罗小明：“圆”来如此简单——利用隐形圆求解向量模的最值问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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“圆”来如此简单

——利用隐形圆求解向量模的最值问题

湖南省益阳市牌口学校     罗小明

     在解决有关向量模的最值问题时，如果我们纯粹使用代数方法去求解，那么我们可能会觉得这样解题会比较繁琐.与此相反，如果我们抓住题设中的特殊条件，以图形为依托，应用数形结合思想，发挥直观想象功能来实现解题目标的话，那么我们会有驾轻就熟、平步青云之感.下面介绍两道通过构造“隐形圆”来解决有关向量模的最值问题，目的是“多思少算”，让整个问题变得简单明了而轻松获解.同时，我还对此类问题进行了即时性归纳总结，建立有关数学模型，上升为理性认识，养成做一题通一片的良好学习习惯.

分析：由题设|a|=|b|=2，a与b的夹角为π/3，可知a与b的端点围成一个正三角形，又|b-c|=1,c为变化向量，由此得出c的终点轨迹为以点A为圆心，以1为半径的圆,于是问题可利用隐形圆来解决.利用数形结合思想a·c的最大值即为c在a上的投影的最大值.

归纳：①如图2所示,若向量a,b,c满足|a|=|b|=2k(k为常数),a与b的夹角为π/3,|b-c|=k(k为常数),则a·c的最大值为k².②如图3所示,设<a,b>=θ,若向量a,b,c满足|a|=m,|b|=n(m,n为常数),<a,b>∈(0,π/2),|b-c|=k(k为常数),则a∙c的最大值为k＋ncosθ.

分析：|m-a-b|=1可变形为|m-(a+b)|=1，这样m与(a+b)的差向量的模为定值1，于是我们可以利用隐形圆来解决此问题.例2相对于例1而言需要进行适当的变形才可以把隐形圆用上，题目难度系数相应增加.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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