郭宏江——高考解析几何非对称问题处理方法初探

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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高考解析几何非对称问题

处理方法初探

西安       郭宏江

2021高考迫在眉睫，作为一线老师更应该对学生的应考起到指导性的作用.笔者在教学中针对优等生，提供了一些学生深受欢迎的处理特定数学问题的方法，初步得到一点成效.而解析几何作为高考的第二压轴题，历来是学生的失分题，特别是2020年全国一卷理科20题，非对称形式的出现，导致“韦达定理的失效”，更是增加了试题的难度，笔者对试题做了进一步研究，总结出来一些办法，供各位同仁分享。

下边以2020年全国一卷理科第20题为例，探讨这类问题的处理方法：

第二问解答：第一种方法是绕开韦达定理，那么这道题应该怎么绕开韦达定理呢？那就是设点法，此题当然是设点P(6,y₀),写出PA,PB的方程，再分别与椭圆联立求出各自的交点C，D再写出直线CD的方程即可求出直线恒过(1.5,0)，同时验证直线CD 斜率不存在的情况.（这种方法各位同仁自己验证）不足之处是运算量太大.

以下是第二种处理方法：笔者称为“整式型非对称式”

处理方法有二：

第一种方法是使得等号某一边较简单的元出现平方，然后利用点在曲线上，再进行整合，即出现对称式.

（这里也可以出现，方法一样）

可得27y₁y₂＝－(x₁＋3)(x₂＋3)，(此处整合成可以代韦达定理的形式)

即(27＋m²)y₁y₂＋m(n＋3)(y₁＋y₂)＋(n＋3)²＝0 ①

第二种方法是出现非对称时两边同时平方

证明：设C(x_1，y₁)，D(x_2，y₂)，P(6，t).若t≠0，

设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3.

以下介绍“分式非对称求值型”的两种方法：

笔者就以这道高考题为背景重新命制了一道题，其目的就是为了解决“分式非对称型求值”问题.

以下是两种处理方法：

    第二种方法是在分子或者分母中凑韦达定理，然后部分应用，最后整体约分.具体如下，其中的奥妙各位细细品味：

    本文中笔者总结的两种题型可以这样理解，“整式型非对称式”由不对称化为对称；“分式非对称求值型”由不对称求比值；这两种方法共同体现了数学是“对称美”和“非对称美”的有机结合，反映了数学问题的本质.

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