张靖华——构造论证
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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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张靖华,中学数学教师，高级职称，中国数学学会会员，吉林市数学学会理事，中国数学学奥林匹克一级教练员.酷爱中等数学研究工作，曾在数学通讯、中学数学、数学学习与研究、数学教学研究、数学大世界等刊物上发表20余篇论文，代表作（处女作）《一对孪生命题的证明及推广》发表于苏州大学主办的《中学数学》1990年第3期.
构造论证
张靖华13683591398
一．问题的提出
有一类数学问题，要求判定某种对象（包括数、图形、操作方案等各种对象）是否存在．若要断定这样的对象存在，往往需要构造出一个存在的具体的例子；若要断定这样的对象不存在，则需要进行严格的证明．把这一类数学中的存在性问题的解题过程称之为构造论证.
解这类数学问题，因其复杂灵活的多变的问题背景，而显得难以下手，成为考试中的压轴题．在解法上没有固定的模式，只能根据问题的背景进行细致的探索、实践、类比、联想，概括总结、最终获得解决问题的线索.
二．典型例题解析
例1．在一个长方体的每个面上写一个不同的数，写的6个数恰好是1,2,3,4,5,6．
(1)能不能使相对的两面所写的两个数的差恰好是1,2,3？
(2)如果从1、2、3、4、5、6、7选出6个数分别写在正方体的每个面上能否使相对的两面所写的两个数的差恰好是1,2,3？
(3)能不能在每个面写好数之后，再在每个顶点写上经过该顶点的三个面上的数之和，使8个顶点上写的8个数形成8个连续自然数？
解：(1)不能．可用奇偶性分析；
若能，则必有两组相对的面上的数的差为奇数1和3此时占用了两个奇数和两个偶数，另一组相对的面上的数的差为偶数 2 又用到两个奇数或两个偶数，这样就必须有四个奇数或四个偶数，但1、2、3、4、5、6中只有3个奇数和3个偶数，故不能（另外从表中不难看出不能）
(2)能.例如: 前、后；左、右；上、下六个面分别对应填1、2，3、5，4、7
(3)能.例如: 前、后；左、右；上、下六个面分别对应填2，6，4，5，1，3或1，3，5，4，6,2
前后 | 1、2 | 2、3 | 3、4 | 4、5 | 5、6 | 差为1 |
左右 | 1、3 | 2、4 | 3、5 | 4、6 | 5、7 | 差为2 |
上下 | 1、4 | 2、5 | 3、6 | 4、7 | 差为3 |
例2 (1)能否把1,2,3,4,…,10,11写在一个圆圈上，使得任意相邻两个数的差（大减小）为4或7；若能，写出你的构造，若不能，说明你的理由．
(2)在1,2,3,…,100，这100个数中，最多可以选出多少个数，使得任意两个数之差既不等于4，又不等于7．
解:（1）能：构造如下:将1，8，4，11，7，3，10，6，2，9，5从其中的一个数起顺次写在圆上，既可满足题意.
(2)把1至100，分成如下10组：1～11,12～22,23～33,34～44,44～45，56～66,67～77,78～88,89～99,100.
由（1）知：像这样的连续11个自然数都可以按（1）的排列方式进行排列,使得任意相邻的两数之差为4或7，在（1）的情形下无论从哪一组中的某个数起，每隔一个数取一个数，最多可取5个（从每组中的最小数起可取出5个），且这5个数模11余数为1，4，7，10，2，且这5个数任意两个数之差都不等于4或7，这表明在这100个数中,凡是摸11余1，4，7，10，2的数都可选，故前99个数中最多可取5×9=45，另外第10组中只有一个数100，100模11余数为1，故100也可以被选入所以最多可选45+1=46个数.
例3.下列两图形中任何3点不共线，从0，1，2，…，10中选出若干个不同的数，在图中每一个顶点处放置其中一个数，称为一种“放法”.若各条线段相连的两个顶点处的数字之差（大数减小数）互不相同，则称这样的放法为“完美放法”.
（1）对图1中的六个顶点是否存在“完美放法”？若存在，请给出一种完美放法；若不存在，请说明理由.
（2）对图2中的八个顶点是否存在“完美放法”？若存在，请给出一种完美放法；若不存在，请说明理由.
解(1)对于图1存在完美方法，右图就是符合题意的一种放法（答案不唯一）
（2）对于图2不存在完美放法. 假设存在完美放法，由于图中恰有10条连线，因此各条连线上两数之差恰好为1,2,3，…，10，其和等于55为奇数.
另一方面，图中每一个顶点所引出的线段条数都为偶数条，即每一个顶点处的数在上述总和为55的计算式子中均出现偶数次（可能作加法运算，也可能作减法运算），则计算结果应该是偶数，矛盾！所以，不存在完美放法.
例4．在一次跳棋比赛中，m名棋手分n组，每组三人进行比赛，若在这次比赛过程中，任何二人都曾比赛过一次，且仅比赛一次.
（1）m是否可能等于5，若能，请求出n的值，并构造相应例子；若不能请
说明理由.
（2）m是否可能等于7，若能，请求出n的值，并构造相应例子；若不能,请说明理由.
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