胡云端——初中数学几何最值问题解法探究

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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初中数学几何最值问题解法探究

胡 云 端 

安陆市涢东学校     湖北安陆  432600

摘要：几何最值问题的求解是初中数学的一个难点，大多数问题基本都可以转化为一定的几何模型去求解；本文结合具体的问题，给出了求解最值问题的一些方法，如对称法、极端位置分析法、构造函数法、解析法、特殊图形法等。对于有些题目，也可以从不同的角度去思考，因此可以一题多解法，通过积累和一定的训练，将进一步提高学生的解题能力。

关键词：最值  对称性  极端位置  运动轨迹  构造法    

一、周长最小问题中，通过对称性求最值

【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．

【解答】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，∠PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∠POC关于OA对称，∠COP=2∠AOP，OC=OP.同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD,

∠COD=∠COP+∠DOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°，

OC=OD．△COD是等腰直角三角形．

则CD=√2OC=√2×3√2=6．

【点评】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．

2.如图，当四边形PABN的周长最小时，a=＿＿＿

【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．

【解答】将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′(2,﹣1)，

作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″(2,1)，

设直线AB″的解析式为y=kx+b，．

【点评】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．

二、动点运动问题中，通过极端位置求最值

3.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为　       ．

【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．

【解答】当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时(如图),由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2．故答案为：2

【点评】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．

三、特殊图形中，通过构造函数求最值

4．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是　        ．

【点评】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．

四分析点的运动轨迹，通过构造法求最值

5.（2019•江苏省宿迁市中考数学几何压轴题）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　   ．

【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动．                       

解：如图（2）将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上.作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值.作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，

【点评】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．

五、分析点的运动轨迹，通过解析法求最值

同上面的例题，给出如下的两种解法。

解法二（解析法与相似）由四中的解法一，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上,此时CG有最小值。

【点评】通过建立直角坐标系，构造相似三角形直接求解最值。

解法三（解析法与二次函数）

六、构造特殊三角形，解决特殊型线段和最值问题

6.已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC＝3．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ +0.5QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【点评】本题是典型的特殊线段和的最值问题，需要构造特殊三角形，将线段和转化为三角形的一边之长求解。

参考文献：

【1】胡云端. 由一道中考压轴题，引申到高中数学的解法. 公众号“邹生书数学”，2021年3月1日.

【2】刘彦永. 一题一课: 初中数学好题赏析[M]. 杭州，浙江大学出版社,2019. 

【作者简介】胡云端，男，理学学士，高中数学奥赛二级教练员。先后任教于湖北省某县一中、广东省重点高中、市直学校。

胡云端老师往期文章链接：

公众号邹生书数学

2020年9月至2020年12月

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