名师课堂 | 《空间向量的数乘运算》教学设计

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     今天分享三位名师的课堂设计（或实录），请大家详细阅读，认真讨论，积极思考，相信你会产生自己的想法。

     教无定法，开始！

研讨素材一

原文发表于《中学数学教学参考》2016第6期

研讨素材二

原文发表于《中学教研》2017第8期

研讨素材三

一、          教学内容解析

向量是一种重要的数学工具，是沟通代数（数）和几何（形）的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.

对实数的研究经验告诉我们：只要引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种新的运算，就要研究相应的运算律.空间向量的数量积运算，是人教社A版数学《选修2-1》中继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.

高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。

二、教学目标设置

根据《数学课程标准》总体设计思路，结合本章内容的教学构思和学情，制定教学目标如下：

1.通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算.

2.经历例1、2的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间中线线、线面垂直问题.

3.在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力.

三、学生学情分析

学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了“空间任意两个向量都是共面的”；在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提.即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值.

空间向量的投影以及数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫引导，逐个突破.

数量积在解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直等问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键.

基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：

重点：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，在运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值.

难点：理解空间向量的投影以及数量积的分配律；用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题；深刻体会“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！”.

四、教学策略分析

 王家瑾教授提出的师生课堂互动模型，对教学的启示是在教学中教师、学生和教学内容之间必须建立联系，形成互动，达成协调，才能共同达到最佳状态，取得满意的教学效果。教师在教学中要加强与学生的互动，以自己的积极性调动学生的积极性，让学生乐学、好学，乐探索，好表达；再让学生的积极状态感染自己，促进自己理解学生，调整教学思路，提高教学水平以及责任心和荣誉感。

 “学习金字塔”模型是师生课堂互动模型的一种有效补充。它很好地回答了应采用何种教学手段达到教师、学生和教学内容之间更好的联系、互动与协调，并对各种手段给出了一定的量化标准，更有利于教师对教学结果的控制。

在这两个模型引领下，强调以学定教。教学过程中，充分发挥学生主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式. 通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生“动起来”，让课堂“活起来”.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题赏析中，注重引导学生建立“已知”与“待求”间的“关联”.借助向量工具适时转化难点，设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想.通过课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领的辐射作用.

五、教学过程

1．教学主线

为了实现教学目标，本节课设置了一明一暗两条教学主线：按教学环节推进设置了“问题引入，提出概念；合作探究，辨析概念；应用概念，感悟“运算”   ；归纳总结，作业巩固”四个板块，按知识能力方法的获得进程设置了“做类比、抓本质、悟方法、会应用”四个层次.

2.过程实录

2.1问题引入，提出概念

G20峰会向世界展示了杭州的无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻！设计、制造这些宏伟的建筑、精美的造型，都会遇到许多立体几何问题，比如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直？构成建筑的部件长度多少？彼此成多少角度比较合适等等。怎么样才能解决这些问题呢，必须要有强大的数学工具！

问题1:在所学的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题？

问题2:在《必修4》中已经学习了平面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用。我们还学习了空间向量的加减法、数乘运算，那么空间向量中，怎么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题？

追问：空间向量有数量积吗？为什么？是怎么样的？

【设计意图】空间向量的数量积运算不是凭空产生的，引导学生在与平面向量的类比中，体验空间向量数量积运算存在的必然性，从而自然地引出学习内容.同时，激活学生已有学习经历和知识储备，在例证中发现本质：任意两个空间向量都是共面的，所以任意两个空间向量的数量积，本质上就是平面向量的数量积.

2.2合作探究，辨析概念

2.2.1小组合作，自主探究

问题3：请同学们四人1小组，借助小组的力量，对照表格中的信息，结合桌上的学习任务单，一起探究：空间向量的数量积到底是怎么样的？

【设计意图】类比平面向量的数量积，暗示学生从定义、几何意义、运算律等方面学习空间向量的数量积，为学生自主探究空间向量的数量积运算提供方向选择.

分组：4人小组，确定1名组长.组长负责组织讨论，记录、汇报讨论结果.

   引导：呈现研究平面向量数量积运算的几个维度，暗示学生探究的方向.

巡视、点拨：确认组长，对讨论过程中个别疑难处进行指导.

提醒：对照表格进行填写，梳理空间向量数量积运算的相关知识.

   【设计意图】  充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式，让学生“动起来”，让课堂“活起来”.

2.2.2 交流分享，辨析概念

倾听不同小组代表的回答，在与平面向量数量积类比过程中，逐步归纳出空间向量的数量积定义、几何意义、运算律，并猜想：两者完全一样！

在对话和碰撞中，逐步呈现“疑虑”：平面向量中的投影、分配律，在空间向量中仍然适用吗？（小组合作探究）

空间向量的投影

回顾平面向量中投影的概念及作法，重温两种作法：平移转化、直接作垂线，为后续研究提供类比基础。

问题4:类比平面向量投影的得到过程，在空间中一个向量在另一个向量上的投影，该怎么作呢？

【设计意图】学生通过类比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、论证后得到空间向量的投影概念及作法.在此过程中，进一步体会空间向量和平面向量的内在联系，领悟“空间任意两个向量都是共面的，空间向量的投影可以转化为平面向量的投影”，同时还学会了空间向量投影的直观作法，体悟了数形结合的思想.

空间向量数量积运算的分配律

由于空间任意两个向量都是共面的，所以空间两个向量的数量积运算就是平面向量的数量积运算。因此平面向量数量积的许多运算律都适用于空间向量的数量积运算.但是注意到： 

问题5：这三个向量一定共面吗？如果不是，这条运算律还成立吗？

【设计意图】引导学生学会观察分析，能利用数学直觉和逻辑推理，从数量积定义和投影概念出发，对分配律是否成立进行论证.

追问：同学们能否借助投影来证明分配律？

【设计意图】  学生在理解了“空间向量的投影”的概念之后，对投影的认识有进一步提升的需要.另外，从定义出发论证分配律也需要借助投影来实现.类比平面向量，以几何体为背景的空间向量图示，能直观呈现空间位置和向量投影，达到“此时无声胜有声”的奇效，是本节课的一处亮点.

书本90页思考题辨析

问题6：在理清了空间向量数量积的运算律之后，请同学辨析一下书本90页思考题中的三个问题.

【设计意图】通过回答表格的问题，学生进一步理解了空间向量数量积的概念及相关运算律，有效地完善了空间向量数量积运算的知识建构，为后续使用空间向量工具解决立体几何问题提供了运算支持.

3.应用概念，感悟“运算”

学习一个新的量，就要研究它的运算；研究完运算，就要研究相应的运算律；整个体系完善后，我们就要研究它的实际应用。

例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

【设计意图】  将文字叙述转译为数学语言表达是例1的难点，将几何问题转化为向量问题是又一个难点，解决问题的核心是数量积运算.因此设置如下步骤来突破难点：

第一步，用数学语言表示：  

第二步，构建“已知”与“求证”的关联，引导学生将问题转化为向量问题；

第三步，选择合适的向量表示，利用数量积运算计算证明；

第四步，根据计算结果解释几何结论（三垂线定理）

第五步，体验数量积运算的价值：数量积运算可以刻画空间线线垂直的位置关系

4.归纳总结，作业巩固

4.1知识、方法、思想

4.2学习感悟

没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！

4.3课后作业：

必做作业：书本92:  练习1；书本99: B组.第1题；

试证明三垂线定理的逆定理.   

选做作业：请查阅资料，尝试发现空间向量的其他知识，

进一步完善空间向量的认知体系.

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