​胡云端——由一道中考压轴题，引申到高中数学的解法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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由一道中考压轴题

引申到高中数学的解法

湖北省安陆市涢东学校         胡云端

试题来源（2019•江苏省宿迁市中考数学几何压轴题）

如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　．

解法一（常见的方法）

【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．

由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动.

如图（2）将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG

从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上.

作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值.

作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，

则CM＝MP+CP＝HE+0.5EC＝1+1.5=2.5，故答案为2.5．

【点评】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．

上面的解法构图技巧强，笔者学习之后，受到启发，给出了以下解法，仅供交流：

解法二（解析法与相似）由解法一，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上,此时CG有最小值。

注：也可用向量法转化成上面的函数再去求解，此处不再赘述

解法四（余弦定理）如图（4）中，BE=1,EC=3，

反思：初中几何最值问题的求解往往对学生的作图要求较高，学生要善于积累相应模型的辅助线方法才能顺利求解；运用高中解三角形的方法去求解几何最值问题对辅助线要求降低了，但对运算要求提高了；对于改革之后的新的中考和高考，我们要重视初高中数学的有效衔接，学习从多角度去处理问题，真正把方法教活，就是对学生最大的帮助。

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