“学习数学”是为了学习“思维方式”

数学会培养人两种思维方式：同构映射和分析还原。

同构映射是指面对一个复杂问题或复杂系统，先把其本质结构抽象出来，映射到一个同构或同态的我们了解的结构上去，通过这个我们了解结构的性质和变化规律，反过来了解复杂问题或结构的性质和变化规律。这个思维方式是抽象代数，微分几何和拓扑典型的方式，最早是伽罗华在研究一元N次方程代数解的过程中发现的，通过讨论解结构同构的交换群的对称性质，得到了5次以上方程不可能代数解这种超出常识和直觉的结论。其实现在这种思维方法已经非常普及，我们在处理政治，军事，经济问题时，经常采用同构映射方法，把问题化繁为简，把复杂问题变成一个我们了解的结构上的问题。这个以前举过很多例子，不再重复。

分析还原是数学分析的典型方法，简单说就是分而治之，把一个复杂系统或复杂问题分解成一堆模块，而这些被分解的模块，往往是已经了解或者利用现有知识和技术容易搞清楚的，然后搞清楚这些模块，再组合还原到原始系统或原始问题，根据研究模块得到的判断，来对整体问题或系统进行判断。例如魏尔斯特拉斯定理：任意一个连续函数可以用多项式级数逼近就是这种思想，把连续函数展开成多项式（泰勒级数和傅利叶级数是其具体表达形式之一），通过研究容易得多的多项式性质（例如微分，积分，连续），然后通过收敛性判断还原到原来函数性质。分而治之在国家管理、巨型项目管理和巨型企业管理中是常用方法，那就是任务分解，当然这个管理方法的核心是分解后的还原和分解后模块处理过程的控制协调。

所以，数学提供的思维方式，简单说就是映射+极限（所以搞清楚这两个名词的含义十分有价值），稍微复杂一点说就是化繁为简+分而治之，最准确说就是同构映射+分析还原。

这套思维方法，能够让我们准确，迅速，简单明了抓住问题重点，了解核心问题，听懂别人云山雾罩后面的想法和本质（我曾经为某著名大人物的发言做过笔记，后来给他看，他惊叹：我原来讲的东西这么深刻，这么高屋建瓴。其实他在讲的时候，估计自己都不知道自己在讲什么，就是漫山遍野的乱砍）。

有人会问，我为什么要用数学来做介绍的载体？我想有两个原因，第一个原因是数学可能是唯一一个老师一开课，就会说：本课程的基本目的就是为了培养你们什么什么思维方式的（如果是北大数学系和科大数学系毕业的老师，一定都会这么说，因为这是他们的传统。其他学校不了解）学科，其他学科估计都没有这么威武霸气；第二个原因是数学有若干人类耀眼的天才留下的巨大思维财富，人类到目前为止，可能主要天才的大多数不是物理就是数学，数学的天才我们大多耳熟能详，举例来讲，牛顿，莱布尼茨，高斯，欧拉，黎曼，拉格朗日，拉普拉斯，柯西，伽罗华，阿贝尔，康托，魏尔斯特拉斯，狄利赫里，庞加莱，希尔伯特，哥德尔，诺特，巴纳赫，柯尔莫哥洛夫，冯诺依曼等等。

当然物理学的天才也是熠熠生辉的，例如牛顿，爱因斯坦，麦克斯韦，伽里略，海森堡，薛定鄂，狄拉克，普朗克，玻尔，洛仑兹，法拉第，杨振宁，费曼等等。

这里稍微要说几句杨振宁。杨振宁创立的规范场论，在现代物理学中地位非常重要，与量子力学和相对论可以相提并论，1994 年，美国富兰克林学会颁发鲍尔奖给杨振宁时，对他的评价是极高的：“他提出了一个广义的场论，这个理论综合了有关自然界的物理规律，为我们对宇宙中基本的力提供了一种理解。作为20世纪观念上的杰作，它解释了原子内部粒子的相互作用，他的理论很大程度上重构了近40年来的物理学和现代几何学”。

不管怎么说，杨振宁的规范场论，已经排列在牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦这一类伟大的工作之列。他是目前唯一还活着的人类最伟大的物理学家，没有之一。有的人因为人家娶一个年轻老婆而唧唧歪歪，莫名其妙，这羡慕嫉妒恨也太夸张了。

当然，判断一个学科是否伟大，不仅仅是看其诞生了多少天才，更需要看其发现或证明了多少超出直觉和常识的伟大定理，例如数学中，就有哥德尔不完全性定理（公理系统存在不可证伪，也不可证真的命题）；Brouwer 不动点定理（连续映射存在不动点x0=f(x0))；诺特定理（系统每一个对称性对应一个物理守恒定律）；康托连续统的不可数性定理；科恩对ZF公理系统连续统假设的不可判定性定理；伽罗华定理（5次以上方程无根式解）；魏尔斯特拉斯连续函数逼近定理（包括泰勒定理和傅里叶级数收敛定理）；牛顿--莱布尼兹分微积分基本定理（积分是微分的逆运算）；中心极限定理（多因素干扰下的随机系统收敛于正态分布）等等伟大定理。

当然不仅仅是数学有伟大定理，在经济学中，也有一些超出人类直觉和常识的伟大定理，例如科斯定理（交易成本为零时，产权与效率无关）；阿罗均衡存在定理（供需一定有平衡点）；阿罗不可能定理（不存在绝对公平）；萨缪尔森大道定理（经济增长一定存在最优路径）；资源优化存在定理（凸约束下，非劣解一定存在）；网络分工优化存在定理（分工网络存在最优解）等等。

不过人类发现的超出常识和直觉最伟大的定理还是物理学的，例如牛顿力学方程，开启了蒸汽机时代，引导了工业革命；麦克斯韦方程，开启了电气化时代，目前一切与电有关的行业，电子，电气，电工，电力，电机等等都是他的结果；薛定谔方程，开启了信息化时代，没量子力学，就没有现在的微电子，计算机；爱因斯坦方程，开启了原子能时代等等。

当然，不仅仅数学在训练人的思维方式，其他学科也在，只是不这么理直气壮而已。例如经济学就强调实证（为类比提供对象）和归纳（类比）的思维方式，而管理学强调仿真建模（本质是搭建信息流，物流和资金流的逻辑结构和反馈通道，构建计划、组织、指挥、控制和协调平台）和流程（本质是建立一直算法，对数学来讲，任何步骤，次序，流程都是算法）。但是从思维培训的效率来讲，远远不如数学，一般情况下，一个具有成熟经济学思维方式的人，至少需要20年时间才能形成，管理学也需要十年，而数学培养出熟悉化繁为简+分而治之的思维方式，一般情况5年就能成功。

思维方式是人类知识的结构，没有结构的知识，就是一堆散件，也就相当于散装水泥，乱堆的砖头，一团乱麻的钢材和满地的玻璃碎片。有结构的知识，可以成为一幢摩天大厦。

所以：知识不是力量，思维方式才是力量。成功不靠知识多少，而是靠运用知识的能力----你的思维方式是否强大。知识不能改变命运，改变命运靠你的知识组成的大厦的高度。

最后再强调一点，保持自己的好奇心和好学，是保证自己思维面对复杂问题或复杂系统时，还能象小刀切黄油一样简单明了的唯一方法。

来源：数学职业家（MathFight）

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