“精确到”与“精确度”傻傻不分--二分法求方程的近似解的解惑

Original 阳光教研阳光备课 2023-02-05

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三言两语

近日，很多同学做用《二分法求方程的近似解》的课外练习时遇到了一类问题。

例如:借助计算器或计算机,用二分法求方程lnx-–2/x=0,在区间(2,3)内的近似解(精确到0.1).

学生的答案完全错误，原来他们把“精确到0.1”,误解为“精确度0.1”了,“精确到”与“精确度”傻傻不分。

那么怎么区分“精确度”与“精确到”呢？

一、什么是“精确度”？

精确度:近似数的误差不超过某个数,就说它的精确度是多少,即设x为准确值,x^＊为x的一个近似值,若|x^＊-x|<ξ,则x^＊是精确度为ξ的x的一个近似值.精确度简称精度.用二分法求方程的近似解时,只要根的存在区间(a,b)满足|a-b|<ξ,两端点或区间内的任意一数均可作为方程的近似解.

二、什么是“精确到”？

精确到:按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x^＊,x^＊的最后一位有效数字在某一数位,就说精确到某一数位.如:π=3.1415926……,若取3位有效数字,则x^＊=3.14,精确到0.01(即百分位);若取5位有效数字,则x^＊=3.1416,精确到0.0001(即万分位).特别地,若已知x精确到ξ的近似值是x^＊,则可知x的范围是[x^＊-1/2ξ,x^＊+1/2ξ].用二分法求方程精确到ξ的近似解,根的存在区间两端点精确到ξ的近似值必须相同,若不相同,仍需继续二分下去,直到符合要求为止.

三、案例分析

例1借助计算器或计算机,用二分法求函数f(x)=lnx-2/x在区间(2,3)内的零点(精确度0.1).

解:由题设

有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,

于是f(2)·f(3)<0,

所以,函数f(x)在区间(2,3)内有一零点,

取区间(2,3)的中点x₁=2.5,

用计算器可算得f(2.5)≈0.12.

因为f(2)·f(2.5)<0,所以x₀∈(2,2.5),

再取(2,2.5)的中点x₂=2.25,

用计算器可算得f(2.25)≈-0.08,

因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x₀∈(2.25,2.5).

同理可得x0∈(2.25,2.375),x₀∈(2.3125,2.375).
由于2.3125-2.375=0.0625<0.1,

所以原函数的零点的近似值可取2.3125(或2.375等).
例2借助计算器或计算机,用二分法求方程lnx-2/x=0,在区间(2,3)内的近似解(精确到0.1).
解(同例1)……x₀∈(2.3125,2.375).

(由于2.3125与2.375精确到0.1的近似值分别是2.3与2.4,近似值不一致,因此需进一步二分下去).

同理x₀∈(2.34375,2.375),

x₀∈(2.34375,2.359375),

x₀∈(2.34375,2.3515625),

x₀∈(2.34375,2.34765625).
由于2.34375-2.34765625=0.00390625<0.1,

且2.34375≈2.3,2.34765625≈2.3,

所以原方程的近似解是2.3

从上可知“精确度”与“精确到”都可以刻画方程近似解“近似程度”，但刻画角度不同，“精确度”是用准确值所在邻域的半径刻画近似解“近似程度”，而“精确到”是用准确值的数位刻画近似解“近似程度”．其次，表示形式也不同，“精确度…”可用0．02、0．007等表示，而“精确到…”只能用表示数位的数如0．1、0．001等表示．因此，用二分法求非线性方程近似解，满足“精确度…”和满足“精确到…”的近似解所在区间的认定及近似解的确定方法不同，但求解过程相似。

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参考文献：王怀明，“精确到” 、“精确度” 似同实不同，中学数学教学，2007 年第 3 期

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