《两条直线平行与垂直的判定》教学设计

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      今天分享1位名师的教学设计、1位国赛选手的教学设计及点评，还有1份说课稿。请大家详细阅读，认真讨论，积极思考，相信你会产生自己的想法。

     教无定法，开始！

研讨素材一

原文发表于《中学教研( 数学) 》2018年第8期

研讨素材二

《两条直线平行与垂直的判定》说课

人教版必修二

一、说教材

《两条直线平行与垂直的判定》选自人教版高中数学必修2第三章第一节第二课时的内容。本节课是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系。也是后续进一步学习解析几何、圆锥曲线、线性规划等知识内容的必要准备和重要基础。

【知识与技能目标】

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据其判定两条直线的位置关系；

【过程与方法目标】

经历两条直线平行与垂直的判定过程，初步体会数形结合的思想；

【情感态度与价值观目标】

体验成功的喜悦，增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

【教学重点】

根据两条直线斜率判定两条直线平行与垂直；

【教学难点】

两条直线平行与垂直判定的推导过程。

二、说学情

学生已经学习了两条直线平行与垂直的几何判断方法，并且具备了一些初步推理能力。但本节课是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方式，会比较抽象。

三、说教法和学法

【教法】讲授法、启发法、小组讨论法

【学法】自主探究、合作交流、强化练习

四、说教学过程

（一）复习巩固，引入新课

课前检测，多媒体出示A、B、C三组点的坐标，请学生求出以上各组点所构成直线的斜率，并在同一直角坐标系中画出该三条直线。由此学生很自然发现两条直线的斜率与位置有着某种联系，从而引出本节课的课题。

（二） 合作交流，探究新知

展示书中思考题：设两条直线L1、L2的斜率分别为K1、K2 ，当L1//L2时，K1与K2满足什么关系。

组织学生活动，在平面直角坐标系内画出两条平行直线L1、L2，小组讨论成员之间所画平行线的共同特点，并请小组代表发言。

教师总结学生发现并板书，得出结论：对于两条不重合且斜率分别为K1、K2的直线，有L1//L2↔K1=K2 。并对学生给予鼓励性和发展性评价。

在此基础上，进一步追问，当两条直线垂直时能够得出怎样的结论。学生根据刚才的学习经验自主探究两直线垂直时其斜率的关系。给学生2分钟时间进行思考交流，引导学生利用推到两直线平行关系的过程方法类比总结归纳。

（三）巩固练习，加深理解

多媒体呈现教学设计的变式题组。

（四）归纳小结，深化认识

请学生自由发言谈谈本节课的收获和体会，巩固所学的知识。

（五）作业布置，内化提升

巩固作业：课本p89习题3.1 a组 6、7

思考题目：已知三个点A（2,2），B（－5,1），C（3,－5），试求第四个点D的坐标，使这四个点构成平行四边形。

五、说板书设计

板书设计为两部分，左侧是知识要点，右侧是实例应用，简洁明了，突出重点。

研讨素材三

3.1.2 两条直线的平行与垂直（教学设计）

湖南省岳阳县第一中学　邓超华

教学目标

(一)知识教学

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

(二)能力训练

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．

(三)学科渗透

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

教学过程

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直

设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机,让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)

∴tgα1=tgα2．

即　 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，　 0°≤α＜180°，

∴α1=α2．

又∵两条直线不重合，

∴L1∥L2．

结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.

下面我们研究两条直线垂直的情形．

如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

 ，     

可以推出　: α1=90°+α2．           L1⊥L2．

结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.

(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).

例题

例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)

解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,

直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,

因为   k1=k2=0.5, 所以   直线BA∥PQ.

例2  已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)

解同上.

例3            已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.

例4             

解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,

         直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2,

         因为   k1·k2 = -1  所以   AB⊥PQ.

例4　已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.

     分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)

课堂练习

P94   练习  1.   2.    

课后小结

(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.

(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.

布置作业

P94   习题3.1   5.   8.

板书设计

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