人教A版“方程的根与函数的零点”的教学

请关注阳光备课 2023-02-05

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课标解读

读一读核心素养

（对教学很有启发啊）

1.直观想象

是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。

主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

2.数学抽象

是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。

主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。

3.逻辑推理

是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。

主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。

三言两语

情境创设：

方程 2017x²－2019x ＋1 ＝0 有实数根吗？为什么？

分析：

课本的引入，因为方程过于简单，很容易得出根的具体值，对于问题的“深意”自然不会再追究，因此大多数学生可能都不感兴趣．

而本情境的创设

首先避免了学生用因式分解的方法求方程的根的企图. 许多学生根据自己的经验，先想到了用判别式来判断，但发现数字计算很繁，于是放弃并回头看题目的要求，注意到题目是要判断“有没有”根，并不需要具体求出根，因此他们不再机械地计算 Δ，而是设法通过其他途径来解决. 细心的学生发现了方程的系数的特点，由此联系二次函数 y＝2017x²－2019x ＋1的图象作出判断就水到渠成了.然后，教师再给出函数零点的概念，并推广得出“方程 f（x）= 0有实数根←→函数 f（x）的图象与 x 轴有交点←→函数 f（x）有零点”的结论，这样的过程学生感到很自然。

具体如何教学，请参考素材一、二。

素材一

追寻知识发展的内在逻辑*

——以人教A版“方程的根与函数的零点”教学为例

李昌官

来源：李昌官工作室

(为节约阅读时间，选取文章的第三部分)

三、一个案例——“方程的根与函数的零点”教学

1.呈现背景，提出问题

[设计说明]（1）每个学生课前都准备好直尺、三角板和计算器；（2）提醒学生：画图要力求规范、准确；（3）活动的目的是复习旧知、引出新知，使新知识和原有认知结构建立起清晰的、实质性的联系，同时为引出新的需要研究的问题做好铺垫．

[活动1～2总设计说明]揭示函数零点概念产生的背景与必要性，暗示概念的核心与本质、意义与价值，激发学生学习与探究的积极性，同时为用二分法求方程的近似解埋下伏笔．

问题1：方程的根与函数有怎样的关系？如何建立一个新的数学概念刻画这种现象，同时能为求方程的近似解服务？

[设计说明]（1）这里的“问题”是指蕴含并能够引出重要数学概念或数学定理的数学情境．（2）明确需要解决的问题有助于增强学生思维的主动性、针对性和探究性．

2.抽象概括，建立概念

活动3：你能从自己熟悉的函数与其所对应的方程的关系入手探讨这个问题，再通过把具体的函数与方程推广到一般情形来解决这个问题吗？

[设计说明]（1）渗透和强化认知策略指导；（2）让学生从具体的、自己非常熟悉的方程及其对应的函数出发，通过观察、分析发现：方程是函数的特殊情况，方程的根就是其对应函数的值为0的点的横坐标，初步建立函数零点概念；（3）让学生经历三次抽象概括的过程：一是由具体的一元一次、一元二次方程的根到相应一次函数、二次函数的零点；二是把具体的二次函数抽象为一般的二次函数，并就二次函数图象与X轴交点的三种不同情况进行讨论；三是再把一般的一次函数、二次函数抽象为一般函数，正式建立函数零点概念．（4）学生能感知和体会数学概念建立的内在逻辑．

3.猜想验证，得到定理

问题2：一个函数满足怎样的条件必有零点？（稍等）你能从具体的函数出发探究这个问题吗？能从函数零点的图形特征与数值特征出发猜想、解决这个问题吗？

[设计说明]从不同的角度深化学生对函数零点存在性问题的认识，同时培养学生思维的严谨性．通过讨论，让学生明确：（1）函数零点存在性定理中的条件是函数零点存在的充分条件，而不是必要条件；（2）函数零点存在性定理的逆命题不成立．

活动8：请回顾、梳理本节课知识发展的思维主线，以及每个环节所用到的思维方法和数学思想方法．

[设计说明]这个活动很重要，因为学生自己梳理知识发展的思维主线有助于巩固、内化、迁移所学知识，有助于学生更好地体会知识发展的内在逻辑；而搞清楚每个环节所用到的思维方法和数学思想方法则有助于学生学会学习、学会探究．需要注意的是，如果学生不习惯、不知怎样回答此类问题，教师需加强指导，并有耐心．

[设计说明]（1）教学应让学生带着值得研究的“真问题”，开展“真研究”，这样才能真正发展学生的思考力与研究力；（2）考虑到相当一部分学生的能力与水平达不到解决“真问题”的要求，故这里只要求有兴趣、有潜力的学生做．

四、结语

追寻、遵循数学知识发展的内在逻辑是数学教学的根本大法，也是发展学生数学核心素养的根本大法．数学教学应把知识发展逻辑与学生认知发展逻辑融为一体，时刻引导和促进学生学会数学地、理性地、有条理地思考．

注：此文发表在2017.12《中国数学教育》

素材二

此文发表于中小学数学2018年3月下旬(高中)

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