胡云端——三角形中与边角周长面积范围有关的问题求解

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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三角形中与边角周长面积范围

有关的问题求解

湖北省安陆市涢东学校      胡云端

解法1：先由余弦定理和面积公式求A的正弦之后，再由正弦定理求比值，将比值转化成C的三角函数求解。

【方法点睛】(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．

【评注】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，结合正、余弦定理求解.

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；

（2）利用正弦定理将边化角，再根据三角函数的性质计算可得；

【评注】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

【分析】（1）用正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角A；

（2）由正弦定理把c边用角表示，这样三角形的面积可表示为B的函数，求出B的范围，结合三角函数性质可得面积范围．

【作者简介】胡云端，男，理学学士，高中数学奥赛二级教练员。先后任教于湖北省某县一中、广东省重点高中、市直学校。

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