课例分析 | 直线与圆的位置关系

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     教无定法，开始！

研讨素材一

全文详见《中学数学教学参考》2018年第6期

研讨素材二

【由于课本版本号不同，页码可能不同，故用P12x代替具体页码，下同】

【面上学校，例2可放到第2课时，专题研讨】

研讨素材三

《直线与圆的位置关系》教学设计

天津市第五十一中学　孙　琳 

一、教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）必修2中第四章《圆与方程》第二节“直线、圆的位置关系”的第一课时，它是在学生已经掌握“直线的方程”和“圆的方程”的基础上，进一步研究直线与圆的位置关系．

17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题．上一章，我们学习了直线与方程．知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题．本章在上一章的基础上，将继续用坐标法探究圆的几何特征，建立它的方程，通过方程研究它的简单性质，并用坐标法解决一些与圆有关的简单几何问题和实际问题，如直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，进一步让学生感受数形结合的基本思想方法，形成用代数方法解决几何问题的能力．

解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．本节课将研究直线与圆的位置关系，它的核心内容是如何借助直线的方程和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，通过学习让学生掌握两种判断方法．一种方法，根据学生初中学习直线与圆相交、相切、相离的定义的基础上，将直线的方程与圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断．本方法主要突出坐标法的思想且具有一般性，可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中．另一种方法，根据学生初中学习的直线与圆三种位置关系的判定，即利用圆心到直线的距离与半径比较．该方法，涉及到把点与坐标、直线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合．需要特别指出的是：该方法属圆的个性范畴，不能推广．通过分析不难看出，“直线与圆的位置关系”起到了承上启下的重要作用．

直线与圆的位置关系这一内容，蕴含着丰富的数学思想．首先，直线与圆的位置这一几何特征，是通过点的坐标和直线、圆的方程来研究，体现了数形结合的思想方法．这在学习直线的方程、圆的方程时，学生已经接触过，结合本节课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的研究过程来看，由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．再有，通过具体例子判断直线与圆的位置关系，来归纳总结判断直线与圆位置关系的方法，充分体现了由特殊到一般的思想方法．

因此，本节课的教学重点：直线与圆的位置关系及判断方法；坐标法的基本思想．

二、教学目标设置

（一）教学目标

1．掌握直线与圆的三种位置关系；熟练掌握判断位置关系的两种方法；能够解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题．

2．（1）通过本节课的学习，让学生经历操作、观察、探索、总结直线与圆位置关系的判断方法的过程，从而培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力；（2）通过本节课的学习，要让学生经历如下过程：将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，要帮助学生不断地体会“数形结合”、“转化”和“由特殊到一般”的数学思想方法．

3．激发学生的求知欲和学习兴趣，培养学生积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯．

（二）目标解析

1．学生在初中已经学习了直线与圆相交、相切、相离的定义和判定，但只停留在结论层面．本节课将在这个基础上，结合学生掌握的直线、圆的方程来探究直线与圆位置关系的两种判断方法．一种方法是利用圆心到直线的距离与半径比较（会涉及到点到直线距离公式），思路简洁，学生易接受，但这种方法具有一定的局限性，不能求出公共点的坐标．另一种方法是直线的方程与圆的方程联立方程组，根据方程组的解的不同情况来判断，充分体现“数学结合”思想方法的应用，同时为选修2中研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定坚实基础．掌握判断位置关系的方法，进一步利用坐标法解决一些简单的与位置关系相关的问题．

2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非能复制与灌输．在探究利用坐标法研究直线与圆的位置关系时，让学生领悟到数形结合思想、转化思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析直线与圆的位置关系．

3．通过利用坐标法探究直线与圆的位置关系，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力．

三、学情分析

（一）学生程度

我所面临的学生是高一新生，所授课的班级中考数学平均分较低，学生层次不同，存在一定差异．虽经历了必修一集合、函数相关知识的学习，但解析几何的学习刚刚开始，对坐标法还处于了解的层次。

（二）知识层面

1．学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定；

2．掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式；

3．必修二的第三章初步学习了坐标法．

（三）能力层面

1．掌握利用方程组的方法来求直线的交点；

2．具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础；

3．具有一定的数形结合解题思想的基础．

根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主完成利用圆心到直线的距离与半径比较来判断直线与圆的位置关系的方法；部分学生可以在研究直线的交点的基础上来完成联立直线与圆的方程，通过方程组的解的不同情况来研究，但学生仅仅停留在模仿、类比的知识表面，知识的来龙去脉并不知晓，这时需要教师的引导和帮助．

教学难点： 用坐标法判断直线与圆的位置关系．根据本节课的特点，在教学中借助几何画板可以帮助学生进行数学探究．

四、教学策略分析

1．根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．

2．由于我校学生基础薄弱，所以在整节课的教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用．

3．本节课的教学设计遵循了“以学生为主”的教学模式，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动．教师在整个教学过程中，注意到了少讲，给学生充分活动的时间和空间，让学生互相评价，总结解题经验．教师的重点放在了对解法的归纳以及坐标法的思想是否得到落实上．

五、教学过程

（一）引入新知

问题1： 

（1）根据图（一）直角坐标系中圆的图形，写出

圆的标准方程                ；

圆的一般方程                  .

（2）在图（一）中根据直线的方程画出直线，并判断直线与圆的位置关系            ．

（3）在图（二）中根据直线的方程画出直线，并判断f直线与圆的位置关系           ．

（4）在图（三）中根据直线的方程画出直线，并判断直线与圆的位置关系          ．

师生活动：学生动手画图、思考，教师巡视指导，学生代表到前面演示，一边讲解做题过程一边与同学们核对．

【设计意图】通过问题的设置，可以锻炼学生动手画图的能力，同时达到复习巩固的目的，还体现曲线与方程的对应关系；启发学生由图形获取直线与圆的位置关系以及判断方法的直观认知，为新课的学习奠定坚实的基础．

思考1：在核对的过程中，图（三）的结果出现了分歧，有的同学的答案是直线与圆的位置关系是相离，有的同学认为是相切，思考到底哪种情况是正确的呢？

师生活动：教师制造矛盾，让学生发现通过图形判断直线与圆的位置关系会存在一定的误差，但又没有更好地理由否定对方的结果．

【设计意图】通过问题的设计，可以激发学生学习新知识的强烈欲望，体现新知学习的必要性．

思考2：怎样判断直线与圆的位置关系？

直线与圆相交、相切、相离的定义：

（1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交；

（2）直线和圆有唯一公共点，直线与圆相切；

（3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．

直线与圆相交、相切、相离的判定：设圆的半径为，圆心到直线的距离为．

    （1）当时，直线与圆相交；

（2）当时，直线与圆相切；

（3）当时，直线与圆相离．

两种方法：①根据定义（根据公共点的个数来定义位置关系）；

②圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系． 

师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答情况及时进行补充．

【设计意图】以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，培养学生养成良好的学习习惯．

（二）构建新知

问题2：既然画图形存在误差，思考不画图，不通过图形如何判断直线与圆的位置关系？借助问题1中（2）和（3）为背景进行思考讨论．

（2）已知直线的方程是，圆的方程是，判断直线与圆的位置关系．

（3）已知直线的方程是，圆的方程是，判断直线与圆的位置关系．

师生活动：以小组为单位进行讨论研究，教师巡视指导，讨论有结果的小组可以派代表写在黑板上．

【设计意图】由较简单的问题导出这节课的内容，让学生利用已有的知识，探究用坐标法判断直线与圆的位置关系的方法，给学生留有充分的活动时间．

思考3：如何利用坐标法的三步曲总结利用圆心到直线的距离与半径比较的方法？

师生活动：学生讲解，教师板书总结的过程，其他学生补充，教师适时点评．

【设计意图】利用几何特征解决这个问题，符合学生的认知基础，思路简单，容易获得结论.

思考4：让学生思考为什么可以通过让直线的方程与圆的方程联立，来研究直线与圆的位置关系问题？

这种方法要让学生先理解几何元素及关系如何用代数表示，充分理解曲线与方程的对应关系．

假设直线与圆有公共点，设为，教师要让学生理解下列对应关系．

几何元素及关系	代数表示
点
直线
圆
点在直线上
点在圆上
直线与圆的公共点是	点的坐标是方程组的解

师生活动：学生思考、讨论，教师巡视指导，让学生完成用联立方程组的方法确定直线与圆的位置关系，并完成利用坐标法的三步曲总结这种方法．

【设计意图】用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算，最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.让学生体验坐标法的思想.借助几何画板平台，让学生真正理解“数”与“形”的对应关系.

思考5：总结利用方程判断直线与圆的位置关系的两种方法．

方法一：设直线，圆

可由方程组（）的解的不同情况来判断：

当方程组有两组实数解时，直线与圆相交；

当方程组有一组实数解时，直线与圆相切；

当方程组没有实数解时，直线与圆相离．

     方法二:设直线，圆

可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断：

（1）当时，直线与圆相交；

（2）当时，直线与圆相切；

（3）当时，直线与圆相离．

教师帮助学生梳理、归纳：

位置关系	相  交	相  切	相  离
几何特征
代数特征	（）式有两组实数解	（）式有一组实数解	（）式没有实数解
公共点个数	两个	一个	没有

【设计意图】让学生通过独立的思考，概括出利用直线与圆的方程来判断它们位置关系的两种方法，自己可以把课堂上所学的知识点连成知识线，从而加深了学习的印象．

（三）小结新知

问题2：利用所学知识解决有“争议”的问题

（4）已知直线的方程是，圆的方程是，判断直线与圆的位置关系．

师生活动：学生任意选择方法，进行判断，教师巡视、统计选择两种方法的人数．对比两种方法．

【设计意图】通过问题的设计，可以让学生感受到利用所学的知识可以解决一些问题，充分体现所学知识的必要性．通过两种方法的对比，可以对解法进行归纳，并体现坐标法的思想．一种方法属圆的个性范畴，不能解决公共点的坐标，也不能推广；另一种方法具有一般性，可以解决公共点的坐标，也可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中.

（四）巩固新知

问题3：已知圆的方程为，直线过定点，斜率为，当直线与圆相交；相切；相离时，分别求的取值．

师生活动：学生练习巩固，教师巡视指导，利用投影展示学生的解题过程，并提出解题的规范要求．利用几何画板的动态演示，让学生充分认识到“数”与“形”的对应关系．

【设计意图】通过问题的设计，不但可以巩固所学知识，还可以让学生真正体会由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．

（五）归纳小结

问题4：（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

       （2）通过本节课的学习，你掌握了哪些方法？

（3）本节课蕴含哪些数学思想？

（4）通过本节课的学习，你还存在哪些疑惑？

师生活动：教师引导学生从知识—方法—思想的角度，层层深入，梳理本节课的内容．

【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的学习有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯．

（六）布置作业

1．已知直线与圆心在原点的圆相切，求圆的方程．

【设计意图】通过直线与圆的位置关系，求圆的方程，帮助学生运用逆向思维来解决问题，同时达到掌握本节课知识的目的．

2．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域．已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 

【设计意图】通过实际问题的设计，可以让学生知道本节课的学习在实际生活中的应用，同时为后续的学习奠定一定的基础．

3．（选做题）已知直线和圆：，

（1）请你具体给出、的一组值，使直线和圆相切；

 （2）当直线与圆相离时，、应满足什么关系；

 （3）若，试判断直线和圆的位置关系．

【设计意图】通过设计开放性问题，可以调动学生学习的积极性，在掌握知识的同时可以培养学生学习的能力，实现由知识向能力的转化．设计必做题和选做题，体现了分层教学，同时对学有余力的同学留出自由发展的空间．

《直线与圆的位置关系》教学设计点评

直线与圆的位置关系是新课标教材解析几何中的一节相对比较传统的课，但本节课对加深学生对解析思想方法的认识以及后续选修部分圆锥曲线的学习起到承上启下的作用，因此本节课是本章的重点内容之一。

本节课的教学活动体现了以问题为主线，以探索为主调，以发展为目的的设计理念，本课主要有以下几个特色。

重点难点定位准确，措施合理有效。直线与圆的位置关系是学生在初中平面几何中已经学过的内容，高中的学习主要突出研究方法上的区别，即坐标法。本节课通过让学生自主探究、小组合作学习等方式，让学生经历将几何问题代数化，再将代数运算的结果翻译成几何结论的过程，进一步体会解析几何解决几何问题的三步曲，深化了对解析思想的认识。

遵循学生思维特点，问题设计新颖。在已掌握的直线方程、圆的方程基础上，通过学生由已知直线方程动手作直线，和已知圆的图形写出圆的方程，回忆和体会曲线与方程的关系。不仅为后续的内容提供了图形基础，而且通过图（三）引发学生的认知冲突，为引入“精确”判断的方法打下基础；通过思考3、思考4中的问题引发学生进行深层次的思考，以小组合作的方式让学生理解两种判断方法步骤的内涵；通过思考5让学生归纳解决问题的一般方法步骤，体现从特殊到一般的设计思路；通过问题3让学生从动态的角度体会有什么样的位置关系就对应怎样的代数结果，促进学生理解解析几何的基本思想，培养学生数形结合的数学思想。

注重联系，强调方法，培养整体意识。本课教学中注意知识的前后联系，类比两条直线相交的问题解决直线与圆的位置关系问题，强调通性通法，为后续研究圆锥曲线打下了良好的基础。

传统工具与信息技术有机结合。本课充分发挥了信息技术工具的作用，利用几何画板给学生创造了“数”与“形”结合的环境，有利于学生理解所学知识，同时也充分注重了传统教学手段的应用。

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