《平面与平面垂直的判定》课堂实录及教学设计

请关注阳光备课 2023-02-05

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今天分享1位名师的课堂实录，1国赛选手的教学设计及点评，请大家详细阅读，认真讨论，积极思考，相信你会产生自己的想法。

教无定法，开始！

研讨素材一

原文发表于《中学数学月刊》２０１６年第９期

作者简介：刘健，江苏沛县人，１９８４年７月毕业于苏州大学数学系，先后在沛县张寨中学、沛县中学、沛县教研室工作．２００７年至今先后被授于市优秀教育工作者，江苏省高中数学课程教材改革实验先进个人，市名教师等称号，获市五一劳动奖章，江苏省中学数学优秀教学设计一等奖．２０１４年被评为中小学正高级（教授级）教师．主持并完成国家级、省级课题各一项．近几年在省级以上刊物发表文章二十余篇，其中多篇论文发表于国家级核心期刊或被中国人民大学书报资料中心全文刊载．

研讨素材二

2.3.2 平面与平面垂直的判定

山西省祁县中学校赵乾坤

【教学内容分析】本节课是高中数学人教A版必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”第三节“线、平面垂直的判定及其性质”第3课时。前两节分别学习了“线面垂直的判定”和“直线和平面所成角”。面面垂直是垂直关系中的重点，是“转化”思想的又一重要体现。平面与平面垂直需要“二面角”的概念，二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但是如何来度量二面角的大小是一个难点。根据“异面直线所成角”和“直线与平面所成角”的学习经验，自然想到用“平面化”的思想，进而给出二面角的平面角的概念。面面垂直是面面相交的特殊情况，生活中面面垂直的例子大量存在，引导学生观察、结合大量实例，再类比归纳平面与平面平行的判定定理的过程，自然地就获得了面面垂直的判定定理。

【学情分析】听课学生是我校高二年级340班，共有60名学生。这是一个高二理科班，班内不乏年级前十名的学生，基础相对扎实。在本节课之前，学生已经学习了人教A版必修1、3、4、5的全部课程。在必修2中从前面线面平行、面面平行、线面垂直等知识的学习过程中，已经把握了学习研究立体几何的一般方法——平面化，对线线、线面、面面间关系的转化也已经比较熟练，因此学习本节知识不会有太大困难。

【教学目标】

1、知识与技能

（1）理解二面角的有关概念；

（2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；

（3）熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化．

2、过程与方法：在观察物体模型直观感知、操作确认的基础上，通过对几个递进式问题的思考和探究获得对二面角的平面角及面面垂直的认识；

3、情感、态度与价值观：通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.

【教学重点】平面与平面垂直的判定定理及其应用。

【教学难点】

二面角的平面角概念。

【教学策略分析】本节课采用问题导学的方法，整节课提出6个简短而直击要害的问题，激发学习兴趣，调动学生思维。严格遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程展开知识内容。充分利用“观察”、“思考”、“探究”等，强调几何直觉，把空间观念的建立和空间想象能力的培养放到突出的位置。此外，教学中注重发展合情推理，降低证明要求，渗透公理化思想。

【教学过程】

情境激趣，问题导入；

空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.

观察教室的墙面和地面，相邻两个墙面，打开的门和墙面，翻开的书的两页纸，都能给我们两平面相交的直观感觉，但是所涉及的两个平面的相对位置又不尽相同。我们该如何来刻画两个相交平面的相对位置呢？

实际上，两个平面相交时，他们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定。

为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所称的角，如修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。

目标引领，自主学习；

问题1 在平面几何中“角”是怎样定义的？构成角的基本要素有几个？类比平面内“角”的定义，在空间立体几何中，我们可以如何定义二面角？用你自己的话说一说。

（让学生根据自己的想象，类比平面内角的定义写出自己的想法。然后收集学生的想法，展示、比较、梳理，看哪些更合理。）

问题2 我们已经掌握了空间中角的本质特征，它的定义是什么呢？

请同学们阅读教材第68页第一自然段，然后在练习本上默写出定义，再分别用图形语言和符号语言表示二面角。

难点突破，合作探究；

你能举出一些生活中二面角的图形例子吗？

问题3我们看到，各二面角的开口程度不同，我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些?如何度量二面角的大小呢？类比在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的研究方法，应该如何研究这个问题呢？写出你的研究方法.

（让学生思考、猜想，然后小组比较、交流，选择合理的方案，并引导解决“唯一性”等学生怀疑的问题。）

问题4 二面角的平面角的定义是什么？取值范围是什么？其中有哪些特殊角？类比两条直线互相垂直，如何定义两个平面互相垂直呢？请你阅读教材第68页二、三自然段，理解并记忆相关的知识。

二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

二面角的平面角必须满足：

①角的顶点在棱上；②角的两边分别在两个面内；

③角的边都要垂直于二面角的棱；

二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。

二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。

一、说明：（1）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为0°；当二面角的两个半平面展开合成一个平面时，规定二面角的大小为180°；

（2）二面角的范围：[ 0^o, 180^o ]．

平面角是直角的二面角叫做直二面角；

定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

（让学生举出一些生活中面面垂直的实例，并提醒学生定义本身就是判定两个平面互相垂直的一种方法即：找出并计算二面角的平面角等于。）

问题5 现在我们可以用二面角的大小判断两个平面是否垂直，但是操作性比较差，还能如何判定两个平面互相垂直呢？类比空间中线面垂直的研究思路，结合对下面实例的分析，提出你的猜想。

1.教室的相邻两个墙面都和教室地面垂直，两相邻墙面有什么共同特征？

2.打开的书本立在桌面上时，相邻页面和桌面垂直，页面有何共同特征？

3.教室的门面不论转动到什么位置都有门面垂直于地面，门面转动过程中保持了哪一个特征呢？

4．建筑工人如何检测所砌的墙面和地面是否垂直呢？

【设计意图】引导学生观察、联系、发现问题中面面垂直的共同特征即：其中一个平面过另外一个平面的一条垂线。再类比归纳平面与平面平行的判定定理的过程，从而大胆提出猜想：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【课堂小结】

1.概念

² 二面角

² 二面角的平面角

² 两个平面互相垂直

2.平面与平面垂直的判定方法

² 定义法

² 平面与平面垂直的判定定理

3.数学思想方法

（1）类比法

² 类比平面内角的概念定义二面角

² 类比两直线垂直定义两平面垂直

² 类比面面平行判定定理归纳过程归纳面面垂直判定定理

（2）转化思想

² “面面垂直”转化为“线面垂直”

² “空间问题”转化为“平面问题”

【板书设计】

“平面与平面垂直的判定”点评

本节课教师利用教室现有实物，如教室门和墙面、墙面和地面、等做教具，让学生认识和理解判断平面和平面垂直的理由和条件。学生在应用观察、猜想等手段探索研究判定定理时，能获得视觉上的愉悦，增强探求的好奇心。学生经过思维活动，从中找出一类事物的本质属性，最后通过概括得出新的数学概念。创设的问题情景有效，能遵循认识规律，从感性到理性，从具体到抽象。

本节课的设计符合新课程立几中“直观感知——操作确认——思辩论证”的教学理念。整体设计中规中矩，自然流畅。教师对问题、例题的设计都别具匠心，考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫和引导，既巩固已有知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生的主体地位。

本节课蕴涵着化归思想，设计中注重对学生进行思想方法的训练，渗透了联系与转化的思想，使学生学会思考、掌握方法，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。

课件