北师大版八上数学4.2 一次函数与正比例函数 知识精讲
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知识点总结
一次函数 知识点
变量和常量
在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。
函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
自变量取值范围的确定方法
1、自变量的取值范围必须使解析式有意义。
当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数;当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数;当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。
2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点);
第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
正比例函数
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
正比例函数图象和性质
一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点和(1，k)的直线.我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.
(1)解析式：y=kx(k是常数，k≠0)
(2)必过点：(0，0)、(1，k)
(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限;k<0时，图像经过二、四象限
(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小
(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴
正比例函数解析式的确定——待定系数法
1.设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)
2.把已知条件(一个点的坐标)代入解析式，得到关于k的一元一次方程
3.解方程，求出系数k
4.将k的值代回解析式
一次函数
一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的图象及性质
一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(-b/k，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)
(1)解析式：y=kx+b(k、b是常数，k≠0)
(2)必过点：(0，b)和(-b/k，0)
(3)走向：k>0，图像从左往右斜向上;
k<0，图像从左往右斜向下；
b>0，交y轴正半轴；
b=0，交原点；
b<0，交y轴负半轴；
k>0，b>0;<=>直线经过第一、二、三象限
k>0，b<0;<=>直线经过第一、三、四象限
K<0，b>0;<=>直线经过第一、二、四象限
K<0，b<0;<=>直线经过第二、三、四象限
(4)增减性： k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小.
(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.
(6)图像的平移：当b>0时，将直线y=kx图象向上平移b个单位;
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
(1)两直线平行：k1=k2且b1≠b2
(2)两直线相交：k1≠k2
(3)两直线重合：k1=k2且b1=b2
确定一次函数解析式的方法
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.
一次函数建模
函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.
正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义. 从图象中获取的信息一般是：
(1)从函数图象的形状判定函数的类型;
(2)从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义. 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.
用函数观点看方程(组)与不等式
一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围.
一次函数与二元一次方程组
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-(a/b)x++c/b的图象相同.
(2)二元一次方程组
a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2;的解可以看作是两个一次函数y=(a1/b1)x+c1/b1和y=-(a2/b2)x+c2/b2的图像交点。
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
知识点2 函数的图象
由于两点确定一条直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线与x轴的交点。.不必一定选取这两个特殊点.
画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.
知识点3一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质
（1）k的正负决定直线的倾斜方向；
①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（3）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①如图所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图所示，当k＞0，b＜O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
（4）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．
知识点4 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；
（3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．
知识点5 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系
（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；
（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．
例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．
知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．
（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．
知识点7 待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．
知识点8 用待定系数法 确定一次函数表达式一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值，得到函数表达式．
思想方法小结 （1）函数方法．（2）数形结合法．
知识规律小结 （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．
①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；
当b=0时，直线经过原点；
当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．
②当k，b异号时，直线与x轴正半轴相交；
当b=0时，直线经过原点；
当k，b同号时，直线与x轴负半轴相交．
③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；
当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；
当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；
正比例函数 知识点
正比例函数定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
当k>0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
当k<0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
正比例函数性质：
定义域 | 值域 | 奇偶性 | 周期性 |
R（实数集） | R（实数集） | 奇函数 | 不是周期函数 |
单调性：
当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；
当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。
对称性：
对称点：关于原点成中心对称
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线
正比例函数的定义经典例题
1.对于正比例函数y=2x，当x=1时，函数值y=______．
分析:
对于正比例函数y=2x，
当x=1时，函数值y=2×1=2．
故答案为：2．
2.正比例函数y=3x是过点（0，______）与（1，______）的一条直线．
分析:
∵正比例函数的一般形式为y=kx，
∴当x=0时，y=0，
∴正比例函数的图象一定经过（0，0）点，
当x=1时，y=3，则图象过（1，3）点．
故答案为：0，3．
3.正比例函数y=2x的图象所过的象限是( )
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
分析：
选A.
∵正比例函数y=2x中,k=2>0,
∴此函数的图象经过第一、三象限.
4.请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式
分析：
设此正比例函数的解析式为y=kx(k≠0),
∵此正比例函数的图象经过第一、三象限,∴k>0,
∴符合条件的正比例函数解析式可以为:y=x(答案不唯一).
答案:y=x(答案不唯一)
5.已知正比例函数y=kx(k≠0),点(2,-3)在函数图象上,则y随x的增大而________(增大或减小).
分析：
∵点(2,-3)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,∴2k=-3,
解得:k=-（3/2）,∴正比例函数解析式是:y=-（3/2）x,
∵k=-（3/2）<0,∴y随x的增大而减小.
答案:减小
练习题
1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． y=﹣2x^2 B． y=x/3C． y=1/(4x) D． y=x﹣2
2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（ ）
A． 0 B．﹣2 C． 2D． ﹣0.5
4．下列说法正确的是（ ）
A． 圆面积公式S=πr^2 中，S与r成正比例关系
B．三角形面积公式S=（1/2）ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系
C．y=（1/x）+1中，y与x成反比例关系
D．y=（x-1）/2中，y与x成正比例关系
5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（ ）
A． 正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B． 圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C． 如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D． 一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2 是正比例函数，则m值为（ ）
A． 3 B． ﹣3 C． ±3 D． 不能确定
7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（ ）
A． k=2 B． k≠2 C． k=﹣2 D． k≠﹣2
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