《抛物线及其标准方程》说课、教学设计、教学实录

请关注阳光备课 2023-02-05

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《抛物线及其标准方程》说课稿

作者：河北省邢台南宫中学　刘　智

各位评委，各位老师：

大家好。我是来自河北省邢台市南宫中学的刘智。邢台市别名卧牛城，是著名天文学家郭守敬的故乡。我的家乡还有一个特点是特色小吃品种繁多，大家看看我的体型就知道了。欢迎各位老师到邢台南宫作客。

今天我说课的内容是《抛物线及其标准方程》，这是人教A版数学选修2-1第二章第四节第一课时的知识内容。

我的教学过程分为四个阶段，其中第一阶段是引导探究，获得新知；

下面，请大家观看我这节课第一阶段的视频剪辑。

（播放视频00：00—06：10）

在第一阶段，我与学生共同探究了本节课第一部分的内容——抛物线的定义。根据学生已有的认知基础，我选择用二次函数的图象是抛物线，以及生活中的实际事例来引入新课，通过让学生感受抛物线在实际生活中的广泛应用，以此来激发学生的学习热情。在探索抛物线定义的教学中，我的设计是通过几何画板来展现抛物线的形成过程，让学生从动态的展示中，通过观察，发现和认识抛物线。这样做的设计意图是让学生直观感受抛物线，抓住轨迹问题的本质——变化过程中的不变量，这样就能非常容易的探索出抛物线的定义。

学生在第一阶段的学习中，学习过程是从看到画的一个过程。

在给出定义之后，我引导学生进入了第二阶段——深入探索，完善体系。请大家继续观看。

（播放视频06:00—17:32）

抛物线的标准方程是这节课的又一重点内容，而抛物线标准方程的推导是这节课的难点。在这部分的教学中，我的设计是

第一步，回顾求曲线的一般步骤。由于“曲线与方程”“方程与曲线”的这种关系贯穿解析几何的始终，学生对它的体会，是一个长期反复的过程。我的设计意图是通过回顾知识，加深学生对解析几何的基本思想方法—解析法的理解。

第二步，推导抛物线的标准方程。我的设计意图是：让学生通过独立思考、合作交流、小组展示等手段了解知识的来龙去脉，通过严谨细致的分析，展现知识的发生、发展形成的过程，进一步加强过程性教学。

第三步，利用表格由学生总结出其他几种形式的抛物线标准方程，以及相应的焦点坐标与准线方程。这部分内容由学生独立完成。

学生在第二阶段的学习中，学习过程是一个从想到研的一个过程。

第三和第四阶段分别是指导应用，鼓励创新以及小结概括，深化认识。请大家继续观看。

（播放视频17：32—结束）

在这两个阶段中，我引导学生总结出方程特点后，给出例题和当堂检测来加深学生对本节课知识的理解，并通过当堂检测检验本节课的学习效果，达到了堂堂清的目的。最后，由师生共同总结本节课的收获，深化学生对本节课的认识。在这两个阶段中，体现了学生运用知识解决问题的学习过程。

教学反思：

本节课围绕着教学目标逐步展开，学生通过看(观察体验)——画(实验尝试)——想(独立思考)——研(合作交流)——用(巩固提高)的学习过程掌握了知识，提升了能力。

本节课我的设计理念遵循以下原则，以学生为主体，以独立思考、合作探究为手段，以能力提高为目的。所以在本节课的教学中，我不断为学生提供思考及合作的探究性活动，让学生充分发挥他们的聪明才智，通过层层递进的问题串，启发学生参与到问题中进行思考探究，让学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题，培养学生的创新精神和实践能力。同时，我在教学过程中还注意解析几何基本思想方法的渗透，让学生在思考的过程中体会用代数方法解决几何问题的方法与思想。

总之，这节课完成了教学目标，学生在通过自己的努力之后获得了成功的体验，达到了能力上的提升。

当然，我的课还有很多不足之处，在语言的精炼规范上还有一定的欠缺，我会通过自己的努力让我的课堂变得更严谨，更完美。以上是我的说课内容，不当之处，请各位专家评委，各位老师批评指正。

《抛物线及其标准方程》教学设计（第1课时）

作者：河北省邢台南宫中学　刘　智

【教学内容解析】

《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修2-1第二章第四节第一课时的内容，是学习抛物线这种圆锥曲线的起始课，是在学习了椭圆与双曲线之后的又一重要内容，根据抛物线定义推出的标准方程，也为下一节用代数方法研究抛物线的几何性质和几何性质的应用提供了必要的工具和基础．因此，它是圆锥曲线这章的重要的组成部分．

《抛物线及其标准方程》的重点是抛物线的定义和抛物线标准方程．难点是抛物线标准方程的推导．

抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换．抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系．因此，抛物线标准方程的推导是培养学生数形结合思想的好素材．

【教学目标设置】

1．知识与技能

通过“几何特征”的分析，让学生由观察与思考后理解抛物线的定义；

通过类比椭圆和双曲线的标准方程的推导过程，让学生探究出抛物线的标准方程；

在研究方程与抛物线定义的过程中，让学生能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，根据所给的抛物线方程写出焦点坐标、准线方程．

2．过程与方法

掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解解析法，培养学生解决数学问题时的观察、类比、分析、计算能力．

3．情感态度与价值观

通过本节课的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，进一步体会数形结合的思想．

【学生学情分析】

1．学生已有认知基础

学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．

2．达成目标所需要的认知基础

学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力．

3．难点及突破策略

难点：1．对抛物线的重新认识；

2．抛物线的标准方程的推导；

突破策略：

1．教师通过几何画板来让学生直观的观察抛物线的形成过程，以便加深对抛物线定义的深入理解．

2．组织小组交流活动，展现抛物线标准方程推导的思维过程，相互评价，相互启发，促进反思．

【教学策略分析】

以多媒体课件为依托，以看—画—想—研—用为学生学习的主线，来完成本节课的教学．

用几何画板工具画出抛物线的形成过程，让学生在动态演示过程中理解抛物线的定义，突出教学重点．

通过类比椭圆和双曲线的研究过程，让学生通过自主思考，合作交流，分组展示体验抛物线的标准方程的推导过程，来突破教学难点．

将抛物线标准方程、焦点坐标、准线方程等列表，让学生填充表格，通过表格将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识．

通过当堂检测检验学习效果，达到堂堂清的目的．

【教学过程】

一、新课导入

通过二次函数的图象是抛物线，以及生活中抛物线的实例让学生了解抛物线，提高学生学习抛物线的学习热情．

二、讲授新课

（一）抛物线的定义

问题一：抛物线到底有怎样的几何特征？

用几何画板展示抛物线的形成过程，引导学生总结出抛物线的定义．

设计意图：让学生直观感受抛物线，培养学生观察总结归纳的能力．

抛物线定义：平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．

问题二：如果定义中经过点，那么动点的轨迹又是什么呢？

学生思考后回答：如果经过点，那么动点的轨迹是经过点且垂直于直线的直线．设计意图：通过学生画图让学生加深对定义中细节的理解．

（二）抛物线的标准方程

通过类比椭圆与双曲线的学习过程，提出给出抛物线定义后应根据定义得出抛物线的标准方程，让学生回顾求曲线方程的一般步骤是什么？

求轨迹方程的步骤

1．建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；

2．写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}

3．用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0

4．化方程f(x,y)=0为最简形式

5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

设计意图：通过复习回顾让学生进一步加深对解析法的理解．

问题一：已知定点到定直线的距离为,如何建立适当的坐标系，从而得出抛物线的标准方程？

先由学生思考，然后教师点拨，提出类比椭圆和双曲线在求标准方程时的建系方法，由学生提出相应建系方案，分组合作交流，最后展示结果．

以线段所在直线为轴，以线段的中点为原点建立平面直角坐标系得到的方程形式最简单．其方程是．

设计意图：如何建系体现最优化方案，通过严谨细致的分析，展现知识的发生、发展形成的过程，进一步加强过程性教学．

抛物线在坐标平面内的位置不同，同一条抛物线的标准方程还有其他几种形式．让学生自主完成66页的表格，并展示结果．

问题二：观察抛物线的几种不同形式的标准方程，方程有什么特点？

设计意图：通过类比椭圆的标准方程的特点，让学生来自主观察总结抛物线标准方程的特点，培养学生归纳总结能力．

例1．（1）已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程;

（2）已知抛物线的焦点是,求它的标准方程．

由学生口答完成此例题．

设计意图：巩固所学知识，学以致用．

三、当堂检测

1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程；

2．根据下列条件写出抛物线的标准方程;

由学生自主完成，其中第一题第二问要注意学生的易错点的总结；第三题要注意启发学生用多种方法解题．

设计意图：检测本节课学习效果，做到堂堂清．

四、归纳总结

这节课你有哪些收获？学生总结后回答，教师补充归纳．

设计意图：通过问题的形式，师生共同回顾教学过程与内容，系统整理知识点，完善知识结构．

五、布置作业

课后A组1-4题

设计意图：进一步巩固所学知识．

《抛物线及其标准方程》教学设计点评

本节课从学生的认知起点与整体水平出发，创设教学情境启迪学生的思维, 计算机辅助课堂教学使数形结合的数学思想得到传递，信息技术手段恰当地利用也更有助于学生对新知识的理解和掌握。师生共同诠释和描述抛物线的形成，使学生对知识的发生、发展以及延伸的过程有更深刻的理解。突出学生的主体地位放开让学生讨论如何建立抛物线的方程，以美学的观点告诉学生，我们应该如何建立抛物线的标准方程，铺垫引入、引导探究、获得新知、深入探索，推导方程非常流畅。课堂练习组织学生开展小组练习，让每个学生发表见解，相互启迪，实现学生与学生之间的互动，从而得到能力上的提升。课堂小结通过师生、生生之间的合作交流来完成，到此学生的主体地位提升到极致。

本节课务理念实，定位鲜明，以目标为主旋律，以问题为贯穿点，学生想动，愿动，乐动，在动中获得知识提高能力，充分体现了新课程把 “以学生发展为本”作为基本理念：倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式；让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识和数学应用意识；体会数学的文化价值、应用价值。

刘老师这节课我概括为：给孩子一些权利，让他自己去选择；给孩子一些机会，让他自己去把握；给孩子一些困难，让他自己去面对；给孩子一些问题，让他自己去解决；给孩子一些条件，让他自己去创造。

当然，本节课不是完美的，仍有一些缺憾，但是这种缺憾并不影响本节课的精彩。因为教学永远是一种缺憾的艺术。我们每个人都是在不断追求完善、不断在生成的缺憾中逐渐走向成熟，走近完美的。

以上内容综合自人教网

“抛物线及其标准方程”的教学设计分析

作者：何伟富

众所周知，圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也是体现数形结合思想的重要载体，抛物线是圆锥曲线中应用尤为广泛的一种二次曲线，同时《标准》中要求“掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质”，其中抛物线定义是推导标准方程及研究几何性质的基础，是本节课其他知识产生的核心，所以应让学生充分讨论理解其含义.推导抛物线标准方程时，建立坐标系，将几何问题代数化尤为重要，而且抛物线标准方程因建系不同而有四种方程，初学者很容易混淆，因而恰当的建系和分清四种方程都具有一定难度.为此，笔者就“抛物线及其标准方程”的教学主要环节进行了分析与设计，概述如下：
　　1.关于“如何引入课题”
　　在我们的日常生活中，抛物线有着重要而广泛的应用，例如，探照灯就是利用抛物面的光学性质制作而成，将点光源发出的光，折射成平行光，照射到足够远的地方.教师在引入课题的时候可以利用多媒体向学生展示一些类似的例子，让学生直观地感受抛物线，同时对比二次函数及其图像，向学生抛出“如何给出抛物线的定义”，从而引出新课.
　　2.关于“抛物线定义的教学”
　　在介绍抛物线的画法时，教师应尽量创造条件，让学生亲自动手画出抛物线，引导学生细心观察动点的运动过程，并用数学语言描述动点的运动规律，用心体会数学语言的精确性.在画抛物线的过程中，使学生明白抛物线上的点所满足的几何条件，引导学生概括出抛物线的定义.对抛物线的定义特别要强调的是定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过定点F垂直于直线l的一条直线.如，到点F（1，0）和到直线l：x+y-1=0的距离相等的点的轨迹为：x-y-1=0，该轨迹是过定点F（1，0）且垂直于直线l：x+y-1=0的一条直线.
　　同时，也可以恰当使用信息技术帮助学生理解抛物线的概念，例如几何画板等，以便让学生更直观地看到动点的运动轨迹.但有时教师由于课时等因素的限制，一般都会在课下就做好课件，课堂上直接演示.实际上用几何画板演示抛物线的形成过程时，建议教师让学生亲历课件制作的过程，演示过程中注意动点的运动速度的控制，引导学生边观察、边思考，这样的过程会有利于学生在动态变化中强化对几何概念的认识.
3.关于“抛物线标准方程的教学”

由于在教学中圆锥曲线方程的推导都需要建立坐标系，故教师要引导学生有意识地加强对“如何建系”的思考，例如抛物线方程的推导中为什么不将定点设在坐标系的原点处？或是以定直线为y轴？这样的思考无疑会有利于学生理解标准方程的意义，进而进一步理解解析几何的本质.特别要注意的是，学生可能会提出各种建系的方式，为了使抛物线方程最后的形式简洁，教师应与学生共同分析并做计算，从而找到较好的建系方式.与此同时还要强调动点所满足的几何条件，因为这是求曲线方程的关键.
　　还有在推导的过程中会遇到方程的化简.在很多情况下，学生都会遇到类似的方程的化简、利用多个等式于不等式的关系解决如变量的取值范围等问题.由于学生在初中阶段方程的学习仅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程组，以及可化为一元一次方程的分式方程，不等式的学习也仅限于一元一次不等式，高中阶段学习了一元二次不等式，教师从学生这样的经历不难看出，学生在学习本章时代数变形的学习经历是非常有限的，这就造成了一部分学生在具体的解题过程中缺乏信心、经验不足.因而，建议教师结合学生遇到的具体困难，加强对学生的指导和示范，帮助学生积累代数变形的经验，提高代数推演的能力.
　　另外，一条抛物线由于它在坐标系内的位置不同方程也不同，于是希望学生自己归纳出抛物线开口向左、向上、向下三种情形下的方程，并求出相应的顶点坐标、焦点坐标.建议画出表格的第一、第二列，引导学生根据抛物线的对称性将下表补充完整.
　　4.关于“知识巩固”
　　考虑到抛物线的定义，几何图形，标准方程要求掌握，所以在设置例题的时候要有梯度，例如：求下列抛物线的焦点和准线方程：
　　同时，为了强调圆锥曲线的应用体现数学的应用价值，可以选取实际应用的例子，帮助学生树立模型观念，为运用这些模型解决实际问题做了良好的铺垫.
　　5.结束语
　　一节数学课的教学设计，应立足于问题引导学习，将教学重心前移，适度延长知识的发生发展过程；应保证学生思考的力度，在关键点上给学生提供发表见解的机会，促进他们在解决矛盾冲突的过程中、建立知识之间内在联系的过程中领悟本质；应紧扣学情，遵循学生的数学思维发展水平和认知规律，等等.只有这样才可能打造精品课堂，实现精致教学.

来源：网络

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