北师大版 八年级数学下册 4.2《提公因式法》知识点精讲

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提公因式法

1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式．

2．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．

3．提取公因式的方法：把多项式各项的公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式．

【要点梳理】

要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

要点诠释：

（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.

（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

要点二、公因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

要点诠释：

（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，

（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

知识点精讲1：

要点三、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．

要点诠释：

（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .

（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因

（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项

（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.

【典型例题】

知识点精讲2：

例题

探究点一：因式分解的概念

解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因

知识点精讲3：

式分解；故选B.

方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．

探究点二：提公因式法分解因式

【类型一】 确定公因式

解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D.

方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．

【类型二】 用提公因式法因式分解

方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．

【类型三】 利用因式分解简化运算

解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.16，进而求出即可．

解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；

(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.

方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．

【类型四】 利用因式分解整体代换求值

方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．

【类型五】 因式分解与三角形知识的综合

方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．

【类型六】 运用因式分解探究规律

解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．

方法总结：解决此类问题需要认真阅读理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．

类型一、因式分解的概念

1、观察下列从左到右的变形：

⑴；     ⑵

⑶；  ⑷

其中是因式分解的有         （填序号）

【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断．

【答案】（3）.

【解析】

 解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式，

(2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；

只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．

【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．

举一反三：

【变式】（2014•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　）

　A.a+4a﹣21=a（a+4）﹣21        B.a+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）

　 C.（a﹣3）（a+7）=a+4a﹣21        D.a+4a﹣21=（a+2）﹣25

【答案】B.

类型二、提公因式法分解因式                                                        

2、(1)多项式的公因式是________；

(2)多项式的公因式是________；

        (3)多项式的公因式是________；

        (4)多项式的公因式是________．  

【答案】(1)3    (2)4    (3)    (4)

【解析】

解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．

(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.

(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是．公因式为4.

(3)公因式是（），为一个多项式因式．

(4)多项式可变形，其公因式是．

【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．

举一反三：

【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（　　）

A．    B．     C．     D．

【答案】B；

3、若，则E是（　　）

A．      B．       C．       D．

【答案】C；

【解析】解：．故选C．

【总结升华】观察等式的右边，提取的是，故可把变成，即左边＝.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．

举一反三：

【变式】把多项式提取公因式后，余下的部分是（　　）

A．        B．        C．2        D．

【答案】D；

4、（2015春•新沂市期中）分解因式：3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）.

【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果．

【答案与解析】

解：原式=3x（a﹣b）+6y（a﹣b）=3（a﹣b）（x+2y）．

【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

举一反三：

【变式】用提公因式法分解因式正确的是（　　）

【答案】C；

类型三、提公因式法分解因式的应用                                                        

5、若

的值.

【答案与解析】

【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，这样就能由已知整体代入求值了

图文解析：

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