胡云端——例谈高斯取整函数在解题中的应用

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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例谈高斯取整函数在解题中的应用

湖北省安陆市涢东学校   胡云端

1 高斯函数问题的提出

早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x∈R，用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数，并用{x}表示x的非负纯小数,则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数。高斯函数[x]的定义域是R,值域为Z,其图象是不连续的水平线段。在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。

2  高斯函数有关的性质

本文需要用到的一些性质x=[x]+{x}，x-1≤x<[x]<[x]+1，[10ⁿx]-10[10^n-1x]表示取x的各分位小数。

3 例题选讲

例1（2021•丹东一模）函数y＝[x]称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2等，该函数被广泛应用于数学和计算机等领域，关于函数y＝[x]，正确的结论是（　　）

A.[﹣x]＝﹣[x]﹣1                    

B.若x₁＜x₂，则[x₁]≤[x₂] 

C.若0≤x＜1，则[x+0.5]＝[2x]       

D.[x₁+x₂]≤[x₁]+[x₂]

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，当x＝0时,有[﹣0]＝[0]＝0,A错误，

对于B，若x₁＜x_2,则[x₁]≤[x₂]，B正确，

对于C,若0≤x＜0.5,[x+0.5]＝[2x]＝0，

若0.5≤x＜1,[x+0.5]＝[2x]＝1，

故有[x+0.5]＝[2x]，

故C正确，

对于D，当x₁＝0.9，x₂＝0.3时，

[x₁+x₂]＝[1.2]＝1,[x₁]+[x₂]＝0,D错误；

故选：BC．

例2（2021春•诸暨市期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数y＝[x]，x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．则点集P＝{（x，y）|[x]²+[y]²＝1}所表示的平面区域的面积是 　　．

例3（2020秋•仓山区校级期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．下列命题是真命题的是（　　）

A．∃x∈R，x≥[x]+1  

B．∀x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y] 

C．函数y＝x﹣[x]（x∈R）的值域为[0，1）

D．若∃t∈R，使得[t³]＝1，[t⁴]＝2，[t⁵]＝3，…，[tⁿ]＝n﹣2同时成立，则正整数n的最大值是5.

【分析】利用取整函数的定义，判断A是否正确；化简函数的解析式，利用函数的单调性求解函数的值域，判断B是否正确；利用函数的性质转化求解，判断C是否正确；利用特殊集合，判断命题的真假，即可确定D是否正确．

【解答】对于A：[x]是整数,若x≥[x]+1,[x]+1是整数，所以[x]≥[x]+1,矛盾,故A错误；

对于B：∀x,y∈R,x＝[x]+a,

y＝[y]+b,a,b∈[0,1）,

所以x+y＝[x]+a+[y]+b，

[x+y]＝[x]+[y]+[a+b]，

所以[x]+[y]≤[x+y]，故B正确；

对于C：由定义x﹣1＜[x]≤x，

所以0≤x﹣[x]＜1，

所以函数f（x）＝x﹣[x]的值域为[0,1）,故C正确；

对于D：若∃t∈R,使得[t³]＝1,[t⁴]＝2,[t⁵]＝3，....[tⁿ]＝n﹣2同时成立，

例4（2021春•聊城期末）数学家高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕，仅以他的名字“高斯”命名的成果多达110个，为数学家中之最对于高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，{x}表示实数x的非负纯小数，即{x}＝x﹣[x]，如{1.7}＝0.7，{﹣1.2}＝0.8．若函数y＝{x}﹣1+log_ax（a＞0，且a≠1）有且仅有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（　　）

A.[3，4）      B.（3，4]       C.[2，3）     D.（2，3）

解：若函数y＝{x}﹣1+log_ax（a＞0，且a≠1）有且仅有3个不同的零点，则函数y＝log_ax的图象与函数y＝1﹣{x}＝1+[x]﹣x的图象有且仅有3个交点．作出y＝1﹣{x}的大致图象如图所示，易知档0＜a＜1时，y＝log_ax与y＝1﹣{x}的图象最多有1个交点，故a＞1，作出y＝log_ax的大致图象：

例5(多选)(2020·江苏淮安高三第一学期五校联考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.

评注：此题涉及了高斯函数的性质x-1<[x]≤x，借助均值不等式，比较复杂。其实可以考虑特殊值法进行验证。

评注：本题涉及了竞赛数学的解含有高斯函数的方程，一般的处理方法是利用性质x-1<[x]≤x很关键。

【作者简介】胡云端，男，理学学士，高中数学奥赛二级教练员。先后任教于湖北省某县一中、广东省重点高中、市直学校。

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