数学科研和教学。自此中国数学会开始了长达数年的申办工作。当时的中国数学会理事长是杨乐教授，他向国际数学家联盟提出了办会的申请。我国是1986年正式加入国际数学家联盟的，现在的国际数学家联盟（IMO）是各国数学会联合组织的机构，成立于1952年，是世界数学家的一个松散的组织，19世纪末成立，通常由五六个人组成的执委会主持日常工作。联盟的一项最重要的工作是确定国际数学家大会的地点和程序委员会。联盟执委会下设一个选址委员会，接收各国的申办请求并通过实地考察向联盟召开的成员国代表大会提出他们的推荐意见。联盟还负责确定国际数学家大会的程序委员会，该委员会全权决定大会的学术工作。经过中国数学家坚持不懈的努力，1997年5月，选址委员会通过了推荐中国为2002年大会举办国的决定。1998年8月15日，国际数学家联盟成员国代表大会在德国的历史名城德雷斯顿举行，来自世界59个国家和地区的159名数学家聚集在这里。上午十一时，当时的国际数学家联盟主席Mumford将选址委员会的推荐提交全体代表讨论。挪威代表首先发言，她说2002年正值挪威数学家Abel诞生200周年，因此挪威希望举办该次大会，尽管选址委员会推荐中国为候选国，但挪威不打算放弃申办，并要求作为候选国一起参加投票。挪威代表的发言得到丹麦、瑞典等国的支持，瑞典代表还就西藏问题向中国代表提出了责难。还有一些国家的代表对中国政府发放入境签证提出质疑。当时的中国数学会理事长、北京大学数学系教授张恭庆代表中国代表团发言，阐明中国申办2002年大会的动机、立场以及筹备情况，经过长达一个多小时的辩论终于开始了投票表决。公布表决结果时会场一片肃静，Momford主席一字一句地读道：中国99票，挪威23票，中国当选为2002年大会举办国。全场长时间热烈鼓掌，掌声未停，挪威代表走到麦克风前，向中国的当选表示祝贺，至此选址工作尘埃落定，中国数学会历经两届理事会申办世界数学家大会的努力终于获得了成功。世界数学家大会历时一百多年，第一次在一个发展中国家举行，21世纪国际数学界的第一次盛会在中国举行，这是中国数学界的骄傲和光荣。2002年世界数学家大会组织委员会主席由现任中国数学会理事长，中国科学院数学与系统科学研究院马志明教授担任；下设大会秘书处和联络委员会，由中国科学院负责；科学委员会和服务委员会，由北京大学负责；会议论文集出版委员会，由复旦大学负责；筹款委员会由南开大学负责；资助委员会由北京师范大学负责；大会前后约有30个左右卫星会议，由中科院负责。大会开幕式定于2002年8月20日在人民大会堂举行，会址定在位于亚运村的国际会议中心。自1998年确定2002年大会在北京召开，大会组织委员会进行了紧张的筹备，许多中国数学家为筹备大会做了大量工作。会议得到了我国政府的大力支持，国家主席江泽民说：“中国政府支持2002年在北京召开国际数学家大会，并希望借此契机力争在下世纪初（此处是指21世纪初──本刊记者注）将中国的数学研究和人才培养推向世界前列，为中国今后的科技发展奠定坚实雄厚的基础。”财政部为大会提供了充分的经济保障，大会新闻发布会已于2001年8月16日下午四时在人民大会堂举行，各大电视台和报刊进行了报道，向全国人民宣布这一消息。二国际数学家大会近年来规模在3000～4000人，会期十天，主要内容是进行学术交流和颁发两项数学奖。第一项数学奖是菲尔兹奖，1936年始发，授予40岁以下成绩卓著的青年数学家，每届2人，后来增至4人，迄今为止共有42人获奖，此奖项在数学界声望甚高，被誉为数学界的诺贝尔奖。另一项为内万林纳奖，1982年开始颁发，用来奖励计算机科学方面的学者，每届1人。学术交流的形式很多，主要是由大会程序委员会（与组织委员会无关）邀请的大会报告和分会报告，大会报告俗称为“一小时报告”，由做出重大贡献的数学家介绍重要研究方向上的最重要的成就。会议还按相近学科分成十几个分组邀请若干名在近四年中作出突出研究成果的数学家作分会报告，介绍该领域中各个方向上的重要进展。因为历届委员会都是由在学术上有权威地位的数学家组成，他们提名邀请的报告从整体上看十分精彩。由于我国直到1986年才加入国际数学家联盟，也由于我国的数学研究曾遭受过严重的干扰和破坏，我们中国大陆的数学家尚未得到过菲尔兹奖，也没有作过一小时邀请报告，受到邀请作45分钟报告的有冯康、吴文俊、张恭庆、马志明。在1999年浙江大学举办的一次研讨班上，我曾遇到过上海同济大学陆洪文教授，他是华罗庚先生的弟子。大家都知道华先生解放初期回国，创建中科院数学所，在函数论、典型群、数论三个方向培养了十几名研究员，撑起了我国数学研究的一片天，陆先生说华老60年代中期就建议数论专业的学生们研究模型式，后来的事实表明，这是证明费玛大定理的主要工具。陆先生开玩笑说，如果不是文化大革命，证出费玛大定理的应该是中国人，遗憾的是，科学没有“如果”，失去的机会不会再来。可喜的是，改革开放以后，我国的数学研究空前地发展壮大，研究论文和专著成十倍地增长，在许多数学分支，中国的科研队伍成为不可忽视的力量，在各种国际会议上，中国人应邀作报告已屡见不鲜。尽管在重大的研究领域内，我们与国际先进水平仍有较大的差距，但中国数学家已经迅速地进入了国际数学大家庭。鉴于中国数学家的努力，也出于对东道国的尊重，大会程序委员会特别请中国组委会推荐中国自己的45分钟报告人。因此，在2002年的国际数学家大会上，我们有11名左右的数学家作45分钟报告。这是一个了不起的数字。特别值得大书特书的是，改革开放后80年代走出国门，赴欧美求学的年轻学子们，今天已有一批人成为优秀的数学家，成为许多重大数学领域的学术带头人，在世界各地的大学，特别是世界名校的数学家中，都有中国人担任重要教职，我1999年在加拿大访问时听到国外同行开玩笑说：“六七十年代美国、加拿大每个学校的数学系都有印度或巴基斯坦教授，八九十年代每个系都有中国教授，90年代后期每个系都有原苏联和东欧教授。”在2002年的大会上，美国麻省理工学院的田刚教授作一小时大会报告，田刚曾是南京大学数学系的本科生，北京大学张恭庆先生的硕士生，邱成桐教授的博士生，在几何分析方面做出过重大贡献，他也是中国大陆出去的数学家中第一个一小时报告人，他至今仍保留着中国国籍，并每年回北大讲课。除此之外，还有14位海外华人及港澳台数学家作邀请报告，其中3位华人数学家被邀请作一小时大会报告，他们是程序委员会在世界数学家的平等竞争中推选出来的，正是由于海内外华人数学家的共同努力，中国数学才有了今天的国际地位。特别应该指出的是，这些杰出的数学家生于中国，长于中国，在中国接受了中小学教育。中国存在着广大的青少年人才资源，中国的中等教育在国际上享有盛望，这从历届国际奥林匹克数学竞赛获奖情况可见一斑。尽管由于我们的经济尚欠发达，大学太少，高考压力过大，中等教育存在着种种不尽如人意的地方，但中等教育的主流是好的，广大中学教师是称职尽责的，中等教育的传统应当发扬光大。北京师范大学数学系的教师们感到特别高兴的是，我们这里有两位教授光荣地当选为45分钟报告人，一位是师大的概率论专家陈木法教授，另一位是数学系聘请的长江学者，美国Rugerst大学的戎小春教授，后者曾是北京师范学院的学生，梅向明老师的硕士生，在美国获得博士学位，目前是国际上格拉莫夫几何的年轻学术带头人。三众所周知，在1900年20世纪初召开的第二届世界数学家大会上，数学泰斗Hilbert教授提出了影响整个20世纪数学研究的23个数学问题。那么，什么是21世纪的数学问题呢？由谁来提出影响21世纪研究方向的数学问题呢？2000年5月24日，在巴黎法兰西学院举行了一次特别活动（巴黎曾经是100年前Hilbert提出23个数学问题的地方）。Clay数学促进会在那里宣布了七个数学问题，并允诺对每个问题的解决者给予100万美元的奖励。Clay数学促进会是由美国实业家Lan—donClay组建的私人非赢利基金会，旨在传播数学知识，Clay认为“数学体现了人类知识的精华”，研究所的科学顾问由四名当代顶尖级的数学家组成，他们来自法国高等科学研究院，哈佛大学、普林斯顿大学和普林斯顿高等研究院，其中包括证明费玛定理的AndrewWiles，这一委员会选择了七个多年没有解决的重要的经典问题：1．P与NP问题：一个问题称为是P的，如果它可以通过运行多项式次（即运行时间至多是输入量大小的多项式函数的一种算法获得解决，一个问题是NP的，如果所提出的解答可以用多项式次算法来检验。P等于NP吗？2．Riemann假设：Riemannzeta函数是复变量S有函数，定义于实半平面R（s）＞1上，表示为一个绝对收敛的级数它可延拓到整个复平面上，这一函数在负偶数－2，－4，…有零点，称为平凡零点，Riemann猜想ζ（s）的非平凡零点的实部等于1/2Riemannzeta函数由括号内给出的欧拉公式与素数分布问题紧密相连，如果Riemann假设不成立，将引起素数分布理论的崩溃。除此之外，Riemann假设还与其他一些数学领域的理论基础密切相关，因此很多数学家认为，Riemann假设是今天纯数学中最重要的未解决问题，19世纪德国的天才数学家Riemann（黎曼），只活到39岁，留下的论文不多，但篇篇都是经典，为后人留下了一个半世纪未能解开的数学之谜。3．Poincare猜想：任何单连通的闭三维流形同胚于三维球面。该命题当n≥4时已被证明，也就是说，如果Mn是n≥4的可微同伦球面，侧Mn同胚于Sn，当n＝3时在基本群方面遇到了本质性的困难。Poincare是与Hilbetr同时代的法国数学家，1900年Hilbert在第二届世界数学家大会上宣布他的23个数学问题时，Poincare（庞加莱）是大会主席。4．Hodge猜想：任何Hodge类关于一个非奇异复射影代数簇都是某些代数闭链类的有理线性组合。5．Birch及Swinnerton－Dyer猜想：对于建立在有理数域上的每一条椭圆曲线，它在1处的L函数变为0的阶等于该曲线上的有理点的Abel群的秩。6．Navier－Stokes方程组：在适当的边界及初始条件下，对3维Navier－Stokes方程组证明或反证其光滑解的存在性。7．Yang—Mills理论；证明量子Yang－Mills场存在并存在一个质量间隙。数学发展到今天，已经有近十几个方向，每个方向又有若干分支，每个分支的问题都相当复杂，进入其中任何一个领域都要花费几年的时间，能够像一百年前的Hilbert那样通晓数学的所有领域几乎是不可能的，像更早期的欧拉那样通晓数学和物理是不可能的，因而Hilbert的问题与新千年的悬赏问题有着重大的差别，正如费玛定理的证明者Princeton大学的AndreWiles所指出的，“Hilbert试图用他的问题去指导数学，我们是试图去记载重大的未解决问题”。AndreWiles还在当天的记者招待会上说；“我们相信，作为20世纪未解决的重大数学问题，第二个千年的悬赏问题令人瞩目，这些问题并不新，它们已成为数学界所熟知，但我们通过悬赏征求解答，使更多的听众深刻地认识这些问题，然而数学的未来并不限于这些问题，事实上在这些问题之外存在着崭新的数学世界，等待我们去发现，去开发，如果你愿意，可以想像一下1600年的欧洲人，他们很清楚，跨过大西洋，那边是一片新大陆，但他们可能悬巨奖去帮助发现和开发美国吗？没有为发明飞机的悬奖，没有为发明计算机的悬奖，也没有为兴建芝加哥城的悬奖，这些东西现在已变成美国的一部分，但它们在1600年是完全不可想像的。”2l世纪数学的发展是很难预测的，它一定会超越20世纪，开辟出一片崭新的天地，希望中国未来的数学家能够成为开辟这片新天地的先锋，上届国际数学家联盟主席Mumford说，“如果中国的学生们得到良好培训的话，那么下一代人的中国显然将成为数学领导国之一”，这一远大目标的实现，依赖于我们初等数学和高等数学教育界的共同努力。END往期精彩回顾：解析几何的定义、发展与基本思想苏联的数学领袖——国际大师柯尔莫哥洛夫攻克庞加莱猜想的数学隐士——佩雷尔曼

更多内容，敬请关注：一圆周率当然是无理数，所谓无理数指的是那些无限不循环的小数，也就是无法写成整数之比的数。人类认识到π是无理数的时间并不是特别久，应该要比认识到根号2还要晚，毕竟π不是那么容易能说清楚具体的构造方式的。既然π是无理数，那么也就是我们不管计算到它的小数点后多少万亿位，始终都是不准确的了？可是现实中，你规定好一个圆的半径和圆心，这个圆的所有特征就完全被确定下来了啊，周长，面积等等。首先，我们要明确一个概念，某个具体半径的圆周长是一个固定值，但并不代表我们就可以把这个固定的值准确求出来。比如，任意的一元n次方程总是有n个解，不管这个解是实根还是复根，反正这些总是可观存在的，但是这不意味着你就可以把这些解求出来。历史上很多人痴迷于五次方程的根式解一样，认为一定存在，并且只要我们努力就一定能够的出来这样的根式解法，可惜，拉格朗日等等。尤其是在高斯得到了算术基本定理（一元n次方程总是有n个解）之后，这个想法更加让人痴狂。然而从来没有人成功，直到有个天才伽罗瓦站出来，用自己的理论证明了，没有这样的根式解法，这场数学战争才算是结束。我们在求解积分的时候，很多形式的积分看起来很简单，可是你就是求不出原函数，那就只好一直用积分符号来表示了，虽然你看着难受。但是你却不能说原函数不存在，原函数一直都存在，只是我们用现有的数学方法表示不出来而已。微分方程是解释这个世界很多现象最精准的数学工具，甚至可以说没有之一。有些微分方程，如果你了解它的成立过程，你会觉得没有什么比它还要精简干练了。许许多多重要微分方程的求解过程，可能要耗尽一个数学家一生的精力，然而你求不出来就是求不出来，并不代表这个解不存在。就像千禧年七大难题之一的纳威斯托克斯方程一样，就是难以求解。所以，这两个问题之间并不矛盾。这里的π只是一个代号，你用a,b,c同样可以，只不过为了推演方便，等到我们真正需要数值计算的时候，随时将π任意精度的数值代入即可。与其说这是一个数学问题，不如说这是一个哲学问题。我们竭尽所能去得到的结果，可能永远都不是最后的事实，虽然这个事实一直存在且固定着。二Pi这个数字确实是无理数，但是圆的周长不一定无理数，比如说直径是10/Pi的圆，这个圆的周长就是10，不是一个无理数。也许有人要问了：10/Pi是什么数？这个数存在吗？为什么一个圆的直径可以是这么一个数？10/Pi这个数当然存在了，这个数就是10/Pi，这个数的性质就是与Pi相乘等于10，圆的直径也可以是任何数，可以是1，可以是2，可以是根号2，可以是Pi，当然也可以是10/Pi。所以确实有这么一个圆，它的周长为10，这是没有任何问题的。而任何一个确定的无理数，比如说根号2，比如说Pi，比如说e，都是固定的数字，这个数字是唯一的、不变的。那么有人就要问了：这个数字的小数位数不是无限的吗？小数位数无限的数还能是固定的吗？我倒要反过来问了：为什么小数位数是无限位的数就不能是固定的？比如说，1这个数字，这个数字实际上是1.0000000...1这个数字是固定的，因为这个小数点前的数字是1，小数点后第一位是0，第二位是0……每一位都有一个固定的数字，直至无穷，所以1这个数字是固定的、确定的。但是Pi这个数字也是一样呀，Pi=3.1415...，这个数字小数点前的数字是3，小数点后第一位是1，第二位是4……每一位都有一个固定的数字，直至无穷，所以Pi这个数字是固定的、确定的。Pi是无理数不错，但是不代表圆的周长就是无理数，圆的周长也可以是有理数；同时，就算是圆的周长是无理数，圆的周长也是固定的，因为任何无理数虽然小数位数是无穷多的，但是这无穷多的小数位上每一位数字都是确定的，所以这个无理数也是确定的。三Л是一个无理数，那么圆的周长也应该是无理数，但圆的周长是固定的啊，怎么解释？π是圆周率，我们国家在12世纪之前就已经有过研究。比较粗糙，认为它是为3.圆周率（Pai）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，π可以严格地定义为满足sin

触及了柯尔莫哥洛夫极广的研究领域.同年4月29日，莫斯科大学又举行纪念会,隆重纪念这位20世纪的伟大数学家、数学教育家百年诞辰。安德列•柯尔莫哥洛夫,20世纪苏联最杰出的数

解析几何的定义坐标几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。解析几何（英语：analytic

2002年11月在数学预印本网站上，佩雷尔曼贴出了仅仅只有三页非常简洁的论文，目标直指百年数学难题庞加莱猜想（实际上，他描述的是更一般的瑟斯顿几何化猜想，庞加莱猜想是它的一个特例）。这个消息不胫而走，随即引发了数学界的轩然大波，更多的人认为这是一个“恶作剧”，就像曾经有很多人宣称自己证明了哥特巴赫猜想一样。但四个月后，佩雷尔曼又上传了一份更加详细的论文，补充了很多证明的细节，并以邮件的形式和少数数学界内他信得过的人讨论交流。第二年，佩雷尔曼再上传了一篇论文，给出了更多相关细节。这三篇论文的正确与否直接关系着一个百年数学难题的命运。实际上，佩雷尔曼为公众所知，更多的原因在于他拒绝了数学最高奖菲尔兹奖与千禧百万美元数学大奖，至于他到底做了哪些贡献，是一个什么样的数学家，一般人还是不太了解。在他发布论文以后，了解佩雷尔曼的人都对其正确性持乐观态度，因为在此之前，他已经是一位卓有成就，天赋异禀且严谨谦虚的数学家，如果没有把握，他是不会轻易发布这样的论文。那么，佩雷尔曼到底是一位什么样的数学家？与庞加莱猜想又有怎样的渊源？佩雷尔曼（全名为Grigori

“人们对数学家有某些怪异的看法，例如有人列出了当数学家的如下理由：从楼上砸下一个西瓜，会有九个经理被砸着，而一个数学家都不会有；当利息或税率调整时，数学家是算得最清楚的一个；数学这个职业是投资回报率最高的职业之一，因为它的投入只有一支笔加几张纸；数学家永远不会像发明家那样被专利困扰，他不怕有假冒伪劣产品出现；当数学家犯了常识性错误时（比如走路撞墙、洗衣服用味精），人们给予的往往是表扬而不是批评……”，这是张九庆所著《自牛顿以来的科学家》的一段话，当他说明他为什么将数学家作为单独一章来介绍时，他认为“在一般人看来，数学家是比科学家更加令人难以琢磨的一个群体”。

袁隆平和杂交水稻在当下几乎已经成了两个可以互换的名词，袁隆平被外国同行誉为“杂交水稻之父”，他在水稻杂交优势的发掘和应用上做出了极大的推动作用，虽然在杂交优势的机理上没有做深入的研究，但是这并没有影响到这项实用性的科研在粮食生产上带来的巨大效益。杂交水稻的发展背景和历史对于杂种优势的利用可以追溯到十八世纪，1761—1766年Kolreuter育成了早熟优良的烟草种间杂种，并提出种植烟草杂种品种的建议；后来达尔文通过在玉米中的实验结果提出来异花授粉有利的观点（1977）。而杂种优势这个词则是shull在1908年才提出的（shull,

网文版：《回到东汉当皇帝》《美猴王之我欲封神》《霸道公子爱上我之贾府情缘》《山东黑道往事二十年》学院风：《佛教与中国神仙故事的关联性分析》《东汉末年中国政治版图演化史》《北宋山东农民起义与主要成员传记》《明清封建贵族阶级生活与情感剖析》朋友圈风：《惊！反政府武装领导人竟向外界这么说》《27岁农村户口的他如何成为知名集团的CEO》《【感恩佛学】人生经历这81件事才能平静》《必看！美女来到表哥家中后，竟发生这样的事》轻小说风：《没有汉献帝的无聊世界》《造反吧！宋江大人！》《雷公脸和尚异闻录》《膏粱子弟也要谈恋爱》大学论文/讲座标题：《浅谈大小乘佛法的区别及渊源》《细说宋末农民起义》《深掘中印两国历史上的文化交流》《关于东汉末年政局的研究》《由小见大——贾家宅院到大清王朝》饮食类：《关于唐僧肉的一百种烹调做法》(反正就是不能直接生吃[捂脸])《奇珍异食——孙二娘教你人肉烹调》《丞相教你做包子》《舌尖上的大清》(忍不住说一句，红楼对美食的描写简直精雕细琢，贴一段茄鲞的做法：把才摘下来的茄子把皮去了，只要净肉，切成碎丁子，用鸡油炸了，再用鸡脯子肉并香菌、新笋、蘑菇、五香腐干、各色干果子，俱切成丁子，用鸡汤煨干，将香油一收，外加糟油一拌，盛在瓷罐子里封严，要吃时拿出来，用炒的鸡瓜一拌就是。)QQ空间伤感情话体：《你知道吗？你念的经其实一般罢了，甚至有些啰嗦无趣，但我之所以爱听，是因为讲经之人，是你阿》《师父你永远不知道，你每次不信任我，念动紧箍咒的所给我的痛苦，更多的是在俺老孙心里阿！》《虽然世界很大，无穷无尽，蜀国很小，不过方寸，但是有你在的地方，大概就是我的世界了》《遇见你的时候，我确信我处在人生最幸福的时间，那时我还年少，你正值壮年，犹记和你谈论天下，共谋三分，如今你已经早逝多年，但我们隆中相遇，同床共枕彻夜长谈天下大事的时光，我没有哪一天是忘记的》《今天是我成婚十年，亦是你离开尘世的第十年了，十年又十年，恐怕，我要用一生去想念那柔情万分、惹我心怜的你了》《过去那会儿我总在梁山和你们把酒言欢，我说若为英雄，志在天下，现在我才知道我不是什么英雄阿，我没有得到天下，还终于失去了你们》新浪标题：《最强之人竟是他，孙悟空都得叫其大哥》《最败家之人竟是他，贾父可能打错了人》《谋略最强竟是他，诸葛亮也要退让三分》《杀人最多竟是他，李逵自叹不如》动漫版：《在下玄奘，有何贵干》《RE0：从零开始的大观园生活》《关于完全不知道师傅说的什么事情》《梁山泊之门》毛选版：《加强关于印度佛教问题的研究

李白（701年—762年12月）

李政道和他的夫人秦惠箬李政道在物理学上的成就大家有所耳闻，但对他的情感故事却知之甚少。本文讲述了李政道和妻子秦惠箬相遇、相知、相爱的故事。在半个多世纪的风雨旅程中，爱情始终是李政道赢得事业成功和幸福生活的源泉。文章节选自季承撰写的《诺贝尔奖中华风云——李政道传》一书。撰文

西子湖畔定终身1926年3月,谷超豪出生在浙江温州市一个叫高盈里的僻静小巷里。他从小聪明好学,显示出超众的对数学的兴趣与天赋。上小学时,一次老师课堂上发问:一个四边形,每边边长都是1,面积是否是1?谷超豪想了想,站起来朗声回答:“不一定,四边形一压就成了直线,面积就成了0。”那时谷超豪还没有学习菱形的面积公式,但却从形状的变化想到了这个问题,使得老师对他大为赞赏。1937年7月,“卢沟桥”事变后,抗日战争全面爆发。谷超豪所就读的学校被炸,幸好疏散得早,才没有人员伤亡。目睹日寇在中国的烧杀抢掠,少年谷超豪升腾起了一股强烈的义愤。在哥哥的影响下,谷超豪少年时期就阅读了《大众哲学》等进步书籍,他加入学校进步组织,写文章、贴标语,为抗日宣传做后勤工作。1940年,年仅14岁的谷超豪就加入了中国共产党。1943年,年仅17岁的谷超豪以高分被浙江大学龙泉分校录取。大学毕业后,著名数学家苏步青先生出面留他作了助教。当谷超豪为事业和理想努力拼搏的时候,在上海,一个注定与他有着人生长长“交集”的女孩也在发奋苦读着。这女孩便是胡和生,她1928年出生于上海一个艺术世家。与谷超豪一样,胡和生从小对数学就有着浓厚的兴趣。为了能用简捷方法解答疑难数学题,她能一个晚上不眠不休,直到做出为止。1950年,大学刚毕业的胡和生报考数学专业研究生,因为成绩优秀,同时被北京大学和浙江大学录取,她选择了浙江大学的微分几何学,成为著名数学家苏步青教授的学生。谷超豪第一次看到娇小、美丽的胡和生时,就有种怦然心动的感觉。那是1950年9月的一天,谷超豪在数学系图书室里翻阅资料,胡和生浅笑向他走来说:“苏先生给了我一篇论文,有些地方没弄清楚,我想让你帮我看一看,可以吗?”谷超豪喜出望外地说:“好啊,把论文给我吧!”胡和生说论文在宿舍里,你等一下,我马上去取。胡和生气喘吁吁地跑去又跑回,累得满头大汗,娇喘连连,让谷超豪顿生一股怜惜之情。随后,他俩共同讨论起论文来,谷超豪对胡和生的聪慧、灵透更是赞赏。此后,这对风华正茂的年轻人渐渐走到了一起。1957年,同在复旦大学执教的他们携手步入了婚姻的殿堂。珠联璧合事业共进结婚后,谷超豪和妻子恩爱有加,生活上相互关心、呵护。1958年初,新婚才半年的谷超豪被国家选派到莫斯科大学留学,随后不到两年,谷超豪在数学、物理上显现的才华震惊了校方,很快就获得了数学、物理博士学位。学成归国后,谷超豪和胡和生相互勉励,几乎把全部精力投入到了深奥而广袤的数学研究领域中。为了节省时间,胡和生很少去理发店剪发,每次都是她洗过头以后,让丈夫给她剪。起初,谷超豪说自己剪不好,如果剪坏了她就没法出门了。胡和生笑着说,剪坏了更好,我就可以天天在家里做研究了。谷超豪这才大胆地拿起了剪刀,后来,他的剪发技艺愈来愈好。胡和生开玩笑地说:“这一生,光剪发你就能为我省去几个月的时间,太值得了!”在谷超豪的家里,一间三十多平方米的书房摆着两张写字台,谷超豪的书桌朝阳,胡和生的书桌面墙,书房里堆放着各种文件、会议通知、报纸以及书籍,一对把事业视为生命的数学狂人每天就在这里并肩学习,两人为了一个问题常常争得你不让我,我不让你,但找到共同点时,他们又相视一笑。这对学术界的神仙眷侣出现在别人面前时,总是手拉着手。在校园里散步时,出席重要会议时,哪怕是去买一件小东西,他们的手都没有松开过。而每当研究上有了进展或有值得高兴的事,他们也是手拉着手到学生们常去的饭店里小小地庆祝一下。最让谷超豪感到欣慰的是,他和妻子的研究领域虽各有侧重,但两人的高度默契让他们的研究变得事半功倍。谷超豪说:“我做的工作可以讲给她听,她做的工作可以讲给我听。我们互相理解,也可以互提问题、相互核验,这是我们生活中最大的乐趣!”60年的执著探索,使得谷超豪和妻子成就斐然。谷超豪曾将自己的三大研究领域——微分几何、偏微分方程和数学物理亲昵地称为“金三角”,他和妻子一起研究的“孤立子理论与几何学”方面的成果,有很强的创造性。而胡和生不但是中国数学界唯一的女院士,还是第一位走上国际数学家大会NOETHER讲台的中国女性。数学成就了谷超豪、胡和生的爱情之梦。当年的同学少年,如今已经白发苍苍,这对手拉手出现在人们面前的神仙眷侣,已然成了中国数学界一道最惹人注目的风景。琴瑟和鸣一生相守时光如梭,谷超豪和胡和生转眼成了耄耋老人。现在,谷超豪家里的家务基本上由钟点工来做,钟点工一天来家1～2小时,其他的零碎家务就由老夫妻俩各自分担。只要有时间,老两口都会亲手烧一两个菜。谷超豪把做饭称为“自作自受”,即自己做饭,自己享受。生活中有数学相伴,谷超豪每天的日子都过得有滋有味。就拿最简单的炒菜来说,他通常先把碗洗好,然后把炒好的菜盛到碗里。可扎上围裙的谷超豪计算了一下,得出一个“结论”:根据统筹方法,应该先炒菜,在煮菜的时间里去洗碗,这样洗碗的时间就省下来了。谷超豪还是个“业余台风预报员”。他根据当时的风向和台风的几何特性,可以用简单的方法跟天气预报作出同步判断,并且比试一下谁更准确,谁更及时。这么好玩的事儿,谷超豪常常乐此不疲。2004年,强台风“云娜”正向我国东南沿海靠近,预报说会在浙江或者福建登陆。当时上海非常紧张,做好台风晚间来袭的准备。中午前后,谷超豪看到朝南的窗口拍打着雨点,风向正朝东南方向转变,于是认定这个台风已经在浙江登陆,且中心正向西或西北方向移动,上海不会有大问题。事实证明,他的判断完全正确。胡和生工作之余的爱好则是养花。她最喜欢的是太阳花,她照料那些娇小的花朵,就好像养活了一群漂亮的小姑娘。为了这群“小姑娘”,胡和生发明了她的“红色稻草人”——红色塑料袋扎在杆子上,杆子竖在花盆边,守护太阳花,就好像稻草人守护着麦田一样。那一年,她的太阳花种子发芽了,嫩嫩的,招人疼爱。可是,小麻雀来了,它们在花盆里打滚,闹得欢天喜地,没几天一大盆嫩芽就被小麻雀糟蹋了。遗憾之余,胡和生发现另一只花盆里的太阳花却还绽放着鲜绿的芽芽,那些芽芽躲在几朵大红花下面。是不是麻雀害怕红颜色呢?于是,胡和生就制作了她的“红色稻草人”,果然,从此,小麻雀不来找麻烦了。年轻时,胡和生嗓音非常好,唱歌曾是她的特长,苏联歌曲唱得行云流水。而读大学时,她的英文朗诵也让老师忍不住夸奖“beautiful

杜甫生活在唐代社会由盛转衰的历史转折关口,他的诗歌形象真实地反映了安史之乱前后的社会动荡,是时代的一面镜子,正因为如此,他的诗歌被后世之人喻为“诗史”。身处乱世,战争连连,而这一切最大的受害者则是手无寸铁的黎民百姓。呱呱坠地,蹒跚学步的年月,本应该是在父母的怀里撒娇的年龄,可不懂世事的孩童又有几人能清楚地知道,从自己还未记事起,就已经开始过着颠沛流离的生活,就已经开始承担着人生的第一大悲剧——幼年丧父。残酷的战争在年幼的他们在还没来得及理解“父爱”二字的深层含义时,就彻底地剥夺了他们享受父爱的权利,理解父爱的机会。✎

在中国的原子能理论研究领域，有这样一位科学家，他从未喝过“洋墨水”，却和邓稼先、程开甲等人一起隐姓埋名三十余年，研发了中国第一颗氢弹。他被日本同行称为“国产土专家一号”，让美国军界惊呼：“这家伙可抵十个集团军”，也让中国氢弹率先完成了小型化。他淡泊名利，当外界盛赞他是中国“氢弹之父”时，他谦虚地反对。他就是于敏老先生，今天我们就来说说这位老先生传奇的一生。1926年，于敏出生于河北省宁河县芦台镇一户普通的人家，父母亲都是小职员，靠着微薄的收入一家人勉强能过活。在那个兵荒马乱，民不聊生的战乱年代，侵略者暴行，给他的童年留下了惨痛的记忆。有一次，于敏差点儿遭到一辆横冲直撞的日本军车碾压。那一刻，只有12岁的于敏惊恐、愤怒，更切身体味到了亡国奴滋味。从此，于敏更加发奋学习，希望有朝一日，自己能像岳飞一样，荡寇平虏，重振山河！高中时，于敏门门功课第一，使得他在全校很出名，此时有人找上了他，愿意资助他上大学，条件之一就是去北大工学院，为了减轻父母负担，他进入了北大工学院，不过在学习中，他发现自己还是更喜欢理论研究，最终转入理学院物理系。进入北大物理系，由于热爱数学，闲暇时经常去数学系旁听，有一次数学系组织了一场考试，由于试卷极难，数学系的天才们平均分不足20分，最高分不过60分，但就在这时，老师批改出了一张100分的试卷。一张属于旁听生于敏的试卷。就这样，于敏的大名传遍了整个北大校园，成了那些天才们眼中真正的天才。▲于敏（后排左一）在北大理学院荷花池在北大，于敏如饥似渴地学习！没有路费，寒暑假也从不回家，他跑到景山顶上去，拿着课本、习题乘着风学习。冬天，同学们在宿舍里打牌、聊天，他披件旧大衣在旁边安静地看书。1949年后，于敏以物理系第一名的成绩，考取了北大理学院院长张宗燧的研究生。张宗燧是著名物理学家，第一位在剑桥大学开课的中国人，他对学生要求极高，讲课从头到尾用英文，内容更是深奥难懂！在其他同学望而生畏之时，于敏却专找极难的课题挑战，他超强的记忆力，超群的理解力和领悟力，曾让整个理学院为之惊叹！就连张宗燧先生都无比欣慰地说：“我教学了一辈子从未见过于敏这么好的学生！”1952年，美国引爆了世界上第一颗氢弹。当时正值朝鲜战争期间，中国受到了美国核武器的严重威胁，毛主席下达了紧急指示：“原子弹要有，氢弹也要快！”1951年的一天，在北大当助教不足一年的于敏。被神秘地带入了新中国的第一个核科学技术研究基地——近代物理研究所。接待于敏的是我国核科学事业的奠基人彭桓武先生（两弹一星功勋科学家、中国核科学事业奠基人）。当时，这里集中了中国所有核领域的顶尖人才，于敏同邓稼先、黄祖洽、金星南等8人一同分入了原子核理论小组，在研究所短短数年间，于敏不仅掌握了国际核物理的精髓，还写出了多篇重量级论文。于敏的论文让我国的原子核研究上升到了全新的高度，他与杨立铭教授合著的《原子核理论讲义》是我国第一部原子核理论专著。1957年，诺贝尔物理学奖获得者、日本专家朝永振一郎亲自跑到中国，点名要见于敏这位奇才，当得知于敏竟然没有任何留学经历，更是未受过任何国外名师的指导，仅靠独自钻研、研究完全从零开始之时，朝永振一郎忍不住称赞道：于敏真是中国的「国产土专家

涅夫斯基修道院墓园。在欧拉的家乡瑞士巴塞尔的里恩，他的故居墙壁外有一块小小的牌匾，

分圆多项式的系数:x^2-1=(-1+x)(1+x)x^3-1=(-1+x)(1+x+x^2)x^4-1=(-1+x)(1+x)(1+x^2)...x^30-1=(-1+x)(1+x)(1-x+x^2)(1+x+x^2)(1-x+x^2-x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8)(1+x-x^3-x^4-x^5+x^7+x^8)...把x^n-1分解因式,等号右边这些因式就是分圆多项式,有人猜测是不是分圆多项式每一项的系数都是0,

f(n)(a)(x-a)^n/n!＋……在这里，精确到不同的项，就是不同级的近似。类似的，人生的零级近似是直接取f(x)=

汤善健简历汤善健，复旦大学数学科学学院教授、博士生导师，复旦大学国家重点学科运筹学与控制论专业学术带头人，“长江学者”奖励计划特聘教授。1966

对于科学家来说，好像没有什么事情是不可能做到的。纵观科学发展史，我们便会发现，一个又一个看似“不可能的任务”最终都成为可能，例如利用核能、上演太空飞行、创建力场以及远距离传物。几个世纪前，很多人还认为这些事情是不可能办到的，但近些年来，一些“明知不可为而为之”的人却开始迈进“可能”大门。分析恒星组成在1842年著作《实证哲学》中，法国哲学家奥古斯特·孔德曾这样描述恒星：“我们永远不可能了解它们的内部结构，对于其中一些恒星，我们也不可能了解它们的大气层如何吸收热量。”在提到行星时，这位哲学家也持相同论调，他这样写道：“我们永远不会知道它们的化学或者矿物学结构，更不要说了解生活在它们表面的有组织的生物了。”实际上，孔德之所以得出这种结论是有依据的——恒星和行星与地球之间距离太远，已超出我们的视觉和几何学极限。他指出，虽然能够计算它们的距离、运动和质量，但除此之外，我们不会了解任何东西；我们没有任何一种方式能够对恒星和行星进行化学分析。具有讽刺意味的是，事实最终证明这位大哲学家的话大错特错。19世纪初，威廉·海德·沃勒斯顿和约瑟夫·冯·弗劳恩霍夫均发现太阳光谱中含有大量黑线。截止到1859年，黑线的秘密已被进一步揭开，此时的名字已变成“原子吸收线”。通过分析这种类型的线，我们便可确定存在于太阳之上的每一种化学元素，进而让发现恒星组成成分成为一种可能。确定陨石存在在整个文艺复兴时期和现代科学发展初期，天文学家一直拒绝承认陨石存在。认为这些石头来自太空的想法也一度被打上“迷信”和“异教学说”标签，反对者指出，上帝怎么会创造一个如此混乱的宇宙呢？当时，法国科学院曾做出这样的著名论断——“天上不可能掉石头”。火球和石头撞击地面的报告一直被视为谣言和传说，这些石头也一度被解释为“雷石”，即雷击的产物。直到1794年，否认陨石存在的论断才宣告结束，当时，恩斯特·克拉德尼——因有关振动和声学的著作而闻名于世的物理学家——在一部著作中指出，陨石应该来自外太空。1790年，法国巴伯坦地区下了一场“石头雨”(石头从天而降)，当时有300人目击了这一过程。也正是这场“石头雨”促使克拉德尼发表了他的著作。然而，克拉德尼的大作《帕拉斯铁类似物质以及相关自然现象由来》(On

C，反应发出耀眼的强光。花絮：最早的闪光灯就利用了镁发出的强光，因此它也被称为“镁光灯”。危险：高。反应过程中，有火花溅出的可能，需要移除附近所有的可燃物，并使用防护隔板。录制者：Grant

1734年，即雍正十二年，英国国王及汉诺威大公的乔治二世决定在哥廷根创办一所大学，旨在弘扬欧洲启蒙时代学术自由的理念。在此后的200多年间，哥廷根大学为人类的进步培养了一大批杰出数学家，物理学家，尤其是量子物理学方面。著名数学家有高斯、黎曼、克莱因、希尔伯特等，著名的物理学家有普朗克、赫兹、费米、泡利和奥本海默等等。据统计，前后共有46名诺贝尔奖得主，或在此读书或教学。高斯（1777~1855）开始了哥廷根数学学派的起始时代，他把现代数学提到一个新的水平。翻翻高斯的历史，只能说，他就是个妖孽，高斯的出身非常一般，老师也很一般，但他的语言和数学天赋非常不一般，18岁（1795年）进入哥廷根大学后，便是开挂的人生，他是历史上罕见的高水平，高产，并且超长待机的数学家（很多天才数学家都是英年早逝）。黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作，在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献。黎曼（1826-1866）是一个才华横溢的数学天才，只不过寿命只有他老师高斯的一半，不过他发表的每一篇文章都开创了数学不同方面的领域，尤其是现代几何。黎曼的学生中有一个叫戴德金的，在实数理论和代数数论方面提出过一些好玩的概念，但却远远不能撑起数学的一片天。由于黎曼死的太早，后续的领军人物也没有培养好，导致哥廷根学派在黎曼死后陷入一定程度的低谷期。1886年，克莱因（1849-1925）从莱比锡大学来到了哥廷根大学，思考如何振兴哥廷根学派。克莱因的原则是聘请年轻的新星，而不是那些已经成名的数学家。两者的区别在于年轻的数学家更容易做出新的东西，而成名的数学家往往守旧反而做不出新东西。克莱因的选才标准日后也成为哥廷根的数学传统，在哥廷根这些老一辈数学教授退休或去世后，他们的继任者都是清一色的数学新星。于是，他选中了希尔伯特（1862-1943）。1895年，克莱因提议并说服了德意志教育文化部和哥廷根教授会聘请希尔伯特来继任韦伯的职位。希尔伯特果然没有让克莱因失望，在哥廷根任教授期间，他先后在几何学公理化、变分法、积分方程和数学基础方面做出了巨大的贡献，引领着数学的发展，使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期。克莱因以其著名的《埃尔朗根纲领》闻名于世，他从变换群的观点出发，把当时已有的各种几何学加以分类，他是哥廷根学派的组织者和领导者。希尔伯特在代数、几何、分析乃至元数学上的一连串无与伦比的数学成就，使他成为无可争辩的哥廷根数学学派的领袖人物。1900年，他在巴黎的国际数学家会议上发表演说，提出了著名的23个问题，表示他将领导新世纪的数学新潮流。希尔伯特本身能力强，培养学生的能力也强，而且也是超长待机。希尔伯特吸引着世界各地的年轻人像朝圣般地奔向哥廷根，光他指导的博士就有七八十人。在克莱因和希尔伯特的联手努力下，上个世纪初的30多年间，哥廷根成为名副其实的国际数学中心，大批青年学者涌向哥廷根，那个时候很多有影响的论文都是用德语写的。在哥廷根，克莱因的邻居闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何；外尔最早提出规范场理论，为广义相对论提供理论依据；冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础，发展了泛函分析，顺便确定了电子计算机的发展路线；女数学家诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础，并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展；柯朗是应用数学大家，他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路．哥廷根学派的数学成就，对世界数学的发展产生了极其深远的影响．这个学派之所以能取得如此的成就，有它深刻的社会原因．首先，哥廷根学派人数众多，学科全面，并且在它各个时期都以罕见的全才──高斯、黎曼、克莱因和希尔伯特为学术带头人；其次，学术带头人年轻，思想活跃，富有创造性是哥廷根学派在世界数学发展中长期占主导地位的重要原因；重视学术交流、创造一种自由、平等的讨论和相互紧密合作的学术空气，并蔚然成风，这种精神是哥廷根学派取得巨大成就的重要原因；重视纯粹数学和应用数学，把理论自然科学和控制工程技术结合起来的优良的双重科学传统更是哥廷根学派留下的成功经验．哥廷根学派逐渐成为世界数学家的摇篮和圣地，但希特勒的上台，使它受到致命的打击。大批犹太血统的科学家被迫亡命美国，哥廷根数学学派解体。这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单，就可见人材转移之一斑了。爱因斯坦（1879～1955，伟大的物理学家）弗兰克（1882～1964，1925年获诺贝尔物理学奖）冯·诺依曼（1903～1957，杰出数学家之一）柯朗（1888～1972，哥廷根数学研究所负责人）哥德尔（1906～1976，数理逻辑学家）诺特（1882～1935，抽象代数奠基人之一）费勒（1906～1970，随机过程论的创始人之一）阿廷（1896～1962，抽象代数奠基人之一）费里德里希（1901～1983，应用数学家）外尔（1885～1955，杰出的数学家之一）德恩（1878～1952，希尔伯特第3问题解决者）此外还有波利亚、舍荀（Szeg）、海林格（Hellinger）、爱华德（Ewald）、诺尔德海姆（Nordheim）、德拜（Debye）、威格纳（Wigner）。外尔和冯·诺依曼在美国的普林斯顿高等研究所任教授，柯朗在纽约大学任教，创办了举世闻名的应用数学研究所。从此以后，美国数学居世界领先地位，唯一能与之抗衡的，便是当时的超级大国苏联，其前期以圣彼得堡学派为代表，后期以莫斯科大学为代表，直到苏联解体，大批苏联数学家流亡美国，普林斯顿成为世界数学的中心，一直至今。END往期精彩回顾镜头下的中国城市面孔一生必知的10大科学定律及理论（上）桑德伯格让我明白了我们对美国精英教育的误解有多深让我知道你在看

在做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(SimilarityMeasurement)，这时通常采用的方法就是计算样本间的“距离”(Distance)。采用什么样的方法计算距离是很讲究，甚至关系到分类的正确与否。

in了短视频、教育、游戏、电商等领域后，医疗健康，也自然不能落让我们先从刚加盟字节的百度前高管吴海峰，和一个叫做「极光」的大健康部门说起。吴海锋何许人也？百度「前大咖」领军字节新版图根据《晚点

1.直肠按摩治疗打嗝具体操作手法是：食指伸入打嗝者的肛门，以缓慢的圆周运动按摩直肠，患者打嗝的频率会立即减缓，30

如何理解矩阵？（三）上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。“矩阵是线性空间里的变换的描述。”到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：T(ax

如何理解矩阵？（二）上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4

彩色沙丘美国拉森火山国家公园火山坡上的沙丘呈现斑斓的彩色。这是火山活动的结果，美得让人窒息。这一幕像是油画，上帝的画作。荧光海滩马尔代夫灿若星河般的“荧光海滩”景象。这并非真的是天上的星星坠入凡间，而是海洋中一些能够发光的生物聚集在一起，让平凡的海滩带上了不平凡的色彩。纳特龙湖坦桑尼亚纳特龙湖拥有美杜莎拥有使人石化的能力，鸟类等动物如果不慎掉入水中，全身便会逐渐钙化凝固，最终成为天然石雕……Mutnovsky火山附近的冰洞俄罗斯这个冰洞位于俄罗斯北部的穆特洛夫斯基火山附近，经常被厚厚的冰雪所包围，总长度约300米。由于穆特洛夫斯基火山影响形成的温泉水流经过此处造就了这个冰洞。在全球日益变暖的情况下，这等美景真的是可遇不可求···冰洞美国俄勒冈州世界上有许多美丽的冰封洞穴,其中不少已不复存在。洞穴往往因为在体积变大后自身重量不断加重而突然坍塌。梦幻景色转瞬即逝,探险家用相机记录下这冰封的奇迹。不得不惊叹自然古朴大气的手艺似鬼斧神工。斑点湖加拿大一年内湖水颜色会不断变化，所以无论你什么时候去都能看到漂亮的色斑。当然也只有在6月到9月中旬时由于湖水的蒸发才露出湖底的矿物质，从而形成诸多的圆圈，斑点湖也由此而得名。玫瑰湖塞内加尔令人难以置信的是，这涂在大西洋边的一抹粉红竟然是一个狂暴肆虐的恶魔留下的礼物。当地人说，湖的色彩最美丽的时候是在东面来的干热风刮起之际。那时，湖水中的盐藻在热风的催化下爆发，将湖水变成了盛开的玫瑰。韩松洞越南1991年，一位当地农民为了躲避暴风雪，偶然发现韩松洞，入内避难。但之后，他却怎么也找不见这个山洞了。2009年，一队英国洞穴探险者们在他的帮助下，最终再次找到了该山洞，使韩松洞成为官方确定的世界最大山洞。瓦特纳冰川洞穴冰岛996年11月瓦特纳冰原上的火山喷发融化了数十亿加仑的冰，并引发持续两天的洪水。当时洪水漫滩上散落着巨大的冰块。瓦特纳冰川海拔约1500米。瓦特纳冰川不静止的特性成为冰岛的典型风光。地狱之门土库曼斯坦1971年当地质学家进行钻探时，意外地发现了一个充满天然气的地下洞穴，为了防止有毒气体外泄，他们决定点燃漏出来的天然气。截至2015年，这洞口的火焰从未间断过。当地人称之为“地狱之门。乌尤尼盐沼玻利维亚乌尤尼盐沼是由大约4万年前的巨大湖泊干涸后形成的，在雨季，硬壳般的盐沼表面才会形成光滑的镜面。行走在盐沼上，就好象处于一种虚无的状态，面积巨大的盐沼对阳光的反射让天空与自身完美的融合在了一起。纳米布沙漠纳米比亚纳米布沙漠是世界上最古老的沙漠之一，而且是唯一的一个红色沙漠。“纳米布”在当地的语言里，意思是“什么也没有的地方”，但在我看来，这里不仅有，而且还很多；最多的，就是美！羚羊峡谷美国佩吉小镇的东南不远处，有两段神秘的峡谷，当阳光照进幽深宁静的谷中，光与影的舞蹈便在这里释放魅力，以至于让它成为了众多摄影爱好者的天堂，这就是纳瓦霍印第安保护区的羚羊峡谷。图片为小包老师在羚羊谷的照片。贝加尔湖翡翠冰俄罗斯冬天到来时，湖面气温能低至零下38摄氏度。极低的气温使得湖面结冰，而强风又推动湖面上新结的冰和浮冰移动，形成了一片片壮美的冰丘，宛如一块块巨大宝石。红海滩中国盘锦红海滩并非真正的海滩而是由大片大片的碱蓬草形成的海洋般的湿地。簇簇红色向遥远的天际无限地延伸时，那种壮美奇丽一定会令你无法立辨真幻，如果不是亲见，没有人能想象，它是如何铺天盖地的广阔，摄魂夺魄的壮美。奈卡矿井水晶洞墨西哥墨西哥巨人水晶洞位于墨西哥奇瓦瓦沙漠地下深处，洞内到处都是壮观的发光巨型石柱,

如何理解矩阵？（一）今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；这些点之间存在相对的关系；可以在空间中定义长度、角度；这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动。上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：L1.

年首次被提出以后，这个命题吸引了世界上众多的数学家挑战证明，正如字面所述，它已成为数学界的“世纪大难题”。因此，这一难题的破解在世界范围内引发极大冲击。美国耶鲁大学的数学家布鲁斯•克莱纳(Bruce

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars

围棋一向被誉为是人类大脑智慧的专利，几乎每个中国人都听到的话就是，围棋可以锻炼数学思维和逻辑能力。让我们先看看围棋中有哪些数学原理。围棋的思维图围棋，起源于中国，可以说是最早产生的一种棋类。相传围棋为尧所造，已经有4000年的历史。最初围棋可能与天文有联系，后来逐步变为纯粹的策略游戏。围棋的规则很简单，可以理解为双方抢占棋盘上的空间，对弈双方谁围起的空间越大谁就获得胜利。这与如今的市场经济体系是有相似之处的。博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，从而达到取胜目的理论与方法。其最早期的研究对象就是象棋，桥牌，赌博等。所以也可以用博弈论中的方法来研究围棋。在围棋的一些基本概念，如死活，围空，实地与势中都蕴含着数学的原理。我们来细细看过。有一句棋彦叫“多子围空方胜扁”，其意思是用多颗棋子围空的时候，棋型要尽量走成方形，也就是要有立体感，要把棋子的效率最大化，这样能围城大空。扁的棋型所占目数少，子效很低，弹性小。这其实是一个约束条件下的最优化数学问题。下棋时我们总是希望用尽量少的子围出尽量大的空。当所用的子数一样时，围空越大越好。可以近似的把这个问题抽象为一个条件极值问题：矩形周长C为定值，求矩形面积S的最大值。即求：构造拉格朗日函数，则可以列出方程：解得：由于空的最大值在区间内一定存在，所以易得：就是最大值取得的条件,也就是说矩形为正方形时围空的效率最高。有经验的棋手布局时就会注意这一点，将子下得高低错落有致，这样易于高效的围出空来，不至于下出扁平的臃肿的所谓“愚形”。当然，关于围空效率的问题，还有很多的棋彦，比如“金角银边草肚皮”，“莫压四路，休爬二路”，“七子沿边活也输”等等，这些道理都较易明白，这里就不再赘述了。死活棋中的数学原理围棋的死活是最基本的一项规则，可能也是唯一的规则了，所以死活的研究对于每一个棋手都是非常重要的。在下围棋时的计算主要就是死活和目数。对于一块棋的死活的计算，最一开始我们利用较多的就是穷举法，将可能的走法试一遍，来判断棋的死活。当然这种方法最适用于简单的死活，比如一些初学者做的死活题，因为此时可能性不多，能够穷举出来。对于一些复杂的死活问题，化归的思想是非常有用和自然的，如果能够试法将复杂问题转化为自己已经知道结论的简单问题，就能对自己的分析起到指导意义。比如我们一看到若干步之后能够构造出经典的活棋形式，就可以断定这片棋是活棋。在对杀的过程中往往要判断自己单个眼内的内气是否满足需求。眼中内气的求法可用数列通项的递推方法来计算。若大小为n的眼位有an口气，则大小为n+1的眼有an+1口气，an+1与an满足的关系是：通过逐项相消的方法，可求得an的通项公式为我们可以将该结论进行验证，结果均与人们平时所熟悉数据的一致。当然n≥7时的大眼是公活的，讨论其气数在实战中意义不大，但是，这样的分析问题的方法却是值得借鉴的，因为这种递推的方法有助于我们化繁为简，加快计算速度。围棋盘上格点数为19×19的数学原理纵横十九道，迷煞多少人。围棋的规则现在已经基本定型。围棋的发展经理了一个漫长的过程。如今棋盘为19×19，也是经历了历史的演变。当然，围棋盘为什么是现在这个样子一直还是有争议的。但我们可以通过实地与外势的平衡来分析这个问题。围棋盘上三路线被称为地线，在地线上行棋容易将低路上的空地围住。四路线被称为势，虽然不能完全控制住低路，但是对高路的围空很有帮助。我们可以看一个极端的例子。对于N路棋盘（一般最小的棋盘为九路，即N≥9），若地线全部被黑棋占领，势线全部被白棋占领（如下图所示）则双方的围空效率之差为其中，这一项当N≥9时单调递减，这一项也单调递增，所以整个式子是单调递增的。将N=18和N=19代入式子中，我们得到可见N=19时|△λ|

零是什么？零是一个极其重要的数。零关联着“有”与“无”，0之“前”意味着没有，从0起才意味着有，例如，一天的时间从0时开始，一个人的一生从0岁起算。许多人都以为零与其他数字是同时被认识的，其实它的发现比其他数字要晚的多。早期的零零的产生与位值制记数法有不可分割的关系。早期人们用位值制记数法的时候，遇到了空位，需要一个合适的记号，就用不同的方式来表示零。因而，最初的零是由位值制计数法产生的。世界上较早采用位值制计数法的有巴比伦、玛雅、印度和中国等，这些地区的民族对零的产生和发展都作出过自己的贡献。巴比伦的泥板书中记载了在公元前200——300年时产生的最早的零号，形如

摘要：人为什么要学数学？从科学的立场来看，数学是时代的特征，数学是美妙的乐章，数学是科学的皇后、科学的仆人、科学的伙伴。从教育的立场来看，数学是具备公民资格的前提，数学是现代人的基本素质，数学培养人的优秀品质，数学教人思维，数学提升审美能力，数学促进人的终身发展等。在数学课程改革的背景下，“人为什么要学数学？”是我们教育工作者必须弄清的数学教育哲学的基本问题。关键词：数学意义；立场；启示人为什么要学数学？其实很多人并不清楚，甚至存在许多认识误区。有学生认为，“数学除了买东西的时候有点用，考试的时候有点用，没有多大的实际用途。”还有学生认为，“学数学一切为了高考，没有高考就没有人会学这些没有用的东西。”其实，数学是一个意义的领域。1、数学意义——科学的立场1.1

等等。所有这些多项式具有常数项1，从不为-1。但除此之外，我们可以使用这个技巧得到系数为1或-1的所有多项式。所以，我们让他们都达到了一个整体的标志，这足以研究他们的根。现在，根据z是什么，函数f

也不能区分这两面鼓。用数学的语言来讲，这两个平面区域有着相同的特征值（集合）。虽然卡兹问题的答案是否定的，但是这不代表我们不能得到一些信息。比如上面的两个平面区域尽管是不一样的，但是很容易验证，

“美国最好的学生真是好得不得了。应该这样比较，不管是美国，还是中国，能进哈佛大学的学生都应该是这两个国家最好的学生。而两类最优秀的人相比，美国学生的基础知识绝对不会逊色于中国学生，相反是要强很多。”

为什么要利用太阳和月亮来辨别方向？智能手机里基本都有“指南针”这个功能吧，拿出来晃一晃看一看就知道了。好吧，你的手机丢失了或者没电了，有手表吗？不是电子表，是指针式的表盘。按照当地当时的时间（按24小时制）除以2，例如下午2点就是14点，除以2得到7点，然后把7点的刻度对准太阳的方向，这时表盘上12点刻度所指的方向那就是北方了，反之6点的刻度指向就是南方。总之，简单的记住“时间折半对太阳，12指向是北方”就可以了。但是现在带这种机械指针手表的不多了，智能手表虽然也能显示表盘指针，但基本很快就没电了。那么没有手表该怎么用太阳辨别方向呢？用影子。选一个阳光比较灿烂的时候，找一根木棍或直一些的树枝想法立在平地上，在木棍影子的顶端作一下标记（比如放块石头），木棍的影子会随着太阳位置的变化而移动。大约半个小时后（自己估计），在木棍的影子顶端再做下标记。然后在两个标记之间划一条直线，在这条线的中间作一条与之垂直相交的直线，那么这条直线即为南北方向，且弧顶为北方。你面向北方，背面为南方，右手就是东面，左手为西面。此方法南北半球均适用。至于用月亮辨别方向，还不如用星星来的方便呢，你能找到北极星就够用了。不过题主既然问到了，还是说说用月亮来辨明方位的方法吧。月亮辩方向，你得稍微了解下月相的变化规律以及对应的农历日子。直接上图吧：不好记的话就直接记住，每月农历15之前月亮缺口指向的方向为东，农历15日之后缺口指向的方向为西就可以了。当然，最简单的就是你得知道太阳是东升西落，中午太阳的是在南面，还是不清楚的话，就别去野外了！以上文章观点仅代表文章作者，仅供参考，以抛砖引玉！END往期精彩回顾数学与爱情不可能存在的图形各种“数”的由来，真是神奇又有趣让我知道你在看

前言作为一个时代数学界的领袖，德国人民伟大的儿子，当大卫·希尔伯特1943年在哥廷根与世长辞时，人们开始回顾他所留下的精神印记和正在消失在地平线下的那个数学时代，似乎感到希尔伯特的时代比起以往和以后贯穿着更完美的平衡——精通单个具体问题和形成一般抽象概念之间的平衡。

通过上面的例子，我们不难发现，只要是涉及到和“增长”有关的概念，自然常数e就会出现。在大自然中，无论是生物的生长与繁殖，还是放射性物质的衰变……类似于复利问题这样的增长方式比比皆是。

数的进化回顾从自然数1，2，3，4，…开始，再加上分数、负数、无理数，直到成为实数的发展过程，可以说它很像是许多涓涓细流汇成一条大河。[注：本文涉及的自然数不包括0。]自然数添上分数，再添上负数就成为了有理数（当然还要添上0）；有理数再加进无理数就成为实数。可是光有实数还不够，再加上新来的虚数，这就诞生了更广泛的数——复数。那么，为什么在数的世界里，要从自然数扩大到实数呢？他细想一想，这里有个一贯的原则。比如说，有一个人只知道10以内的数。1，2，3，…，10当然对这个人来说：加法也是不太行的。也就是说，即使取其中任意两个数相加，也有可能答不上来。如果是2+3，他知道是5。要是6+7的话，他就只好说“不知道”了。他即使知道10000以内的数也是一样。因为6000+7000的答案不可能在10000以内的数里找出来。因此，为了无限制地进行＋运算，就必须有无限多的自然数。这样就产生了所谓无限多的自然数的整体的想法，这就是1，2，3，…想象有这样一个自然数的整体，就可以自由的进行＋运算了。这时，自然数的整体对于＋来说叫做闭合。由于乘法也是自然数的相乘，是加法的重复，因此也能自由地进行。也就说自然数的整体对于×是闭合的。所以在只考虑＋或×的时候。只要自然数就够用，没有必要再考虑新的数。可是要考虑×的逆运算÷的时候，自然数就不再闭合。因为任意取两个自然数作除法结果却不一定是自然数。例如2÷3的结果就不是自然数。自然数的范围太狭窄了，要想自由地进行除法运算，就必须增加新的数，这就是分数。在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内，＋，×，÷就可以自由地进行。然而，想到＋的逆运算－的时候，这个范围又窄了。因为不能从小数减去大数，例如2－5，即使写出这个式子，也得不出答案。为了让这个式子也能有答案，就必须想出－3这样一个新数。也就是说要自由地做－运算，需要有一种新的数——负数。把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数，即有理数时，＋，－，×，÷四则运算可以自由的无限制地进行。换句话说有理数对于四则运算是闭合的。19世练的天才数学家伽罗瓦把对于四则运算闭合的数的集合叫做域。按照这个叫法，也可以说整个有理数的集合是域。当然，叫域的除了有理数之外还有许多，对于我们来说最熟悉的首先就是有理数。当数的世界扩展到有理数时，＋，－，×，÷的计算虽然能自由地进行，但是还不具有连续性，所以仍然不能表示直线上所有的点。填满这些空缺就需要无理数。有理数与无理数合起来就是实数。有了实数就可以表示直线上所有的点。总而言之，实数的集合就是对于＋，－，×，÷闭合的一个域，同时还具有连续性。到此为止，似乎可以认为数的世界扩展可以暂时停止了。可是，如果实数世界就是终点，数的交响乐不过是缺少最后乐章的未完成的交响乐而已。随着实数而来的最后的乐章就是复数。四则逆运算以前扩大数的世界时，在很多情况下它的契机是逆运算。例如，由于×的逆运算÷而增加了新的分数；由＋的逆运算－而产生了新的负数。从实数产生复数的契机也仍然基于逆运算。假如我们对于x这样一个实数任意进行＋，－，×，÷四则运算时，可得到以下的式子：不管这些式子多么复杂，也只是＋，－，×，÷的组合，所以只要x是实数，代入计算的值就也是实数。比如设下面式子等于y：假定这个式子是从x算出y的，这就是四则运算。现在来考虑四则运算的逆运算，也就是从y求出x。例如当y=2时，x等于多少呢？这个计算就是为此，只要解答下面的式子求出x，去掉分母移项得解满足这个方程的x，结果呢？所谓