《立体几何起始课》教学设计

阳光备课 2023-02-05

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《立体几何起始课》教学设计

【教材分析】

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间. 所以，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义.

本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，重点是帮助学生逐步形成空间想象能力. 为了符合学生的认知发展规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，本章在内容的编排及内容的呈现方式上，与以往的处理相比有较大的变化. 本章内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理与逻辑推理的能力，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想像能力.

（1）立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力．我们提供了丰富的实物模型和利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，掌握在平面上表示空间图形的方法和技能．

（2）立体几何初步的教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言．我们尽力帮助学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生初步了解空间平行、垂直关系，从而为学生展现立体几何的全貌．

（3）因为学生在学习立体几何之前学习过平面几何，平面几何与立体几何研究的对象又都来自于日常空间的抽象，并且研究的对象有部分重叠，因此学生在学习立体几何过程中一定会受平面几何知识的影响．又因为平面几何中的结论不能原封不动地搬到立体几何中，有的在立体几何中还成立，而有的却不成立，但在立体图形的一个平面上，平面几何的所有结论又全都可用．因此，在立体几何起始课上，有必要向学生讲清这一点，为后续学习扫清障碍．

（4）我们在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力．

【教学目标】

1. 知识与技能目标

使学生明确学习立体几何的目的，初步了解立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生了解平面几何与立体几何的联系与区别，初步了解立体几何研究问题的一般思想方法.

2. 过程与方法目标

通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展空间想像能力.

3. 情感、态度与价值观目标

通过设立多种情景引入方式，让学生激发学习立体几何的兴趣，能够自主学习、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观.

【重点难点】

重点：初步了解立体几何研究的内容，培养空间想象能力，了解立体几何研究问题的一般思想方法.

难点：克服平面几何的干扰，了解平面几何与立体几何的联系和区别，初步了解立体几何研究问题的一般思想方法.

【学情分析】

在学习这门课之前，学生系统学习了平面几何的知识，对平面中几何图形的位置和数量关系研究较多，在小学和初中阶段只是比较直观地认识了一些简单的几何体，并没有更深入地对空间中几何图形的位置和数量关系进行推理和计算．

学生在学习过程中将会遇到一些问题：如对学习立体几何的兴趣不足、不能很好地使用直观图来表示立体图形、将平面几何的结论不加研究地类推到立体几何中等等．

【教法分析】

1. 由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、使用书本、铅笔、木棒、立方体等模型，直观感知、操作确认，避免过度抽象. 思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用；

2. 鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解，教师只做必要的引导和总结；

3. 从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力；

4. 采用模型或软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性.

【教学过程】

（一）课堂引入（为什么要学习立体几何？）

问题1 ①是否存在三条直线两两互相垂直？若存在，请举出实际中的例子.

②到一个定点距离等于定长的点的轨迹是______.

③用5根长度相等的木棒（或火柴）搭正三角形，最多搭成几个正三角形？用6根呢？

（学生讨论，动手操作，教师巡视，并参与其中，然后请学生回答.）

生 ①存在. 教室墙角处的三条直线两两互相垂直.

②在平面上是圆，在空间中是球.

③5根长度相等的木棒（或火柴）可最多搭成2个正三角形. 6根长度相等的木棒（或火柴）搭成三棱锥，可最多搭成4个正三角形.

师大家回答得都很好！这表明在现实世界中只研究平面问题是不够的，我们必须“冲出平面，走向空间，迎接挑战，有信心吗？”

生有！

（用生动有趣的问题创设情境，以达到引入新课的目的.）

（二）研究探讨（立体几何主要研究哪些问题？）

问题2 平面几何的研究对象、内容是什么？

（学生回答，教师补充. 对象：平面图形. 内容：点、线的位置关系、图形的画法、相关计算及应用.）

立体几何的研究对象、内容是什么？

生立体几何的研究对象：空间图形.

（引导学生看苏州博物馆的实景图（如图1），简单叙述建馆的步骤之一——画设计图.）

师人们在建造房屋、修建水坝、研究晶体的结构、在计算机上设计三维动画、研究高清晰度电视以及虚拟现实技术都需要立体几何. 我们需要进一步了解我们生活的空间，这就是我们学习立体几何的目的.

（提出以下几个问题，然后小结.）

（1）比较图2、图3，哪个更像正方体？

生图3. 因图2都是实线，像是平面图形.

（2）在图3中，指出、的大小.

生它们都是直角

师从图中看是钝角，是锐角.

（3）点在直线上吗？直线与直线相交吗？

生点不在直线上，直线与直线不相交.

这表明空间图形与平面图形在画法上的差异，在直观图中判断图形的形状不能沿用平面的眼光，要看得“深远”，要有立体感.

（4）在图3中，设，求四边形的面积以及正方体的体积.

生四边形的面积是1，正方体的体积也是1.

师由此，我们知道立体几何的研究对象：空间图形；内容：空间图形的画法，点、线、面的位置关系，计算角的大小，线段长短，面积、体积的大小.

（三）思想方法（如何学习立体几何？）

1. 类比思想

例1 判断下列命题的真假

①平行于同一条直线的两条直线互相平行.

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

③对边平行的四边形是平行四边形.

④对边相等的四边形是平行四边形.

（学生讨论，然后回答）

生 ①对.

师能给出证明吗？

（学生讨论，试图给出证明，但一一自我否定.）

师这个命题无论在平面上，还是在空间中都是真命题. 推广到空间就是我们将要学习的平行公理，我们以后再具体研究. 棱柱的侧面的三条公共棱就是这种关系. 那么，问题2呢？

生不对. 在平面上是真命题，但是在空间，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（同时用三支笔比划出两条直线异面的情形，但无法说清楚两条直线的位置关系.）

师还有可能出现其他位置关系吗？

生可能. 两条直线也可能相交.

师我们再一起来研究问题3，这个结论正确吗？

生对，这是平行四边形的判定定理.

师有不同意见吗？

（学生有意识地在空间中找反例，但找不到反例.）

生在空间中也是正确的.

师问题4呢？

生不对，因为没说在平面中. 比如把一张长方形的纸沿着对角线折起来，这时四边形的长度没变，对边仍然相等，但不是平行四边形.

师回答得非常好. 平面中的有些结论放到空间中看有些成立，有些不成立. 在立体几何的学习中，我们要善于与平面几何做比较，认识其共同点，发现其不同点，这种思想方法即为类比思想.

2. 转化思想

例2 如图4，在长方体中， .

①求的长；

②求.

生

师对. 把所要求的两个量转化到一个三角形中求解，即把空间问题转化为平面问题，便于计算求值.

例3 在例2长方体的顶点有一只小蚂蚁，沿表面爬到顶点，最短路程是多少？

（学生思考、讨论）

师在平面几何中，两点之间线段最短，在空间呢？

生还是线段最短. 但是如果小蚂蚁沿着爬行，就是从长方体的内部穿过去了，不行.

师对，那样的话，小蚂蚁就变成穿山甲了. 那么，到底小蚂蚁该怎么爬行呢？

生可以过棱的中点，也可以过棱的中点.

（学生议论纷纷，有些同意，但说不出理由，有些反对，但也找不出方法.）

师先看第一种情况，小蚂蚁穿过棱爬行至，我们可以试着把长方体模型的侧面沿棱翻折到与侧面在同一平面内.

（学生立即明白）

生在矩形（见图7）中，就是此时的最短距离，. 同理，可求在其他情形时，，所以，最短距离应为.

师很好. 这是一道难度较大的题，小蚂蚁到底能不能想出办法，关键在于是否能够考虑到把本来不在同一平面的问题转化为同一平面问题求解. 在立体几何中，需要计算空间图形里角的大小、线段的长度等，通常采取的方法就是把空间问题转化成平面问题，即转化思想.

课堂练习

（1）判断下列命题的真假

①过已知直线外一点有且仅有一条直线和已知直线平行；

②过已知直线上一点有且仅有一条直线和已知直线垂直.

（2）如图8，三棱锥中，底面是等边三角形，，，一只蚂蚁从顶点出发绕侧面一周再回到的最短距离是多少？

课外练习

（1）几何学是随着人类文明的进步而发展起来的. 自公元前1800年左右的古埃及，因尼罗河的泛滥要求丈量土地的面积到如今从土木建筑到家居装潢，从机械设计到商品包装，从航空测绘到零件视图……空间图形与我们的生活息息相关. 请同学们查阅资料，了解几何学的发展进程.

（2）举出一些平面几何中正确的结论，判断其在空间中是否仍然成立.

（3）如图9，一个圆柱形水杯的底面半径为1，高为2，一只小蚂蚁从外侧杯底处出发，爬行至内侧杯底处，最短路程是多少？

【教后反思】

序言课的主要任务是揭示这门学科研究的对象、内容、解决问题的思想方法，它具有承前启后的作用. 上好序言课，对学生学好这门学科有着十分重要的作用.立体几何起始课，如何上呢？我们要从学生身边的“存在”讲起，引导学生观察身在其中的教室、校园，从中选取我们要学习的空间点、线、面、体. 这样引入立体几何，学生感到自然、亲切，从而使学生产生学习的兴趣和信心.

（1）通过本节课的教学，使学生初步建立空间概念，使学生的视野由平面发展到空间. 不过于追求学生数学语言的科学和严谨，而是力求使学生感受体会立体几何的体系和研究思想，不是一开始就让抽象的符号语言把学生吓住，而是使学生感受到立体几何就在身边. 在授课过程中，充分考虑学生的认知水平和学习能力，注重了从学生已有的知识出发设计问题. 如在立体几何研究的内容中，通过学生熟知的正方体、长方体、圆柱、圆锥等的直观图，使学生深刻认识到了空间图形与平面图形在画法上的差异；通过对长方体、正方体的简单运算，向学生说明了在研究空间图形时不能只依据直觉做出判断，要充分利用平面几何的知识. 这部分教学设计，深入浅出，阐明了立体几何研究的内容；在数学思想方法中，用具体的、学生熟悉和感兴趣的例子揭示本质.

（2）新课标强调学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自助探究、动手实践、合作交流等方式. 所以新课程下的课堂应当是学生独立思考、自主探究和师生互动的学习过程. 教学内容的问题化、教学过程的探索化能激发学生兴趣、调动课堂气氛，使课堂教学成为在教师指导下的探索学习过程.如在引入中通过小实验，创设了学习情境，激发了学生兴趣；在数学思想方法中，在学生已有的平面几何知识的基础上，从问题入手，在解决问题中，培养学生空间想象能力. 学生经历的是探索的过程，领悟的是数学学习的方法，得到的是自主探究的结果，体验的是实践成功的喜悦.

总之，本节教学案例的教学内容设计中重视从学生已有的平面几何知识入手，利用模型和幻灯片，启发、引导学生积极探索，大胆实践，极大地激发了学生学习的积极性和创造性，使抽象的起始课上得具体、生动，内容丰富. 既使学生获得了知识，又培养了学生的能力. 为学生学习立体几何创造了一个良好的开端，成功地拉开了立体几何教学的帷幕.

参考文献

[1] 贾海燕. 良好的开端等于成功的一半——如何上好每一章起始课. 高中数学教与学.

[2] 文卫星. 立体几何引言课教学设计. 数学通报.

[3] 陶维林. 研究章引言上好起始课. 中国数学教育.

[4] 李建标，吴建洪. 快乐地学习立体几何——从“空间几何体的结构”开始. 数学通讯.

《走进立体几何》教学设计及说明

一、教学内容解析

本节课的内容是选自上海教育出版社《上海高级中学课本高三年级（试用本）》第十四、十五章立体几何知识的引言部分，属于策略性知识为主的数学分支起始课.

认识空间图形，运用文字语言、图形语言、符号（集合）语言进行交流，掌握画空间图形直观图的基本技能，发展学生的空间想象能力、推理论证能力是新课程标准的基本要求.本节课教学内容的上位知识为初中平面几何的相关知识、高中阶段集合符号语言知识，学生具有推理论证的能力.为实现新课程目标，本节课将“Why、 What、 How”的教学理念融入其中.主要通过直观感知、从具体到抽象，引导学生认识人类生存的现实空间，激发学生学习立体几何的兴趣；帮助学生自主建构，明确立体几何即将学习的内容；在学习过程中引导学生领悟从平面几何向立体几何类比、初步体验“化曲为直”、“图形割补拼”的思想方法.在后续的课程中，会采用思维论证、度量计算等方法进一步建构立体几何体系.本课为立体几何的后续学习做了良好的铺垫.

鉴于此，本节课的教学重点确定为：初步了解立体几何研究的主要内容和方法.主要内容包括：作图与识图；空间中基本元素（点、线、面）间的位置关系(线线、线面、面面关系)；空间中基本元素（点、线、面）间的度量关系（距离、角、面积、体积等）.主要思想方法体现在：命题和方法上的类比思想、空间问题到平面问题的转化与化归的思想.

结合本节课内容，教学需要反映立体几何体系发展历史及其应用.在介绍历史上关于立体几何知识的各种数学思想发展和起源过程中，开阔学生自身眼界与视野，启迪学生创造的灵感，激发学生学习的热情.教学中沟通平面几何和立体几何的联系，建构立体几何的研究框架，充分运用信息技术展示空间图形，培养学生创新思维能力.

二、教学目标设置

新“课标”指出，学生能体验从现实世界中抽象出空间形式的过程，学习立体几何的基本知识和基本技能，认识简单几何体的基本特征，掌握研究立体几何问题的基本方法，发展学生的空间想象能力，为将来进一步学习空间几何打下基础.根据本章内容学习的特点、学习方法和能力的要求，这节立体几何序言课的教学目标设置如下：

1.直观感受空间图形中的点、线、面间的位置关系和度量关系，了解立体几何的研究对象和内容.

2.体验平面到空间、空间到平面的类比和转化思想，发展由直观到抽象，由平面到空间的想象能力.

3.了解我国古代立体几何的研究成果，产生爱国主义情感，增强学习立体几何的热情，树立学习立体几何的自信心.

三、学生学情分析

这节课的授课对象是上海市示范性高中三年级的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达的能力.在知识层面上，初中阶段学生已直观地认识了正方体、长方体、圆柱、圆锥等几何体；归纳出空间中点、线、面的部分位置关系.从方法的层面，学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了类比与转化思想.

学生在学习过程中,也可能会遇到诸多困难：空间问题难以转化为平面问题，通过几何体的直观图难以想象几何体在空间中的具体结构，思维容易受平面图形的干扰，缺少在三维空间条件下进行思考的经验等.故本节课教学难点设定为：学生从平面图形到空间图形认知的转变.

针对学生的实际情况，本节课采用以下策略：

1.帮助学生寻找直观支柱

引导学生观察思考生活中具体实例，利用实物模型，归纳空间图形基本元素间的位置关系；运用信息技术（PPT、几何画板、立体几何画板、media等）展示空间图形，搭配相关的文字说明、动画、音像等形式呈现丰富的教学情境，渲染课堂气氛，激发学习兴趣，提高教学效率.

2.加强作图、识图能力的培养

通过观察实物教具，运用信息技术，展示空间图形的直观图，引导学生观察、想象，由直观图想象空间图形的形状和结构，进而在观察的基础上引导学生从不同的角度来识图，并借助直观图进行简单的计算，实现从平面概念到空间概念的转化.

3.运用类比转化的思想实现知识的迁移

从学生较为熟悉的长方形、长方体入手，引导学生观察、思考空间图形和平面图形之间的诸多相似性，从平面问题出发，用类比的方法，以问题串的形式引导学生猜想.发现在“几何命题”和“研究方法”上，可将平面几何类比到立体几何中去.通过教师引导、学生自主探究、合作交流，初步体验把空间问题转化为平面问题的解决策略.

四、教学策略分析

本节课属于策略性知识为主的数学分支起始课.所谓策略性知识就是对“如何学习，如何思维”的知识，让学生“学会学习，学会创造”.本节课主要设计理念是体现“Why to study（为什么学）；What to study（学什么）；How to study（怎么学）”,简称“WWH”.基于此，本节课由（一）情景引入——Why to study（二）观察、抽象——What to study （三）类比、转化——how to study （四）总结反思——Learn to sum up （五）任务后延——Learn to create 五个教学环节构成.教学重点是：初步了解立体几何的主要内容和方法，激发学生学习立体几何的兴趣.

环节一：情景引入——Why to study

立体几何教学强调几何直观，突出实物模型的使用，帮助学生通过直观、具体的实物模型过渡到空间想象，对形成空间想象问题能力起到至关重要的作用.从学生熟悉的3D技术应用出发制作视频，通过多媒体的展示，激发学生学习立体几何的兴趣.

环节二：观察、抽象——What to study

达芬奇的作品《最后的晚餐》帮助学生认识正确画出空间图形直观图的必要性.运用几何画板技术，动态演示空间中基本要素间的生成关系，以此出发抽象出文字语言、图形语言和集合语言三种语言的转化关系.对于较难理解的长方体直观图画法，教学上采用立体几何画板软件制作长方体空间旋转直观图视频，初步培养和发展学生的空间想象能力.通过观察实物模型和罗浮宫玻璃金字塔直观图，引导学生体验、探索空间基本元素间的位置关系和度量关系，激活学生思维.

环节三：类比、转化——how to study

利用教具和模型，帮助学生克服学习平面图形时产生的思维定式的消极影响，从平面知识类比推广到空间知识.引用波利亚名言总结立体几何学习中采用类比方法的重要性.

遵循从已知到未知的原则，从圆面积求法这一问题出发，引导学生将平面中割补拼、无限逼近的思想类比推广到立体几何.在古代名家的介绍中，帮助学生了解数学知识的发生和发展过程，加深理解类比方法的内涵和外延.

在学生的最近发展区内，设计两个例题，让学生“做数学”、“做中学”，体验立体几何问题常常要转化为平面几何问题来解决，激发学生创新思维的发展.

环节四：总结反思——Learn to sum up

通过采用关键词和形象的思维导图技术，引导学生主动建构，形成知识体系，建立起一个多维的、富于想象力的课堂总结.帮助学生整理思路，并形象化的记忆本节课的主要内容，归纳体会数学思想方法.

立体几何的发展历史介绍，为学生拓宽了思路，充分揭示立体几何的文化内涵，肯定立体几何的科学价值.

环节五：任务后延——Learn to create

多形式、多层次的作业布置，启发学生自主探究，学会创造.

在本堂课的教学中，从观察出发，引导学生走进立体几何的世界.通过问题的探索和分析，逐步勾勒出一幅立体几何的学习蓝图.名家的介绍、达芬奇著名作品《最后的晚餐》、著名建筑的结构图激发学生的求知欲，明确立体几何知识是从生活中来，又服务于生活.通过学生最熟悉的长方体，感悟立体几何和平面几何的联系与区别，借助生动的学习活动，积累学习立体几何的经验.根据学情，在新旧知识连接点上创设问题情境，通过交流、讨论和总结，了解立体几何学习知识的主线，领悟数学思想方法的本质，把握立体几何的学习规律.

本节课关注：(1)学生是否了解立体几何学习的基本内容.(2)学生是否了解立体几何的研究方法.是否能从平面到空间做一些简单的类比.是否能从空间到平面做一些简单的转化.

五、教学过程设计

（一）情境引入（Why to study）

观看视频，观察模型，引出课题.

（二）观察、抽象（What to study）

1．质疑：立体几何研究对象是什么？

2．学会画图

（1）画长方体的直观图

（2）初步感知空间图形与平面图形画法的异同

（3）识图：趣味折纸

3．质疑：构成空间图形的基本要素是什么？

（1）通过数字化数学活动动态观察点、线、面间的生成关系.

（2）介绍立体几何的三种语言：文字语言、图形语言、集合语言.

4．直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

观察正方体的直观图，假设正方体的棱可以延伸为直线，面可以延展为平面，研究正方体中的线线、线面、面面位置关系.

质疑：在正方体中

① 与是怎样的位置关系？
②与面AD是怎样的位置关系？
③面ABCD与面是怎样的位置关系？

5．度量计算及其应用

在生产生活中常常会遇到很多度量方面的问题，例如建筑史上的杰作罗浮宫玻璃金字塔在设计时就需精确计算金字塔侧棱支架与地面所成的线面角、侧面与地面所成的二面角的大小等.

（三）类比、转化（how to study）

1.类比思想

（1）命题类比

问题1：以下平面中成立的命题在空间中还成立么？

①平行于同一条直线的两条直线平行.

②垂直于同一条直线的两条直线平行.

（2）方法类比

回忆：小学中我们如何推导圆的面积公式？

割补拼、无限逼近的思想同样适用于空间几何体体积的研究.

介绍我国古代著名的数学家刘徽、祖冲之父子.

质疑：平面中的长方形可以联想到空间中的长方体，通过类比长方形对角线长度平方等于长和宽的平方和，长方体中是否有类似的结论？

2．转化思想

问题2：在长方体中，，
求长.

问题3：如上图所示，已知圆柱的底面半径为2cm,高为4cm,一只蚂蚁从点绕着圆柱体的侧面爬行一周到点，求这只蚂蚁爬行的最短路程.

（四）总结反思（Learn to sum up）

（五）任务后延（learn to create）

1.用6根长度相等的木棒最多能搭出几个正三角形？

2.在长方体中，，，，一只蚂蚁从长方体的顶点沿表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？

3.上网搜索了解中外数学名家对立体几何的研究成果.

4.制作一个正方体框架模型，为后续研究点、线、面关系做准备.

《立体几何序言课》点评

本节课呈现了富有趣味性的视频以及生活中大量的实物，获得了视觉上的愉悦，增强了探求的好奇心，激发了学生的求知欲望。创设的问题情境有效，能遵循认识规律，从感性到理性，从具体到抽象。充分利用多媒体以及教室现有实物等做教具，让学生感受立体几何和平面几何的区别与联系，初步认识到立体几何的研究对象和研究内容，通过设计一些数学活动来初步理解立体几何的研究方法和思想。本节课整体设计自然流畅，别具匠心，符合“从直观认识空间图形入门”的教学要求，教学气氛和谐，较好地体现了序言课的特点以及夏璡老师扎实的学科教学知识。

本节课通过旋转长方体的直观图画法、点线面的运动生成关系等学习活动，学生质疑、探索，重新建立认知结构，思考小学时圆面积的求法，在最近发展区内，观察、类比、猜想，概括得出新的数学概念，激发创新思维的发展，实现知识到能力的迁移，学生在“做中学”发展能力，沟通平面几何与立体几何的联系，构建了空间图形的研究框架，初步理解从空间图形到平面图形的转化与化归思想，听得专心，讲得积极，学得有趣。

来源：人教网

（以上内容由网上搜索而来，作者信息不详，在此向作者致谢！摘录、转载，是想为经济欠发达地区教师提高业务水平做点事,仅此而已,如有侵权,请联系删除,谢谢!）

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