张国川——“黄金函数”背景下的极值点偏移问题解法探析

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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“黄金函数”背景下的极值点

偏移问题解法探析

从一道2021年高中数学联赛(福建赛区)

函数试题说起

福建省泉州第一中学(362000)张国川

  高中有六个非常重要的函数：

由于这六个函数独特的函数特性，常常受命题者的青睐，以它们为载体的函数与导数试题常见于各地模拟试题中，所以江湖上称这六个函数为“黄金函数”，本文笔者结合黄金函数f(x)=x/lnx的性质探索，从2021年全国高中数学联赛（福建赛区）函数与导数试题入手，谈谈极值点偏移的常见处理策略，与朋友们共同分享交流．

试题呈现

（2021年高中数学联赛福建赛区第14题）

  试题解析(1)略．

  (2)解法1(构造对称化函数)

  解法2(比值代换法)

  解法3(对数平均值不等式法)

【解后反思】 解法1，解法2和解法3是处理黄金型函数极值点偏移问题的常用三种解法，解法1具有很强的操作性，只要按照步骤“构造对称化函数F(x),判断F(x),的单调性、判断原函数f(x)的单调性”就能圆满解决；解法2和解法3本质是一致的，都是通过导数证明函数的单调性，得到不等式(t+1)lnt-2(t-1)>0，呈现过程有异曲同工之妙；只不过解法2侧重通过齐次化处理实现“化双变量为单变量”的解题目标，而解法3是由解法2中不等式(t+1)lnt-2(t-1)>0延伸得到的一个对称美观的“对数平均值不等式”，

式子具有很强的指向性，能为我们的解题提供方向性，引导解题策略的实施和拓展解题思路；三种解法各有千秋，同学们在使用过程中必须分清不同解法下的不同限制条件，方能运用自如，举一反三．

张国川，中共党员，一级教师，泉州一中高中数学教师.中国教育学会会员、新青年数学教师工作室副秘书长、泉州市高中数学林少安名师工作室成员.2015年参加福建省中学教师“说题”比赛《一道几何题的拓展解析》荣获一等奖；2015年在第二届全国新青年数学发展论坛论文评比一等奖；泉州市2018年高中岗位练兵一等奖、被泉州市人社局授予“教学能手”称号；先后在《福建中学数学》《数学教学》《中学数学》等CN刊物上发表或汇编论文近40篇；多次承担省级培训研讨课教学，承担省级、市级公开教学，参与多个省级、市级课题研究；指导学生参加全国中学生数学论文写作比赛荣获二等奖.

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