教学研讨｜ 分层抽样

阳光备课

手机在手,备课无忧,学习不愁

点击上方蓝字，随时随地备课

关注“阳光备课”，点“往期文章”，必有你所需。    

    教学研讨所选素材大多来自国家教育资源公共服务平台的部级优课，或全国青年数学教师优秀课的获奖作品，由阳光备课整合，仅供各位老师参考，版权归原作者所有。  

 ▍来源：网络  

研讨素材一

《分层抽样》教学设计

四川省泸县第二中学  卿琳莉

教材新课标人教A版必修3

一．教学内容解析

在信息化社会，数据是一种重要的资源．凡有大量数据出现的地方，必会用到统计．统计由收集数据、整理数据、分析数据三部分工作构成．在这三项工作中，收集数据是整理和分析的前提和基础．

本课所学内容“分层抽样”是收集数据的一种方法，它属于程序性知识，安排在普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修3第二章统计第一节随机抽样．它既是学生义务教育阶段统计知识的延续，又是在学生学习了简单随机抽样和系统抽样的基础上，结合两种抽样的特点和适用范围，针对个体间具有明显差异的总体，为提高样本的代表性，介绍学习的第三种收集数据的方法．因此，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法是教学的重点．

二．教学目标设置

《普通高中数学课程标准》与“数学核心素养”要求：通过高中数学课程学习，学生能“结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性”．“参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法”．“学生能提升获取有价值信息的意识和能力，适应数字化学习”．据此，结合本节教学内容的特点，制定教学目标为：

1．通过实例，了解分层随机抽样的必要性、特点和适用范围；

2．掌握各层样本量比例分配的方法；

3．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题；

4．培养学生的统计思维，提升数据分析能力．

三．学生学情分析

本课授课班级为四川泸县第二中学高一年级层级最高的学生，他们具有扎实的数学基础，熟悉对数字的直接运算处理，思维敏锐，具有一定的分析问题、解决问题的能力．要达成本课所设教学目标、完成预设的教学内容，学生还存在以下差距：1．认知方面：对个体间具有明显差异的总体，怎样收集数据才能确保收集的数据具有代表性；2．技能方面：如何确定各层的样本容量和如何在各层抽取样本．

因此，本节教学的难点是：分层抽样的必要性和各层样本量的确定．

四．教学策略分析

为突破难点，为突出重点，我采用了从特殊到一般的教学思路和突出学生主体活动的教学理念，让学生获得数学知识和概念，再用典型案例剖析所学数学概念，深化对概念理解．即设置不同的具体案例，以问题为主线，通过学生感悟生活、自主学习、合作探究，观察、归纳、抽象提炼出不同案例的共同特点，提示出事物的本质．

为达成提升学生“获取有价值信息的意识和能力”，我通过设计简单的实际情境，采用开放式问题，让学生设计恰当的抽样方法解决问题．

为实现以上教学策略，需要学生课外收集数据、多媒体、Excel软件等信息技术支持和支撑．

五．教学过程设计

（一）设立目标，自主调查（课外完成）

活动案例1：调查本校高一学生的平均身高．

方式与要求：将全班分成五个小组进行调查，于上课前一天上交数据．

每组学生采用的抽样方法如下：

第一组：在田径场抽取40名高一学生．（简单随机抽样）

第二组：抽取高一每班学号为1号的学生（各班人数相同）．（系统抽样）

第三组：抽取高一年级两个班，以这两个班的学生作为样本．（抽签法）

第四组：在高一年级教学区抽取20名男生与20名女生．（简单随机抽样）

第五组：在食堂抽取30名高一学生．（简单随机抽样）

设计意图：让学生亲身经历、参与调查过程．

（二）分析数据，感悟冲突

展示学生活动所收集的数据，活动照，并用Excel软件将每小组的统计结果做成柱状图．   

思考：这5组数据产生差异的原因是什么？

生：抽取样本的方法不同造成差异．

师：对比这5种抽样方法，你觉得你们小组抽取样本的方法合理吗？

第一组、第五组的样本中，男生偏多，属于方便样本．其实，无论是简单随机抽样还是系统抽样，都有可能导致方便样本（男生偏多或女生偏多），所以第二组、第三组的抽样方法不够合理．

设计意图：让学生学会用数据分析问题，从数字思维转入统计思维，让学生意识到简单随机抽样和系统抽样的局限性．

（三）合作探究，生成概念

问题1：从统计数据来看，哪些因素可能影响高一学生的平均身高？

生1：性别．

生2：年龄．

用Excel软件分析数据做出柱状图，发现无论用哪种抽样方法，男生组的平均身高都高于女生的平均身高．而高一学生的年龄对其平均身高的影响并不大．故影响高一学生平均身高最主要的因素是性别．在五个组中，第四组考虑了性别差异，故用第四组的数据估计高一学生的平均身高更合理一些．

设计意图：为引出分层抽样的概念做第一次铺垫，初步引导学生感受分层抽样中分层的依据．同时通过对数据的分析，增强学生用数据分析问题的能力．

问题2：第四组抽取的样本中，男女比例为1：1，按照此比例抽取的样本能否很好的代表总体？为什么？

生1：合理，因为性别影响高一学生平均身高，故样本中男女生各占一半．

生2：不合理，需要知道总体中男女生的比例．

为了使样本结构与总体结构一致，需统计出高一年级男女生的人数，男生人数为1245，女生人数为1351，比值大约为9:10，故选取的样本中男女比例应该为9:10．

设计意图：引导学生理解要保持样本结构与总体结构的一致性，为引出分层抽样的概念做第二次铺垫．

案例2：假设某地区共有24300名学生，此地区教育部门为了了解本地区的中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查．你认为应该怎样抽取样本？（其中①男生12300人，女生12000人，②高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人．）

生1：按照性别比例，分别抽取男生123人，女生120人．

师：性别是影响视力的主要因素吗？

生2：学段是影响视力的主要因素，所以按学段抽取学生，抽取高中生24人，初中生109人，小学生110人．

设计意图：加强学生对影响问题的主要因素的判别，再次感受分层抽样的特点．

问题3：两个案例中的抽样方法有什么共同点？

生1：都要考虑影响总体的因素，然后进行分层．

生2：抽取样本时都按照比例抽取．

师：像这样抽取样本的方法叫做分层抽样．请大家归纳概括分层抽样的概念．

分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．（分析关键词）

设计意图：通过总结两个案例抽样方法的共同点，引导学生总结出分层抽样的概念．

（四）辨析概念，升华理解

回顾本节阅读与思考——一个著名的案例（抽样中的泰坦尼克事件），分析预测结果出错的原因是什么．

生1：未考虑总体的结构，只对富人做了调查．

生2：未按照分层抽样的要求，对各阶层的人按比例抽取样本．

通过思考，学生明白当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．这种方法得到的样本，其样本的结构与总体的结构保持了一致性，比前两种方法具有更好的代表性，并且可以得到各层的子样本以估计各层的信息．

设计意图：让学生对分层抽样进行深化理解，了解分层抽样的适用范围．此外，通过此案例，学生体会到数据有时候会“说谎”，所以在面对广告中大量数据时，首先要辨析真假，此外要坚决抵制用虚假广告欺骗消费者这种不诚信的行为，渗透思想品德教育．

问题4：分层抽样的步骤是什么？

生：先根据对总体的了解进行分层，确定比例后，再各层抽取．

可分为四个步骤：

（1）分层——根据已有信息，将总体分成互不相交的层；

（2）定比——根据总体中的个体数与样本容量确定抽样比；

（3）定量——确定第层应该抽取的样本数（为第层所包含的个体数），使得各之和为；

（4）抽样——在各个层中，按步骤3中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为的样本．

设计意图：让学生根据案例总结分层抽样的步骤，掌握分层抽样的具体操作方法．

（五）学以致用，精致概念

某校共有430名教师，现要抽取20%的教师以调查该校教师的身体状况，请你设计一个抽样方案．

生1：简单随机抽样．

生2：系统抽样．

生3：按性别分层．

生4：按年龄分层．

师：比较优点、不足．

设计意图：此题属于开放性题，既与课堂引入相呼应，也是课堂的延伸．通过此题，学生学会根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．

问题5：简单随机抽样、系统抽样和分成抽样各有其特点和适用范围，三种抽样方法的优点和缺点分别是什么？

总结获得表格：

设计意图：让学生掌握三种抽样方法的特点、优缺点、适用范围，构建知识网络结构．

（六）总结反思，纳入体系

1．结合本课涉及的案例，谈谈你对分层抽样的认识．

生1：为什么要进行分层抽样以及分层抽样的概念、步骤．

生2：分层抽样的适用范围．

师：经过今天学习，在“大数据”的今天，收集数据的方法至此我们有了三种方法——简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．

2．通过本节课的学习，了解抽样的必要性、三种抽样方法的适用范围、以及如何抽样．

（七）作业布置，巩固延伸

1．必做题：教材习题2.1 A组第5题；

2．探究题：某市教育部门为了了解本市的中小学生的近视情况及其形成原因，要抽取本地的中小学生进行调查，该市中小学人数的分布情况如下表所示（单位：人）：

学段	城市	县镇	农村
小学	357000	221600	258100
初中	226200	134200	11690
高中	112000	43300	6300

请根据上述基本数据，设计一个样本容量为总体中个体数量的千分之一的抽样方案．

关注公众号：阳光备课

研讨素材二

《分层抽样》教学设计

授课教师：宁夏银川市第二中学  周海洋

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修3

课题：2.1.3 分层抽样（第一课时）

课时：1课时

一. 教学内容分析

     《分层抽样》是高中教材人教A版必修三第二章第三节的内容，是《统计》    这一章中继简单随机抽样、系统抽样之后. 这里所说的统计是一门研究如何有效地收集、整理、分析数据，并对所考虑的问题做出推断或预测，从而为采取决策提供依据和建议的科学.因此，统计的首要问题是如何收集数据.高中阶段我们学习收集数据的主要方法是随机抽样，而分层抽样就是随机抽样中非常重要的一种. 本章所学统计内容是初中所学统计知识的延续和深化.同时也是为下一节“用样本估计总体”的学习打下基础，因此本节的内容起着承前启后的作用. 

     教材从“了解某地区中小学生的近视情况及其形成原因”的探究中引入的念．在探究过程中，应该引导学生体会：调查者是利用事先掌握的各种信息对总体进行分层，这可以保证每一层一定有个体被抽到，从而使得样本具有更好的代表性．为了达到此目的，教材利用右栏问题“你认为哪些因素可能影响到学生的视力？设计抽样方法时，需要考虑这些因素吗？”来引导学生思考，分层抽样的想法并不复杂,关键是通过实例,在与简单随机抽样的比较中,让学生思考讨论它的特点,并根据实际问题的需要设计恰当的抽样方法.提升数据分析素养.因此，我认为本节课的教学重点为：分层抽样的概念及其步骤．

二．教学目标设置

《课程标准》对本节课的要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：

1．通过实例,了解分层抽样的特点和适用范围及分层抽样的必要性;

2．结合实例体会分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系，提高学生的总结和归纳能力;

3.在简单的实际情景中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.   

三．学生学情分析

在初中已经初步接触了总体、个体、样本等概念，虽然学生已经了解了简单随机抽样和系统抽样的特点和适用范围，以及在随机抽样中必须保证样本的代表性，这些为本节课的学习提供了帮助.但学生面对较为复杂的总体时，对保证样本的代表性有疑虑.分层抽样的概念对于他们来说还是比较抽象的.而要透彻理解分层抽样的方法并能够解决实际问题更是有一定的困难. 本课学生在已有的抽样知识的基础上进一步学习抽样方法，并对其全过程有一个系统的感知和理解，为后面学习数据的分析和概率奠定基础.

教学难点：分层抽样方法的必要性，以及根据实际情况选择正确的抽样方法．

课时安排

    1课时

【教学过程】

一、 创设情境，温故求新

  1、复习提问

(1)思考：简单随机抽样、系统抽样的共同点、特征以.及适用范围．

21世纪教育网

类 别	共同点	特征	联  系	适用范围
简单随机抽样	(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等	从总体中逐个抽取		总体个数较少
系统抽样	将总体均分成几部      分,按预先制定的规则在各部分抽取	在起始部分样时采用简随机抽样	总体个数较多

(2)想一想:你认为设计抽样方法时,最核心的问题是什么? 

最核心的问题是要考虑如何使抽取的样本具有很好的代表性. 

2、探究新知

问题情境 ：银川二中教育集团有500名职工，为了了解该单位职工身体状况的有关指标，打算从中抽取100名职工作为样本，应该怎样抽取？

预设（1）学生可能会用简单随机抽样，系统抽样的方法设计抽样；

预设（2）学生会考虑到抽样过程中遇到的问题和困惑.

在解决过程中教师提出以下问题：

[1] 你怎么安排抽样,以保证样本的代表性?

[2] 在抽样中你可能遇到哪些问题?

[3] 这些问题可能会影响什么?

[4] 你打算怎样解决这些问题?

师生分析完抽样方法后补充条件：

增加条件:

问题情境：银川二中教育集团有500名职工，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人.为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取100名职工作为样本，应该怎样抽取？

解：（1）分三层：不到35岁的职工，35～49岁的职工，50岁以上的职工；

（2）确定样本容量与总体的个体数之比100：500=1：5；

（3）利用抽样比确定各年龄段应抽取的个体数：

    不到35岁的职工：125× =25（人）

    35～49岁的职工：280× =56（人）

    50岁以上的职工：95×  =19（人）

（4）利用简单随机抽样或系统抽样的方法，从各年龄段分别抽取25，56，19人；

（5）然后将抽取的25，56，19人合在一起，就是所抽取的样本.

【总结】利用简单随机抽样和系统抽样得到的样本代表性差.样本中应该是各年龄段都有且结构相当.

这种思想就是我们要介绍的另一个抽样方法：分层抽样

二、 启发引导，总结方法

【活动一】你能用自己的语言归纳总结出分层抽样的方法吗? 

【学生】思考，讨论，归纳.

【教师】整理：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明，互不交叉的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”．

1、分层抽样

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.

总结:

分成互不交叉的层：将相似的个体归入一类，即为一层；分成互不交叉的层是为了抽取过程中既不重复也不遗漏，从而确保了抽取样本的公平性；分多少层要是具体情况而定.总的原则是：层内样本的差异要小，而层与层间的差异尽可能地大，否则将失去分层的意义.

比例：按照一定的比例抽取是指所有层都采用同一抽样比等可能抽样，这样可以保证样本结构与总体结构的一致性，从而提高了样本的代表性；

各层独立地抽取：在分层抽样中，每一层内部都要独立地进行抽样，并且为了确保抽样的随机性，各层应分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取，因此，分层抽样也是一种等概率抽样.

三、新知初用，示例练习

例1：为了了解我区高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人的近视情况，要从中抽取1%的学生进行检查，设计一个抽样方案？

思考:

①你认为哪些因素可能影响学生的视力?

②为什么要这样取各学段的个体数?

分析角度: 高中生、初中生和小学生的近视程度有差异，用简单随机抽样或系统抽样所得样本中可能会出现高中生过少或绝大部分是初中生的情况，所得样本代表性较差. 含有个体多的层，在样本中的代表也应该多，即样本在该层的个体数也应该多．这样的样本才具有更好的代表性．

解：（1）分三层：高中生、初中生、小学生

（2）确定样本容量与总体的比例为1%

（3）利用抽样比确定各层应抽取的个体数：

高中生：2400×1%=24（人）

初中生：10900×1%=109（人）

小学生：11000×1%=110（人）

（4）利用简单随机抽样或系统抽样的方法，从各层抽取24人、109人和110人；

（5）然后将抽取的24，109，110人合在一起，就是所抽取的样本.

      四、概括步骤，巩固深化

【活动二】根据问题情境和例1的分析，请同学们归纳整理出分层抽样的步骤.

1、分层抽样的步骤

[1] 分层——根据已有信息,将总体分成互不相交的层；

[2] 定比——根据总体中的个体数与样本容量确定抽样比 ；

[3] 定量——确定第层应该抽取的样本数（为第层

所包含的个体数）使得各之和为；

[4] 抽样——在各个层中，按步骤3中确定的数目在各层中随机抽取个体；

[5] 组样——综合每层抽样，得到容量为的样本.

五、引申对比，明晰方法

探究1：简单随机抽样,系统抽样和分层抽样各有其特点和适用范围,请对这三种方法进行比较,说说它们各自的优点和缺点.

类 别	共同点	各自特点	联  系	适用范围
简单随机抽样	(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 (2)每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样	从总体中逐个抽取		总体个数较少
系统抽样	将总体均分成几部      分,按预先制定的规则在各部分抽取	在起始部分样时采用简随机抽样	总体个数较多
分层抽样	将总体分成几层,分层进行抽取	分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样	总体由差异明显的几部分组成

总结

1．用分层抽样从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．

2．分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样基础上的，由于它充分利用了已知信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，因此它获取的样本更具代表性，在实用中更为广泛．

3．简单随机抽样是基础，系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成，对立统一．

六、巩固新知，完善方法

例2:为了了解某地区中小学生家庭教育投入的情况,设计一个样本容量为总体中个体数量千分之一的抽样方案. 

学生讨论个体的差异和分析产生差异的原因后补充数据.

例2  某地区中小学人数的分布情况如下表所示（单位：人）：

学段	城市	县镇	农村
小学	357000	221600	258100
初中	226200	134200	11690
高中	112000	43300	6300

请根据上述基本数据，设计一个样本容量为总体中个体数量的千分之一的抽样方案.

【设计意图】因为学生对分层抽样刚刚接触，还没有形成理性认识，所以我鼓励学生相互交流，让他们先想、先说、先做，再规范学生的解题过程，避免了老师的单独说教，既降低了学习难度，又激发了学习兴趣.

分析：题中给出的纵向分层与横向分层并不是按同一个标准分的，可以先纵向分层，再横向分层.然后在各层按千分之一的比例抽取样本，如果某一层中的个体数除以1000不是整数，提示学生应四舍五入取整.

解：因为城市、县镇与农村情况差异明显以及小学、初中、高中情况差异明显，因而采用分层抽样的方法.

（1） 按分层抽样方法分为城市小学、城市初中、城市高中等九层；

（2） 由题可知，抽样比；

（3） 各层被抽个体数如下表

学段	城市	县镇	农村
小学	357	222	258
初中	226	134	12
高中	112	43	6

（4） 在各层用简单随机抽样方法确定选中学校，再从选中学校中用简单随机抽样或系统抽样选取学生.

（5） 将抽取的1370人组到一起即得到样本，进行调查.

练习1：某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．

分析：由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×=40；200×=60；200×=100．

解：用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层：按区将20 000名高中生分成三层.

(2)确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的学生数目分别是40、60、100．

(3)在各层分别按随机数表法抽取样本.

(4)综合每层抽样，组成样本．

六、 归纳小结，布置作业

1：请同学们对本节我们学习的过程梳理一下？

（1）知识内容

u 分层抽样的定义

分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，要尽量利用调查者对调查对象（总体）事先掌握的各种信息.

为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样.

在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.

u 分层抽样的步骤

分层、定比、定量、抽样、组样

（2）思想方法

统计思想、类比思想、随机思想.

（3）现实生活中的广泛应用: 

分层抽样在保险索赔处理正确性评价中的应用. 

烟草行业终端营销系统零售户分层抽样. 

2、布置作业

（1）必做题：教材 习题2.1 A组 第5题

（2）探究题：你可能想了解很多问题,比如,全班同学比较喜欢哪门课程,中学生每月的零花钱平均是多少,中学生每天大约什么时间起床,每天睡眠时间是多少等.选一些自己关心的问题,设计一份调查问卷,利用抽样方法调查我们学校的学生情况,并解释你所得到的结论. 

关注公众号：阳光备课 

（以上内容由网上搜索而来，版权归原作者所有，在此向作者致谢！文章部分内容由截图软件得到，可能不够清晰，若喜欢该资源请向作者或出版者购买，摘录、转载，是想为经济欠发达地区教师提高业务水平做点事,仅此而已,如有侵权,请联系删除,谢谢!）

欢迎来稿

    有好文章、好素材请发至邮箱：

[e-mail]

（阳光备课@126.com），让我们为经济欠发达地区教师提高业务水平做点事，谢谢！

提前备课系列一：

（点下列标题可阅读）

A. 课件 | 空间两点间的距离公式

A0. 课例分析 | 空间直角坐标系

A1. 课例分析 | 圆与圆的位置关系

A2.课例分析 | 直线与圆的位置关系

A3.课例分析 | 圆的一般方程

A4.课例分析 | 圆的标准方程

A5.香港的一堂示范课 | 生猛 ！！！

A6.课例分析 |《直线的一般式方程》

A7.《点到直线的距离》 | 教学建议及课件

A8.章建跃 |《点到直线的距离公式》的认知分析和教学设计

***

知识点归纳系列：

（点标题阅读）

更多，请继续关注“阳光备课”

一师一优课（部级优课）系列：

（点击下列标题阅读）

核心素养系列文章：

（请点下列标题阅读）

提前备课系列二（点下列标题可阅读）：

1-9年级一师一优课（部级优课）系列：

1-9年级·课件·试题·系列：

（点击下列标题阅读）

A. 福利！数学、语文、英语、生物、政治、地理、化学名校学案全套

免责声明

本文版权归原作者及原出处所有，转载仅为方便教师学习研究，不用于任何商业用途，如有侵权或其它问题，请立即联系我们更正或删除，谢谢。

往期内容精选

数学选修1-1教学设计、课堂实录、教学资源（一） 数学选修2-1教学设计、课堂实录、教学资源（一） 数学选修1-2教学设计、课堂实录、教学资源 数学选修2-2教学设计、课堂实录、教学资源（一）  数学选修2-2教学设计、课堂实录、教学资源（二） 数学选修2-3教学设计、课堂实录、教学资源（二） 数学选修4-4教学设计、课堂实录、教学资源（一） 
数学选修4-5教学设计、课堂实录、教学资源 高考数学二轮复习指导系列之三（三角函数）高考数学二轮复习指导系列之四(解析几何)高考数学二轮复习指导系列之二（立体几何）高考数学二轮复习指导系列之一(统计与概率)高一数学开学第1课|1.1.1 算法的概念教什么，怎么教 高一数学 弧度制 教什么，怎么教

你 · 的

阳光备课

教学、教研、休闲、娱乐

长按识别二维码关注我们

查看历史消息看往期内容

温馨提示

      有小孩在读小学、初中的教师，有弟妹在读小学、初中的同学，请长按识别下面二维码关注“阳光教研”。阳光教研有一至九年级各学科每一节课的课堂实录啊，学生课堂上听不懂，可课后观看；优秀生可提前自学，转发吧。

福利！高中人教版全套学案领取方法：

     先关注 “阳光备课”公众号，然后点公众号页面左下角的键盘按钮（如下图）对话框里回复关键词“2018数学  2018语文  2018英语  2018政治  2018地理  2018生物”即可获取资源哦！（请严格按照红字发送，不一样的关键词将导致不一样的资源，如回复2018数学，将得到数学学案）

▼

· 有一种爱叫做点点“好看”·

欢迎转发朋友圈。

 点击↓阅读原文↓更多！