胡云端——众里寻圆千百度 拓宽视野提能力

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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众里寻圆千百度     拓宽视野提能力

湖北省安陆市涢东学校   胡云端

众所周知，圆是常见的平面图形，无论从形或数两方面来看，圆都具有丰富的内涵．当我们面对某些数学问题时，倘若能够从圆的视角来审视问题，即寻觅问题中圆的隐形的踪影，常常能使问题的求解过程变得清晰明了，简单快捷．本文拟就如何寻觅问题中圆的踪影，分三个方面予以概述．

一、寻觅几何圆

所谓寻觅几何圆，是指通过构造一个问题背后的相关圆，借助圆的几何性质求解问题．

例1：在锐角△ABC中，A＝45°，若a＝√2，求bc的取值范围．

以下是本题的常见解法：

解：因为B＋C＝180°－A＝135°，

0°<B<90°，0°<C<90°，所以45°<C<90°. 

又由余弦定理得b＝2sin B，c＝2sin C，

所以bc＝2sin(135°－C)·2sin C

＝2sin(2C－45°)＋√2.

因为45°<2C－45°<135°，

所以√2/2<sin(2C－45°)≤1，

所以bc∈(2√2，2＋√2]．

上述解法，局限于“数”，倘若基于“形”，则可画出△ABC的外接圆O，如图1，设BM，CN为圆O的直径．因为A＝45°，BC＝√2，由圆的几何性质可知，当点A在劣弧MN(不含端点)上运动时，△ABC即为锐角三角形，此时，△ABC的面积S满足S_△MBC<S≤S_△DBC(D为劣弧MN的中点)，即

 这种解法，直观简洁，避免了繁冗的三角变换过程．

例2：如图，正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D．

（1）如图1，连接AG和CE，直接写出AG和CE的关系　　；

（2）如图2，连接AE，M为AE中点，连接DM、CG，探究DM、CG的关系，并说明理由；

（3）如图3，若AB＝4，DE＝2，直线AG与直线CE交于点P，请直接写出AP的取值范围：　　．

解：（1）AG＝CE且AG⊥CE，理由如下：

∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，

∴∠ADC＝∠GDE＝90°，AD＝CD，DG＝DE，

∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），

∴AG＝CE，∵∠ADC＝∠GDE＝90°

由旋转可知：AG⊥CE；

故答案为：AG＝CE且AG⊥CE；

（2）DM＝0.5CG，且DM⊥CG，略

（3）由（1）可知：直线AG⊥直线CE，

∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的圆上运动，

如图3，当P与F重合时，AP最小，

此时A、P、F、G共线，

Rt△AGD中，DG＝2，AD＝4，

二、寻觅解析圆

解析圆，即为坐标圆．解题时，依照题设，通过建立直角坐标系，寻觅隐藏在问题背后的圆的方程，依托圆的解析性质求解问题．

例4：在平面四边形ABCD中，AB＝1，AC＝√5，BD⊥BC，BD＝2BC，求线段AD的最大值与最小值．

本题是某地模拟试卷中的一道题，其中给出的该题详解是基于正弦定理、余弦定理的求解，过程不易．

下面给出根据已知构造解析圆的更加简捷的求法．

解：如图6，以B为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则A(－1,0)．设BC＝r，则可设C(rcosα，rsin α)，

由AC＝√5可得(rcosα＋1)²＋(rsin α)²＝5.    ①

又因为BD⊥BC，BD＝2BC，

则点D的坐标(x_D，y_D)满足

三、寻觅双面圆

寻觅双面圆，即寻觅隐含在问题背后的具有几何与代数特征的圆，然后，借助于圆的综合性质，达到破解问题的目的．

      本题按照常规思路求解，不太容易．如若能够伸出圆的视角，则能峰回路转．请看以下求解过程．

【作者简介】胡云端，男，理学学士，高中数学奥赛二级教练员。先后任教于湖北省某县一中、广东省重点高中、市直学校。

胡云端老师往期文章链接：

公众号邹生书数学

2020年9月至2020年12月

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