教学研讨｜9.1.1简单随机抽样，共2课时（2019版新教材）

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

本小节的主要内容为简单随机抽样及其两种实现方法，简单随机抽样是一种简单且基本的抽样方法，是很多抽样方法的基础，在抽样理论中占有重要地位。教科书首先从理论上解释根据等概率抽取的样本估计总体的可行性，在此基础上提出放回和不放回简单随机抽样的概念，结合具体问题的解决介绍抽签法和随机数法两种实现简单随机抽样的方法，以及计算样本均值和总体均值，最后通过多次重复抽样的方法了解样本均值与总体均值之间的关系

1.本小节开头，结合抽样调查一批袋装牛奶的细菌是否超标的例子，明确抽样调查目的是获得对总体情况的了解，强调“好”样本的重要性，抽样调查是一种非全面调查，样本只是总体的一部分，因此样本很难确切地反映总体的情况，用样本估计总体或多或少会存在误差，从对总体估计的角度来看，误差小的样本是“好”样本，而误差大的样本是“坏”样本，因此，为了获得“好”样本或者有代表性的样本，需要研究抽样方法，这是研究抽样方法的一个出发点。

2.教科书设计探究栏目，通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例，目的是应用已有的概率知识—频率稳定概率，从理论上解释用简单随机样本估计总体的可行性，并概括出简单随机抽样的概念，在初中，学生已经了解过简单随机抽样，但当时学生理解其合理性主要是依靠生活经验或直觉，而这里是以概率理论为依据，提高学生对简单随机抽样方法科学性的认识。“探究”中对袋中球除颜色外无差别的假定，是为了保证每个球被摸到的概率相等，为后续简单随机抽样的概念作铺垫

需要注意的是，简单随机抽样使得总体中的每一个个体有相等的概率被抽到，这只是使得个体被抽入样本的机会均等，但并不意味着抽取的样本一定具有代表性，由于随机性的存在，抽取的样本完全有可能出现偏离总体的情形.因此，在教学中，对于简单随机抽样的优点，要避免从它一定能抽出有代表性的样本，或者它比其他抽样方法能抽出更具代表性的样本的角度去论述，而应从简单随机抽样是一种公平且客观的方法的角度进行说明.其实与非概率抽样比较，随机抽样由于每个样本个体都是随机抽取，能计算出每个个体被抽入样本的概率，因而其最大的优点在于得到总体指标的估计值时，能计算出估计值的抽样误差和可靠程度.

3.初中对于简单随机抽样的概念要求结合实例了解，没有刻意区分每次抽取后是放回还是不放回.本节根据每次抽取后是否放回，把简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在放回简单随机抽样中，每次抽取个体相互独立，这使得理论研究比较方便。一般数理统计教科书提到的简单随机抽样，通常指放回简单随机抽样，在不放回简单随机抽样中，每次抽取个体不相互独立，但是调查具有更高的效率，因此实践中人们更多采用不放回的简单随机抽样，一般抽样调查专著提到的简单随机抽样，通常指不放回简单随机抽样，为了后续章节行文简告，除非特殊声明，教科书约定简单随机抽样指的就是不放回的简单随机抽样.当总体规模N很大，样本量n与总体规模N相比很小时，放回和不放回两种简单随机抽样得到的样本的统计特性相差无几，此时可以认为不放回抽得的所有个体之间近似具有独立同分布性.

对于放回和不放回简单随机抽样调查效率的比较，教科书是根据多次摸球时同一小球能否被重复摸中分析得出的.从直观上学生应该能够接受不放回比放回的调查效率高这个结论.在后续“第十章概率”的古典概型内容中，教科书为了从概率角度回应这个问题，还特意安排了一个计算抽样概率的例子，加强统计和概率的联系。

教学中，除了通过说理进行比较，在学了简单随机抽样的具体实现方法后，还可以通过随机模拟的方法，让学生从直观上再对两种简单随机抽样的效果有所体会，通过随机模拟比较，需要在相同的样本量下，对两种方法分别进行多次重复抽样，从整体上比较样本与总体之间的关系，而不能只看一次.

4.为了让学生了解用简单随机抽样解决问题的过程，学习抽签法和随机数法两种实现简单随机抽样的方法，教科书结合调查树人中学高一年级平均身高这个具体的案例展开.

其实学生在初中已经初步经历过简单随机抽样，因此在具体开始解决这个调查问题前，可以让学生回顾一下简单随机抽样解决问题的大概过程，在此基础上教师适当梳理，明确解决后续案例问题的整体思路.

首先需要根据调查目的确定总体和个体，设计调查问卷等；然后根据实际情况设计调查方案：再根据调查方案实施调查从而收集数据；最后整理和分析收集到的数据并得出结论。

5.抽签法和随机数法是实现简单随机抽样的两种方法，两种方法都要进行以下三个步骤：

第一步，将总体的所有N个个体从1到N编号.

第二步，在1~N的编号中随机产生n个编号：抽签法是通过逐个不放回地抽签，共抽，次，也可以一次同时抽取n个签，产生n个编号；随机数法利用试验或信息技术工具，按照设定的程序产生n个不重复的编号.

第三步，将产生的编号所对应的n个个体作为样本.

它们都是通过对个体进行编号，然后用随机产生的编号（随机数）代表进入样本的个体，即用编号产生的随机性实现个体抽取的随机性，对个体进行编号的意义也在于此，因此，抽签法和随机数法本质上都是产生随机数，只是产生的工具不同.

对于根据抽签法产生的随机数的等可能性，学生主要可以根据生活的经验判断，在选择性必修课程中，教科书利用条件概率对此进行了证明，而用信息技术工具产生的随机数是根据一定的算法产生，严格来说是一种伪随机数，但它在统计性质上与真正的随机数几乎无差别，因此在实践中被广泛使用.

抽签法和随机数法各有特点.当总体较小时，抽签法简单易行；但当总体较大时，抽签法制作号签的成本（时间、物力、人力）会增加，而且“搅拌均匀”号签也会变得困难，进而每个个体进入样本的等可能性无法保证.随机数法可以利用试验产生随机数，也可以利用信息工具产生随机数，例如计算器、数学软件、统计软件等.利用信息技术工具产生随机数方便、快捷，效率高，可以节省成本.人们越来越多地利用信息技术工具来产生随机数，实现简单随机抽样，教科书结合从高一学生中实现简单随机抽样，对计算器、电子表格软件、R软件等产生随机数的方法进行了介绍.

对于用抽签法和随机数法实现简单随机抽样，学生需要掌握具体实施的步骤。在面对一个抽样调查问题时，学生要会选择并使用合适的抽样工具实现简单随机抽样

6.对于一个抽样调查问题，除了确定抽样方法，样本量是另一个需要确定的要素，教科书以一个思考栏目引导学生思考样本量是否越大越好，这个问题可以引导学生结合抽样调查的目的来分析.抽样调查的目的概括来说是为了了解总体，节约费用.为了更好地了解总体，自然要求比较精确的估计，当然样本量越大越好，但从节约成本的角度，样本量大会导致人力、物力、时间等成本的增加.因此，抽样调查中样本量并不是越大越好，样本量的确定需要在精度和费用两者之间进行权衡.

对样本量和估计误差之间的关系只要学生作定性的了解，即一般来说，样本量越大，估计误差越小，或者估计误差小的可能性越大，极端的情况是，当样本量和总体中包含的个体数一样大时，就是全面调查，理论上这样就完全了解了总体的情况，不存在估计误差了，关于样本量和估计误差的准确关系比较复杂，教科书不作要求，需要注意的是，当总体中包含的个体数N很大时，简单随机样本均值的估计精度主要取决于样本量，而与抽样比（样本量n与总体中包含的个体数N的比）几乎无关，这与很多初学者的想象正好相反.

7.教科书结合树人中学高一年级平均身高调查，以一个容量为50的简单随机样本为例，用样本的平均身高估计总体的平均身高，并引入总体均值（总体平均数）、样本均值（样本平均数）的一般定义.为了区分总体和样本，教科书分别用大写字母和小写字母表示有关总体和样本的变量值.总体含有N个个体，它们的变量值分别记为Y₁,Y₂,...Y_N用

表示总体均值；从总体中抽取容量为n的简单随机样本，它们的变量值分别记为y₁,y₂,…，y_n,用

表示样本均值.可见，简单随机抽样的总体均值和样本均值的上述表达式非常简单，除了字母不同外，两个均值完全同形同构.

教科书还把总体均值写成加权平均数的形式

其中Y₁,Y₂,...,Y_k_,表示总体中出现的不同值，f_i为Y_i出现的频数.当从总体中随机抽取一个个体，根据古典概型的知识知道，取到Y_i的概率为f_i/N,因此，如果把抽取到的值看成一个随机变量，那么这个随机变量的均值就是总体均值.这样，统计中总体均值的定义和概率中随机变量的均值的定义是一致的.

8.为了直观感受简单随机抽样的估计效果，教科书设置了一个探究栏目，抽取样本量为50和100的简单随机样本各10个，计算各自的样本平均数并用图形进行表示。目的是让学生观察样本平均数的随机性和规律性，直观上感受简单随机样本估计的效果，以及样本量对于估计效果的影响，了解样本均值和总体均值的关系

这个“探究”可以从以下几个方面引导学生去发现，先观察每个样本平均数是否相同.可以发现即使对于相同的样本量，各个样本的平均数往往也是不同的，这是由样本是随机抽取导致的，让学生感受到样本的随机性.其次观察各样本平均数离总体平均数的距离.虽然各样本平均数与总体平均数完全相同的很少，但大部分离总体平均数都不远，围绕总体平均数小幅波动，最后再观察并比较不同样本量的样本平均数的波动幅度，对不同样本量的样本平均数，从整体看样本量大的波动的幅度小于样本量小的波动的幅度.从估计的角度看，一般样本量大的估计效果要好于样本量小的.这反映了样本平均数既有随机性，又呈现出一定的统计规律.

9.虽然抽样调查的目的各有不同，但在理论上人们一般只关注四个方面的总体特征，即总体均值、总体总值、总体比例、总体比率，它们通常所用的估计量都是样本均值的某种线性组合.因此样本平均数被视为一个核心的估计量.教科书的问题2是估计全校学生中视力不低于5.0的比例，这是学生经常会碰到的一类总体比例的问题.教科书没有把这个问题作为一类新的总体特征问题专门研究，而是使用了一个常见的0-1变换，将比例问题转化为平均数问题解决，把它作为用样本平均数估计总体平均数的一个应用.

10.统计中有各种各样的抽样方法，它们都有各自的特点和适用范围，与其他数学分支最大的不同是，抽样方法具有很强的实践性，除了方法本身的特点，还需要考虑具体实施的难易、成本的高低等.因此，面对一个具体的问题，抽样方法是否合适需要综合考虑，简单随机抽样是一种基本的抽样方法，从理论上看比较简单，实施中有它的局限性。简单随机抽样要求总体中的每一个个体都有一个编号，当总体包含的个体数N很大时，个体本身常常没有编号，或者准备工作很费事，难以做到；简单随机抽样抽得的样本通常很分散，要找到样本中的每个个体并实施调查在实际中会遇到很多困难，例如，对全国进行人口抽样调查，个体数超过13亿，要对全国每个人都编上号是很困难的，即使可能，用简单随机抽样抽到一个样本量为1000的样本后，要落实到每个被抽中的人，也是难以想象的.因此，在实际调查中，直接使用简单随机抽样的并不多，而往往是和其他抽样方法结合使用.

二、教学目标

(1)了解简单随机抽样的特点、适用范围及必要性；

(2)通过实例，掌握抽签法和随机数法，掌握简单随机抽样的样本均值；

(3)在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题；

(4)通过经历简单随机抽样收集数据、分析数据的过程，感受样本的随机性，提升数据分析素养。

三、教学重点、难点

重点：简单随机抽样的特点及方法，简单随机抽样的样本均值，样本与总体的关系。难点：简单随机抽样中估计总体均值的思想，根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题；样本与总体的关系.

四、数学学科素养

水平一

1.通过实例分析，了解总体、样本、样本容量、普查和抽样调查的概念.（数学抽象）

2.通过实例分析，正确理解简单随机抽样和分层抽样的概念.（数学抽象）

水平二

掌握简单随机抽样和分层抽样的一般步骤。（逻辑推理）

五、本单元教学建议

统计获取数据有多种途径，统计调查是其中的一种重要途径，统计调查可分为全面调查和非全面调查两类，抽样调查是非全面调查中的一种重要方法，是调查应用中最常见的应用模式，抽样调查是指，根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.根据从总体抽取样本是否依据随机原则，抽样方法可以分为两类：一类是非概率抽样，另一类是概率抽样，

非概率抽样没有严格的定义，其最主要的特征是抽取样本时并不依据随机原则，这类抽样有许多不同的具体抽取样本的方法，例如判断选样、方便样本、自愿抽样、配合抽样等.

概率抽样也称为随机抽样，是指依据随机原则，按照某种事先设计的程序，从总体中抽取部分个体的抽样方法。概率抽样调查可以视为狭义的抽样调查。需要注意的是，概率抽样与等概率抽样是两个不同的概念。概率抽样是指总体中的每个个体都有一定的非零概率被抽中，个体之间被抽中的概率可以相等，也可以不等。若是前者，称为等概率抽样；若是后者，称为不等概率抽样，本节学习的简单随机抽样是等概率抽样，分层随机抽样在每一层中的抽样也是等概率抽样。教科书在介绍两种具体的抽样方法之前，在节引言中通过一些例子，回顾统计调查中的一些基本概念，并让学生体会抽样调查的必要性和应用的广泛性.

本节的引言结合全国的人口数据调查的案例，对义务教育阶段已学的全面调查和抽样调查作一个整体性的回顾，目的在于明确两种抽样方法的特点，并了解统计调查中的一些基本概念，例如总体、个体、样本、样本量，为后续介绍两种抽样方法作好概念上的准备，对这些基本概念，可以根据教学情况补充一些具体问题进行描述性说明，更好地理解它们的一般性定义.关于总体和个体的概念，除了将调查对象的全体称为总体和将组成总体的每一个调查对象称为个体外，由于我们关心的不是总体和个体本身，而是其某一个或某几个指标，在数学上为表述方便，有时也把个体的指标（一维的或多维的）取值的全体作为总体，指标值作为个体，例如，在全国人口普查中，可以将全国所有居民作为总体，每一个居民作为个体；也可以将全国所有居民的姓名、性别、年龄等作为总体，每一个人的姓名、性别、年龄等作为个体.

在义务教育阶段，学生对抽样调查的必要性已有所体会，教科书通过全国人口规模庞大，为节省调查花费的财力、物力，我国每年进行一次人口变动情况调查的例子，让学生体会抽样调查的必要性，限于篇幅，教科书对全国人口普查所需要的巨大财力、物力没有详细说明，为了让学生有个具体的感受，在教学中，教师可以补充或学生自行了解一些全国人口普查组织与实施的资料，让学生切实感受全国人口普查工程的浩大，体会抽样调查的必要性，除了从调查总体规模大的角度，教科书还从调查具有破坏性的角度，举例说明抽样调查的必要性。

相比全面调查，抽样调查的优点使得其应用越来越广泛，成为调查中最常见的调查模式。教学中可以举些学生生活中自觉或不自觉应用抽样调查的例子，例如买瓜子时抓几颗尝一尝，以判断瓜子质量，炖肉时挑一两块尝一尝，以判断咸淡或生熟程度，让学生体会抽样调查就在我们生活中，还可以举一些抽样调查的典型例子，例如记者在街头采访随机碰到的民众，电视台调查收视率，一些国家在大选年进行的民意调查等，让学生感受抽样调查在现代社会应用的广泛性。

【以上大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。】

六、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

9.1.1简单随机抽样第1课时课件（2019版新教材）

9.1.1简单随机抽样第2课时课件（2019版新教材）

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