张国川——基于直观想象下的解三角形问题 “圆”来如此精彩

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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基于直观想象下的解三角形问题

“圆”来如此精彩

-----泉州市高三质检解三角形几何新解法探析

福建省泉州第一中学(362000)张国川       

创设问题情境方能激发学生主动参与课堂学习，才能让核心素养的培养真正落地．如何创设问题情境？笔者认为在课堂中尝试以问题串的探索形式是不错的选择，让学生在问题的引领下，步步深入主动参与，深刻体会图形的逐步形成过程，而不是呈现结果性图形．如果教师没有创设一定的学习环境，核心素养的培养就是一句空话.直观想象的成功运用是依托图形的，所以学会构图才是王道，注重过程性教学，创设直观想象核心素养落地的学习情境是教学中形成学生素养的关键一环．

同样地，试题研究和学习过程本质是一致的，都是在试图通过解题培育一种数学思维，本文借助泉州市质检试题谈谈如何通过直观想象解决三角形问题，当三角形“遇上”圆，解题将变得如此精彩，给人回味无穷．

爪子型三角形的解三角形问题方法很多，通常可以采用“邻补角策略”、“算两次”策略依据正余弦定理列方程求解；也可以采用作高、作平行线等手段利用初等几何知识求解；亦可借助向量工具采用基底法对向量进行分解后平方转化成模长和数量积问题求解；还可以建立坐标系采用解析法求解等等．本文借助直观想象核心素养，探讨如何“想图”----“构图”----“解图”，实现问题的有效解决．

  例1（泉州2021届高三5月质检18题）

（2）解题分析 在△ABC中，可以判断此问题是解三角形问题，初步断定可以选择正余弦定理解决；创设问题情境是使得数学问题显性化的有效途径．

问题1 基于条件“AB=2AC”，你能判断点A的位置吗？

答：点A到线段BC两端点的距离比是常数，所以当线段BC长度一定时点A的轨迹是“阿氏圆”，当长度不定时，此时边长是按比例伸缩，此时可以假设AC=x,AB=2x．

问题2 基于条件“点D在BC边上，AD平分∠BAC”，你能判断点D的位置吗？

答：AD平分∠BAC，所以AD是角平分线，根据角平分线定理，知道点D是线段BC的三等分点．

问题3 基于条件“AD=AC”，你能联想到哪个几何图形？

答：因为AD=AC可看作是绕点A旋转的两相等线段AD,AC，即共点旋转等线段问题，所以能够联想到“圆模型”．

【解后反思】此解法成功的避开了二倍角公式、半角公式、以及利用正余弦定理所得的复杂二元二次方程，直接利用图形的直观，借助割线定理得到比例关系，利用勾股定理求得高的长度，实现面积的有效转化，可见直观想象的引领可以帮助简化解三角形的计算问题，实现问题的圆满解决．

例2（泉州2019届高三单科质检文科18题）

【解后反思】本题构图的灵感启发源自题干中的条件“AB=AD=1”，自然联想到“圆模型”，搭建起解三角形与圆中定理的联系（圆中定理包括：切线长定理、切割线定理、割线定理、相交弦定理等），三角形中的一些线段长度便能很快求出．本题要求的是等腰三角形面积，要求面积只需要求出底边的长度，利用勾股定理再求高便可解出；此处抓住圆的一个重要性质：直径所对的圆周角是直角，搭建起直角三角形面积和等腰三角形面积的数量关系，也能很快求出面积．理论上讲，利用正余弦定理解三角形本质是一种代数解决几何问题的办法，借助方程思想搭建起边角之间的等量关系，但有时二元方程对于学生来讲并不容易，采用平面几何知识能直观的从图形中寻找到隐藏于图形背后的关系，也符合新课标所倡导的“多思少算”的核心理念．

张国川，中共党员，一级教师，泉州一中高中数学教师.中国教育学会会员、新青年数学教师工作室副秘书长、泉州市高中数学林少安名师工作室成员.2015年参加福建省中学教师“说题”比赛《一道几何题的拓展解析》荣获一等奖；2015年在第二届全国新青年数学发展论坛论文评比一等奖；泉州市2018年高中岗位练兵一等奖、被泉州市人社局授予“教学能手”称号；先后在《福建中学数学》、《数学教学》、《中学数学》等CN刊物上发表或汇编论文近40篇；多次承担省级培训研讨课教学，承担省级、市级公开教学，参与多个省级、市级课题研究；指导学生参加全国中学生数学论文写作比赛荣获二等奖.

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