调和训练题2-恒原创题的改编

在不断的反思中前进

之前调和已经给大家搞过一题了, 那么今天又给大家搞来一道很"射影"味道的几何题目, 这道题是那个名字叫恒的小同学自己出的一道题, 后来给等价改编成了本题, 今天给出两种初等证法, 难过的是两个证明都不是我写的...

那就一起来学习一下......

题目标签: 共线类-完全四边形+切线-恒同学命题改编;

知识储备: 调和或交比+定理

(不知道定理的请转到文末寻找)

先放题目:

圆外一点发出三条直线, 其中两条分别与圆交于, 延长, 与第三条直线交于, , 过作圆的切线, 切 点为, , 证明: 共线;

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证法一: (恒同学的同学-道道大师)

用同一法转化命题: 过做割线,

过做切线交于,

下面说明三点共线;

延长, , 与, , 分别交于, ,

则容易得到均在的极线上,

(在调和训练题1中有提及该引理, 不知道的同学请移步下方链接)

对与

由定理得, , 共线证毕！

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证法二:(乌江指导)

与上一个证明一样用同一法:过做割线,

过做切线交于,

下面说明三点共线;

延长, 交于点, 则只需证

即可;

而,

,

故只需证

但, , ,

,

带入证毕！

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简评: 证法一是调和+定理, 证法二是交比定理, 都离不开"射影"的影子;

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引理(定理): 对于两个三角形与, 与的交点为, 与交点为, 与交点为,

则, , 交于一点等价于, , 三点共线;

证明百度即可...(即证~)

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