数学丨难以突破的“平行与垂直”，可以这样上出新意（附完整教学实录）
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难以突破的“平行和垂直”
我的徒弟要参加一个重要的课堂教学评比，可以自主申报课题，我们决定申报“平行和垂直”一课参评。
选择这节课，让很多同事感到意外，因为对这节课，我们是没有丝毫积累的。之所以会选它，那是因为我提出：“这是一节很多年来都没有明显突破的老课，我们能不能通过这次的赛课研究，打造出一节全新的课例来，既争取好成绩，又提升我们的研究水平呢？”我的徒弟何月丰老师勇敢地接受了这样的提议。于是，我们就走上了对“平行和垂直”的创新之旅。
说“平行和垂直”一课很多年来没有明显突破，还真不是妄言。以下一些现象，相信老师们都有清晰的印象。
分类很尴尬
学生在白纸上任意画了两条直线，教师选择很多“作品”贴在黑板上（如图1），然后组织学生进行分类。
图1
学生往往会分很多类，如相交成×形的一类，相交成T形的一类，两条线的端点正好碰到成角的一类，两条线“不相交”的分一类（有些是看似不相交实则相交的），等等。
后续就是教师极为头痛的事情了：我们既想要学生认识到这些线都是直线——直线是可以无限延长的，延长以后情况就不是这样了——但教师又不想把这个关键点直接“讲穿”，因为一旦“讲穿”，就觉得这个环节的思考不强了，或者说这些丰富的资源被浪费了。课，就在教师欲讲而有意不讲、学生越分而越加混乱中耗费着大量的时间，后续的环节迟迟无法展开。
体验不到位
“平行”这个概念的建立，教师们一般都是分两步进行教学的：
先是借助学生分类得到的“不相交”的图样，直接告知学生“这样不相交的两条直线叫平行线”。此处教师们往往就是很简单地一带而过，因为大家觉得在此时并没有好的载体或形式，可让学生去深刻体验“不相交”的特点。
然后是通过后续练习，突破“在一个平面内”这个点，以得到完善的概念。此处，教师们也总觉得学生的体验难以落实到位。常见的做法是拿出一个长方体框架（如下图），引导学生观察c和d的不相交与a和c的不相交有什么区别，或引导学生想象a和c之间还可以构筑出一个平面来，从而发现“在同一个平面内不相交的两条直线才叫平行线”。
图2
可是，四年级的学生尚未学过“长方体”，对这些棱的关系很模糊，而且又要借助这么小的模型去观察和想象，体验的效果往往很不理想。
练习少内涵
教学过程中，教师都会安排相应的练习让学生及时巩固新学的概念。如判断两条线是否平行，判断两条线是否垂直，找图形中或生活情境中的平行或垂直现象，等等。
练习尽管数量不少，但都太过简单机械，没什么新意，更缺少内涵。如图3的练习，请学生判断是否“垂直”，学生基本上一眼就能做出判断，个别图不能一眼确定的，用三角板摆一下就确认了。这样的练习，做得再多，对学生而言，获得的也仅仅是技能的熟练，而缺少其它的收获。
图3
知识缺深度
老师们都清楚，这节课教学的两个知识点“平行”与“垂直”，反映的是空间中两直线不同的位置关系，也常以清晰的板书呈现这两个知识点的各自特征（如图4）。
图4
突出知识之间的区别，强调概念各自的特征，是这节课最常见的形态。然而，这样的教学，学生对知识的理解还是缺少深度的。
比如，学生就没有能从“运动变化”的视角去看待这两个不同概念之间的联系，不能意识到这两个概念的数学味——相交直线可讨论它们的交角，平行直线可讨论它们之间的距离。这种数学知识的本质元素如何去展现，如何让学生体验，教师们缺少办法。
以上现象，是“平行和垂直”课堂的最常见现象，我们的课想要创新，就需要分析这些现象产生的原因，然后针对性地寻求变化或突破的办法。
创新方法和视角，把“旧”课上出新意
经过反复分析，我们将原因指向于“教学的方法与手段”——与教师教学方法、手段的运用不合理、有效性不强等紧密相关。
如，分类环节，教师过于强调“启发式”，而不敢采用“讲授法”，教学由此被动；平行概念的体验不到位，明显是教师缺少好的教学手段来支撑，如课件、教具等；练习的内涵缺失，也与教师练习设计的技巧、展开的方法有关；而知识不能深度展现，那是因为教师没有想到好的呈现方式和引导方式……
尽管这样归因不一定恰当，但我们觉得，如果我们能从“教学方法与手段”的角度解决上述现象，那也能够实现对这节课的“教学创新”，正所谓“条条大路通罗马”。
方向一旦明确，课就有了研究的抓手！
“平行和垂直”教学实录
一、认识相交与不相交
1.请学生在白纸上任意画两条直线。
先想象这两条直线会产生怎样的情况，然后再画。
2.反馈学生画的情况，认识相交和不相交。
师（投影展示作品1，如图5）：我们观察一下，他画的这两条直线是什么情况？
图5
生：交叉关系。
师：交叉关系，有意见吗？谁画的也是交叉的？
（统计画的也是交叉的学生，再展示一幅交叉的作品，然后把两幅作品一起贴在黑板上）
师：同学们说的没错，像这样的情况我们平时就叫做交叉。不过在数学上，我们可以把两条直线出现这样的情况叫做“相交”。（板书，齐读）
师：有没有和这种情况不一样的？（实物投影展示作品2，如图6）他画的这两条直线又什么情况呢？
图6
生：现在这两条直线没有相交。
（统计画成这种情况的人数，再展示一幅，然后也把作品贴在黑板上）
师：在数学上，如果两条直线出现这样的情况，我们就可以把它们叫做“不相交”。（板书，齐读）
3.辨别特殊情况，完善认识。
师：现在有没有和这两种情况都不一样的？你这种比较特别（实物投影展示作品3，如图7），什么情况？
图7
生1：碰撞了（做了个碰撞的手势）。
生2：相遇了。
生3：形成一个角。
师：都有道理。那么请问现在这两条直线形成的情况是不是和黑板上的两种都不一样呢？
生：我觉得这种情况应该属于相交。因为直线是可以延长的，如果延长一下，那么就和前面相交的一样了。
师：谁听懂了？（请学生复述）是呀，你们画的和我们看到的，其实都只是直线的一部分。如果我们继续画下去（老师手势示意延长），就是——相交。
（把作品3贴到“相交”一类中）
师：现在还有不一样的吗？来了个奇怪的（实物投影展示作品4，如图8），这又是什么情况？我们请她自己说说看这两条直线是什么情况？
图8
生：应该是不相交。
师：她认为应该归到不相交。好像有人有意见了。
生：我觉它们延长以后还是会相交的，因为下面那条是斜着的。
（其他学生纷纷认可，老师组织学生想象，确认还是相交，贴到“相交”一类）
师：现在还有没有不一样的？（没人举手）看来没有了。你们现在自己对照一下，自己刚才画的是相交，还是不相交？
4.小结两条直线的关系。
师：看来，在一张白纸上任意画两条直线，要么相交，要么不相交。（板书“两条直线、相交、不相交”）接下来，我们就要对这两种情况进行深入研究。
【思考】
新课程改革以来，教师们普遍喜欢启发式教学，引导学生自主建构、深刻理解。但是在上述教学片断中，教师意识到“直线可以无限延长”是一个意义不大、一点就穿的“坎”，不值得学生花费大量时间去探究，因此大胆地使用讲授告知的方法。
我们看到，教师根据作品先告知“相交”、“不相交”两种情况，然后顺势展现两种比较特殊的“相交”（图7和图8），抓住部分学生的正确认知“直线可延长”，又快速地得出结论，完成分类。如此方式下的教学推进，思路清晰，简洁流畅，教学时间得以节省，使得后面学生深入感知概念的本质特征、深入研究概念的内在联系等更有意义的活动，时间上有了保证。
二、教学平行
1.再次感知“不相交”。
师：前面很多同学没有画出“不相交”的情况，现在为了研究它，请大家在另一张白纸上再画两条“不相交”的直线。
（学生操作，反馈。展示三幅学生作品，前两幅画得很“标准”，直接肯定，第三幅图学生不认可，如图9）
图9
生1：它们延长之后就会碰牢。
生2：一条线是平的，一条线是斜的，延长之后一定会相交。
师：老师也画了两幅图，你们能再来帮助判断一下吗？（课件出示图10）
生1：上面的两条直线延长之后会相交，下面的两条好像不会相交。
生2：下面的两条也不一定呀。
师：老师借用一个办法，请你再来观察一下，它们到底会不会相交，为什么？（课件呈现方格背景，如图11）
生：上面两条直线很明显，原来空的是两格，后来距离变得越来越近，最后一定会相交了。
师：如果老师再把它们延长，想象一下会怎么样？
（学生想象之后，课件演示延长，如图12上半幅，证实距离越来越近，最终会相交）
图12
师：再看下面这组，你们凭什么说它们不会相交？
生：因为两条直线之间的距离一直都是两格，再怎么延长也不会相交。
（教师引导学生观察“距离都是两格”，然后课件演示延长证实，如图12下半幅，并追问“延长到屏幕外面”、“延长到教室外面”……，距离都是两格，永远都不会相交）
2.初步建构平行概念。
（1）揭示概念。屏幕上隐去方格，隐去上面一组相交的直线，留下下面一组不相交的直线。然后教师揭示概念（课件呈现）：不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
（2）尝试练习（略）。
3.直观感知“同一平面”，完善概念。
课件出示正方体，然后在正方体上出现两条直线——按图13中①②③④⑤的顺序依次出现，请学生判断两直线是否平行。①②③④学生都没有阻搁，但是当⑤出现后，学生有些迷惑了。
图13
师：这两条直线会相交吗？
生：肯定不会相交，一条线在上面往前后延长的，一条线在前面往左右延长的，不会相交。
师：既然它们不会相交，那它们不就是平行线吗？
生1：它们应该不是平行线，我们刚刚看到的平行线都不是这样的。
生2：这两条线跟前面的情况好像不一样的。
师：有什么不一样呢？
生：之前的两条直线是在一个面上的，现在的两条直线是在两个面上的。
师：眼睛真厉害，被你发现了这个秘密。是的，这两条直线虽然不相交，但我们也不能把它们叫做平行线，因为我们今天要研究的平行线，前提都是要在同一个平面上的。
（课件回到揭示概念的页面，补上“在同一平面内”，从而完善“平行线”概念。学生齐读加深印象）
说明：此处不去做“看似在两个面上，实则又能构成一个新的平面”这个事情。虽然概念得出的逻辑上看似有些问题，但这却是切合教材编排意图和四年级学生认知能力的做法。
【思考】
此片段中，对“不相交”的深刻感知，对“同一平面”的突破，借用的都是直观有效的多媒体教学手段。在“不相交”的教学推进中，课件呈现方格图，就巧妙地运用上了“几何直观”的手段——运用几何形体支撑，直观地呈现出两直线之间虽微妙但却可定量分析的区别。课件演示直线的延长，就更加清晰地放大了这种区别，并引发了学生充分地感知并自主地揭示着平行的特征——距离处处相等，永远不会相交。如此教学手段，直观而有效，简单却深刻。
同样，“同一平面”这个事情，这是教师很难说明白、学生很难理解的一个概念。遇到这样的情况，就是多媒体作用发挥的时候。案例中可见，教师借助课件，以在正方体面上画两条直线的方式，引导学生直观地感知同一平面、不同平面、不同平面的不相交等抽象的几何概念，促使学生自觉地发现问题之所在，从而形成完善的概念。“课件要用在最需要的地方”，这就是一个典型的例子。
三、教学垂直
1.垂直概念的教学。（略）
2.尝试练习。
师：下面我们来做个练习，判断两条直线是否互相垂直？ （课件呈现）
图14
（1）第一组直线（如图14），学生都认为不是垂直。
（2）第二组直线有变化地展开（如图15）。将图14中倾斜的一条擦除，然后重新垂直画出来，如图15①。在学生判断后，验证并标上直角符号，如②。接着把一条直线画出来部分擦掉一点，请学生再判断，如③。继续擦掉一点，如④，再请学生判断。
图15
到④时，学生有不同意见，于是教师组织学生同桌讨论，然后交流。
生1：我认为不是，因为垂直有4个直角，而现在这种情况只有2个直角。
生2：我认为是的，因为直线是可以无限延长的。如果它再延长下去的话，就和前面一样了，所以是的。
师：对！直线可以无限延长。所以像现在这样的情况，也是垂直。
到⑤时，学生都认可这就是垂直，只不过看起来有点特别。
（3）第四组直线，如图16①。学生有认为不是垂直，有认为是垂直。有学生提出，关键是看几个角是不是直角。教师请学生用电子三角板在屏幕上现场检测，如图16②。有学生说到这幅图转一下就是常见的垂直，教师课件演示旋转得到图16③。
图16
【思考】
在“判断两条直线是否垂直”的练习设计中，教师清晰地运用了“变式教学”。这样的方式，在前面“平行”部分的练习中也明显存在，后面的综合练习中，同样有如此的运用。
所谓变式教学，是指用不同的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征，目的在于让学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学的概念。（顾明远，《教育大辞典》，1999）
根据这个定义，对照上面的练习，我们可以看到，教师不断“变换事物的非本质特征”：从常见的垂直开始，到一条直线出头一点点，到T字型，再到L型，最后是X型。在这样的变化中，学生要进行判断，就需要不断增强对“两直线相交成直角”这个本质特征的认识，而这个增强的过程，就是概念不断清晰、真正建立的过程。
更为重要的，在这个过程中，学生的认知冲突不断，主动思考不停。尤其是对于直线与直线间的关系，由于直线长短、位置等变化，而引发了学生的观察、想象、辨析等有价值的思维行为，这就跳出了常见练习中静态的两直线所蕴含的价值——静态的两直线只需要用直角去检测，获得的仅是知识与技能。当然，我们都能体会到，这样的练习方式，事实上也是在有效地培养学生的空间观念——几何图形的动态变化，最有利于学生空间思维的发展。
四、沟通知识间联系
1.把普通相交变成垂直
师：老师这里画了两条相交的直线（如图17），现在相交形成两个锐角和两个钝角。如果想把它们变的互相垂直，你有办法吗？
图17
生：可以把斜着的这条线移成竖着的。
师：我听明白了，就是把这条线旋转一下。
（教师课件演示，请学生帮助观察何时是“垂直”，学生都看不准。教师课件显示角度，再细心地旋转至90度时，实现垂直，如图18）
图18
师：看来，垂直是非常特殊的一种相交，就是那一瞬间的事情！
2.对重合现象的认识
师：如果老师让这条直线继续顺时针旋转，想想会出现什么情况？
生：又会出现两个锐角和两个钝角。
师：如果继续旋转呢？
生：那两条直线会重合。
师：重合。你们听说过这个名字？想象一下会重合吗？如果重合了，这个度数会是几度？（课件演示两直线重合，角度为0度，如图19）
图19
师：两条直线重合以后，角度没有了，两条直线就分不清了，所以我们数学上对这种情况一般不做研究。
3.从重合到平行。
师：普通相交可以通过旋转变成垂直。那么，能不能变成平行呢？
（有学生说到拉开两条直线。教师课件出现方格背景，演示一条直线向下平移2格，如图20）
图20
师：你看到了什么？
生：两条直线分开了。
师：怎么分开的？
生：一条直线移下去了。
师：随便移的吗？
生：向下平移了两格。
师：对，这是我们以前学过的平移。通过平移可以把重合变成平行。除了向下平移两格，还可以怎么移呢？（课件演示平移三格、四格等）
师：是的，今天学习的垂直、平行，可以通过我们以前学过的旋转、平移来实现转换，看来知识之间都是有紧密联系的。
【思考】
此环节借助多媒体手段进行了直观的演示。为什么要用演示法，原因是显见的——平行、垂直，包括重合，都是两条直线在动态变化的过程中瞬间“定格”下来的状态，这种状态的揭示，多媒体的演示是最直观最清楚的；同时，平行、垂直和重合之间存在着精妙的关系，这个关系可用旋转、平移等图形运动的知识来解释，而这种解释同样需要多媒体直观形象地作支撑。
与直观演示的方法相匹配的，就是学生的观察（当然还有思考）。学生通过观察，清楚地看到了基于“运动变化”而产生的直线间不同的位置关系，并从中深刻地体会到了相交直线要研究它们的角度（垂直就是特殊的相交），平行直线要讨论它们之间的距离。如此，数学知识之间融会贯通，课堂的数学内涵显露无遗，学生的数学思考有效培养。
五、课堂总结（略）
注：空间两直线的位置关系有哪些情况？《数学辞海》这样描述：空间不重合的两直线，可能相交、平行或异面。两相交直线或两平行直线都是共面直线。平行直线可讨论它们之间的距离，相交直线可讨论它们的交角。可见，重合虽是空间两直线的一种位置关系，但无研究意义。故对“重合”情况，我们不展开，不板书。
节选自《星教师》“2017小学数学年度创新教学设计”
作者丨顾志能（浙江省海盐县教育研训中心副主任。喜欢研究教材、研究课堂，其课大气如“海”又纯朴如“盐”）
图片丨花瓣网
编辑丨邹雪平
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