用二分法求方程的近似解

请关注阳光备课 2023-02-05

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三言两语

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案例分析

（点击图片，可大图阅读）

如何教，课本写得非常好。下面进行“再加工”。

问题1:方程lnx+2x-6=0有解吗?

(教师由学生不熟悉,又没有公式可用的“超越方程”创设“愤、徘”情境,使学生“欲罢不能”,激发学生自主探索的欲望,从而由问题建立起与上节课内容的关联性整合,同时引导学生向整体性、纵深处思考,进而加强知识本身对学生多方面发展和高质量发展的力度)

【旁白：题目左边的式子容易让学生联想上节课的例题，学生进而知道有解，以此燃起学生“记忆”-图像】

问题2:能求出它的近似解吗?

(这里应给学生足够的思考时间,教师注意课堂的变化.预设两种情况:第一,让学生谈谈思考的方向;第二,如果学生思路仍然受阻,进一步启发,出示下一问题)

问题3:能否以上一节课为出发点找到一个求解的方案?

学生:(恍然大悟)可以转化为求y=lnx+2x-6的零点问题。用“试值法”可以发现f(2)<0,f(3)>0,因此,在区间(2,3)有零点.

教师:还可以用“图象法”(图2).

(“几何画板”画图并让学生观察初始区间)

(切入主题可以让学生对本节课的学习有清楚的认识.教师补充“图象法”,起承上启下的作用,为引导学生描述特征,完成刻画作好铺垫)

问题4:现在我们只确定零点的初始区间,接下来要解决什么问题?

学生:找出零点什么?

问题5:能否找出这个零点或者你是怎样思考的?

学生:先任意取一点,如2.1.利用计算器得f(2.1)<0,则零点在区间(2.1,3)内,又f(2.2)<0,则零点在区间(2.2,3)内,如此类推.

教师:不错,我们先试一试,看看能得出什么结论?

学生:f(2.1)到f(2.5)都小于0,但f(2.6)>0,则零点在区间(2.5,2.6)内.

教师:很好,零点所在区间从(2,3)到(2.5,2.6),迈进了一步,是一种好方法.但我有一个问题,按这种方法,我取2.01或2.001甚至更小,你认为合理吗?

【旁白：我们很多老师，一开始就告诉学生用“二分法”不讲道理】

问题6:请重新回顾问题解决的方式,你认为取哪个点是最合理的?为什么?

学生:取2.5,得f(2.5)<0,取一次就可得到零点所在区间为(2.5,3).从图象上也可以验证.

问题7:从2.5所处的位置上看,刚好是中点,你认为是偶然吗?

学生:不是,中点把区间一分为二,f(2.5)的值唯一确定,故零点必在两区间之一内.

问题8:现在,零点所在区间为(2.5,3),假如想进一步得到零点的近似值,你认为取哪个点是最合理的?

(引出近似思想,并借助函数的图象,引导学生探究逼近思想,促使“二分法”的形成.其中可能会涉及不同的分法,教师要有准备,如十分法、四分法、黄金分割法等,引导学生得出“二分法”是最简便的)

问题9:回顾所用的方法,它们的共同之处是什么?

学生:先缩小区间,再估计零点.

教师:非常好,按照这种方法可以把区间缩减到任意小,得到符合要求的零点.教师给出精确度的定义.

【旁白：此操作可能无穷下去，如何终止，引入了精确度】

问题10:借助计算器,继续缩小区间,请与同桌合作、完成下表

课本表格如下:

问题11:从表格中,可求lnx+2x-6=0的近似解,精确度0.1,结果是多少?精确度0.01,结果是多少?

(“二分法”的算法流程比较简洁.首先确定一个存在解的区间,要用到此区间的两端点;其次需要有迭代,即循环运算的过程,具体表现在不断“二分”即缩小存在区间;最后需要有一个运算结束的标志,即当可解区间的长度满足一定的精确度要求时,运算终止.教师也可以用图象演示零点所在区间不断“二分”的过程,进一步感受精确与近似的相对统一,感受它的算法思想,不断深化对重点的理解)