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       今天分享两位国赛选手的教学设计及点评，请大家详细阅读，认真讨论，积极思考，相信你会产生自己的想法。

     教无定法，开始！

研讨素材一

“直线的倾斜角和斜率”教学设计

金华市艾青中学　阮彩香

一、内容和内容解析

内    容：直线倾斜角与斜率的概念，直线的斜率公式．

内容解析：本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用以坐标法研究直线及其几何性质的基础．本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想方法．本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用．

倾斜角是从几何的角度描述了直线倾斜程度．课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念．

斜率是从代数角度描述了直线倾斜程度．课本借助“坡度”引出直线斜率的概念．定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系．

直线可由两点来确定，就是说，任给直线上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2），那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式．

“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想．

教学重点：直线的倾斜角及斜率公式．

二、目标和目标解析

目   标：理解倾斜角的概念，明确确定直线的几何要素．理解斜率的定义和公式，经历几何问题代数化的过程，了解坐标法思想．

目标解析：

在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念，明确倾斜角的取值范围．

借助“坡度”概念引出斜率的概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识．

初步了解坐标平面内的图形的几何特征是如何进行量化和代数化的,了解“坐标法”．

三、教学问题诊断分析

两点确定一条直线是学生知道的，如何认识直角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素，对学生来说有点困难．所以在教学过程中可以引导学生发现两点确定的其实是直线上的一点及其方向，再通过对直线方向的正确描述的探讨，形成倾斜角的概念，明确一点和一角是确定直线的几何要素．

引入斜率的概念时，教学中可充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念．知道倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度．

探究已知两点求直线的斜率公式,这既是这节课的一个重点，又是后继内容（直线的方程）学习的一个要点．事实上，它揭示了同一直线上的点所具有的一般规律：过任意两点确定的倾斜角是相同的，为学生学习直线方程做了铺垫，同时说明为什么有了直线的倾斜角，还需要引入斜率这个概念的必要性．这一点学生在后继内容学习的过程中会慢慢地体会到．由倾斜角到斜率，再对斜率的坐标化，这正是解析法思想的所在．要注意的是要通过对在坐标系下的直线的四种位置及P1、P2两点位置顺序的讨论，渗透分类讨论的思想．

教学难点：

倾斜角概念的形成，斜率概念的理解．

四．教学条件支持

为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．

五．教学过程设计

1.开篇语

（1）活动设置

①如何在直角坐标系内画出我们学校从校门口到食堂的路线？

        图1

②线段AB的中垂线上的点M在运动的过程中什么量保持不变？

【设计意图】通过对如何确定图2和图3中的几何图形的方法探讨，使学生明确，在平面直角坐标系中，如果给定了点的坐标，多边形的形状和大小就唯一确定．就是说，如果有了点坐标，可以通过坐标的运算研究图形的几何性质；如果能找到动点在运动过程中规律，也即一个不变的等量关系式，就能寻找到用以表示曲线的代数式，然后我们就可以通过这个代数表达式研究图形的性质．通过活动，让学生初步体会坐标法思想．                                                               

（2）提升小结

引导性语言：这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法．用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的．解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期．课后请同学们阅读课本P111《笛卡儿与解析几何》，进一步了解解析几何．

2.课题引入

引导性语言：今天我们先从直线开始研究．根据坐标法思想，为了确定表示直线的代数表达式，先必须探索坐标系下直线的几何特征，即确定直线位置的几何要素，然后用代数的方法把几何要素表示出来．

【设计意图】使学生明确本课学习的内容．

3.探究新知

（1）倾斜角概念

问题1：如图4，在平面直角坐标系内，你认为直线l的位置由哪些条件确定？

【设计意图】引导学生复习学过的相关知识，寻找新内容的生长点．

预设的回答：两点确定一条直线．

师生活动：引导学生发现：两点确定一条直线，而这两点确定的其实是直线上的一点及其方向，明确过一点不能确定一条直线（如图5）．

问题2：在直角坐标系中，任何一条直线都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来表示这个倾斜程度呢？

【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念．

师生活动：引导学生把重点放在“如何描述直线倾斜程度”的问题上．启发学生可以用角来区别直线的位置．

问题3：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

【设计意图】让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．

问题4：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

【设计意图】使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，两者缺一不可．

（2）斜率概念

引导性语言：到现在为止，我们寻找到确定直线的几何要素是两点或一点一倾斜角，由这些几何要素还是不能确定一个等量关系，找到直线的代数表示，所以我们继续探索直线上的点在变的过程中有什么量是不变的．

问题5：确定了点P1和角α后，P2点位置的改变不会影响直线的位置，也即角α的大小不会改变，这种变化规律类似我们已学过的什么内容？

【设计意图】基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法．

预设的回答：相似三角形． 

师生活动：引导学生回忆起坡度问题，如图6、7、8所示，知道坡度(比)=．然后通过类比，把坡度这个同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来，引导学生发现如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”, 由此引出斜率概念．

问题6：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？可以用斜率表示直线的倾斜程度吗？

【设计意图】沟通数形关系，加深概念理解．明确斜率和倾斜角之间的关系，从而明确斜率是直线的倾斜程度的代数表示．

（3）斜率公式

引导性语言：有了斜率的概念，我们得到等式是k=tanα，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，但我们可以尝试探究tanα的值与直线上的点坐标之间联系．

问题7：两点确定一条直线，就是说，任给直线上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) （其中x1≠x2），那么这条直线唯一确定（如图9、10所示），进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系．那么这种联系是什么呢？

【设计意图】让学生自己探索发现直线的斜率的坐标表示公式．

师生活动：教师给出直线上两点的坐标，可以请两位同学到黑板上板演，其余同学在下面完成；学生根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式．师生共同评析，明确公式与P1 ，P2的顺序无关．

问题8：当直线与坐标轴平行或重合时（如图11、图12所示）,上述结论还成立吗?

【设计意图】通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x1≠x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关．

4.应用举例

例1 如图13，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

【设计意图】直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系．

师生活动：学生动笔计算出答案，教师引导学生

可以结合图形，直接分析得出倾斜角和斜率的关系．

变式（1）把题中的B点坐标改为(-4，2)，此时直线AB的

斜率和倾斜角分别什么？

（2）把B点坐标改为(3，1)，此时直线AB的斜率和倾斜角分别什么？

例2  在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线．          

设计意图：要求学生画图，体验数形结合的思想方法．熟练应用两点式斜率公式．

师生活动：引导学生根据已知条件分析解决方法，可以利用一点一角确定直线，也可以用两点确定直线．因为直线过原点，所以只要再找出另外一点直线就可以确定了．在推导斜率公式时，学生已经知道，斜率k的值与直线上的两点位置无关，因此，由已知直线的斜率画直线时，可以再找一个特殊点，比如可以使其横坐标等于1，给计算带来方便．

5.课堂练习

（1）课本P86练习1，2，3，4.

（2）①当m为何值时，经过两点A（-m，6），B（1，3m）的直线斜率是12？

②当m为何值时，经过两点A（m，2），B（-m，2m-1）的直线的倾斜角是450？

    （3）已知直线l上不同三点A（1，2），B（3，4），C(x，y)，试求kAB和kAC.．

6.课堂小结

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度，到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

【设计意图】培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括．

师生活动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角(形)和斜率(数)．利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式．在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想．强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法．

六、目标检测设计

1.课本P89习题3.1A组 1，2，3.

   2.实习作业http://baike.baidu.com/view/17601.htm，解析几何的发展．

“直线的倾斜角和斜率”教学点评

浙江省义乌中学　朱恒元

阮老师是一位数学教育的有心人，课堂教学不乏个性和灵气．下面我就本节课的设计思想、教材处理、目标确定等简单地作些点评．

1.引发学生“看个究竟”的冲动

如果说A版教科书里的章头图是一幅生动的写意画，那么它的开

篇语就是一首优美的散文诗．教师应如何指导学生去鉴赏和品味，怎样发挥它们的教学功能呢？阮老师的做法值得借鉴．在这里，她并没有照本宣科，而是让学生先后思考比较熟悉的问题，教师运用图片、图象等载体，从动与静、变与常等角度去初步体会坐标法思想．在有效开展思考活动的基础上，点到为止地简介解析几何的发展史，紧接着指出“从直线开始研究”，“让我们给直线插上方程的‘翅膀’吧”，要言不烦，直奔主题．阮老师选取了典型的、熟悉的素材，创设了解析几何的学习情境，使学生产生了对解析几何坐标法的亲切感，引发了学生“看个究竟”的冲动，提高了学生学习的热情和参与度．

2.放弃“我们研究过一次函数”的提法

不妨回顾一下大纲课本，它是先安排“一次函数的图象与直线的

方程”一小节，学习“直线的方程”与“方程的直线”，然后指出“为了建立直角坐标系中的直线方程，需要研究直线的倾斜角和斜率”，但教学实践表明学生对“直线的方程”与“方程的直线”的理解总是半生不熟、一知半解．事实上，函数图象与方程曲线两者之间虽然有联系但又有区别．另外，一次函数涉及直线的斜截式方程，按照A版教科书的编写体系，会有知识“超前”之嫌．基于以上考虑，阮老师对原教学设计进行了修改，放弃了“我们研究过一次函数”的提法，撇清了与“一次函数图象”的纠缠．这样处理后主题更加鲜明，“两点确定一条直线”，“一点和一个方向也可确定这条直线”，教学对象“直线”更为突出．

3.把握“我们在干什么”的探索线

“直线倾斜角和斜率”是解析几何的起始课．理解两个概念，掌握有关公式，体验化归过程，领会基本方法是本节课教学的“应知应会”．两点确定一条直线，一点和一个方向（倾斜角）也可确定这条直线（其实前者与后者是一致的），而点可用坐标表示，那我们就不禁要问：直线的倾斜角（形）与直线上点的坐标之间（数）究竟存在怎样的关系呢？这就是课堂教学“我们在干什么”的探索线．撩开这神秘的“面纱”，学生的学习就不会感到茫然．阮老师紧紧围绕这条“探索线”，精心设计了“8问”，层层深入，步步为营，最后顺利地达成了教学目标，也较好地体现了课堂教学的有效性．

4.攻克“怎么会想到它”的教学难点

倾斜角用“形”来描述直线倾斜程度，而斜率则用“数”来刻画直线倾斜程度，那么实际生活中又是如何来刻画楼梯或路面的倾斜程度（引入“生活场”）呢？用“坡度”（引入“图形场”）．此时此刻，怎样引导学生与“楼梯或路面的倾斜程度”进行类比？这就是教学的难点．当然，我们可以急功近利，直接点出“楼梯或路面的倾斜程度可用坡度来刻画，在平面直角坐标系中，我们可以类似地利用这种方法来刻画直线倾斜程度”，然后再用图片等进行辅助教学，但这样的知识生成毕竟是“冰冷”的．阮老师在教学中，先把已知直线与x轴的交点相对固定，另一点沿直线运动，就产生了“升高”和“前进”的印象，从而比较自然地联系到“坡度”（这是特殊情形）．后面，再把这个“固定”点也动起来，我们就很顺利地通过构造直角三角形作进一步分析（这是一般情形）．这样动态化进行处理，使知识的形成“鲜活”、自然起来了．这的确是课堂课教学的一大亮点．

5.深层挖掘课本例题的潜在功能

例1的教学功能是运用直线的斜率公式和根据斜率判断倾斜角的特征．阮老师对这个例题的功能挖掘得较深，她对相关问题加以必要的改造和适度的变式，通过“短、平、快”讲练，达到良好的教学效果；同时又借助几何画板等工具进行演示，让学生自己获得直线的斜率与倾斜角之间的一般关系，尤其是加深了对“倾斜角为90的直线斜率不存在”的理解．例2的编拟是A版教科书的一大亮点，通过“画直线”，加强数形结合，进一步理解直线的斜率公式（斜率的值与直线上点的位置无关），也为以后教学点斜式方程埋下伏笔．阮老师对例2的教学非常重视，可见她理解教科书很到位、准确．

6.充分发挥几何画板的辅助作用

通过对“直线束”运动变化的演示，倾斜角概念的引入和形成就变得亲切自然；观察“绕定点旋转”的直线倾斜角变化，它的取值范围则一目了然；借助几何画板直接度量直线的斜率，同时计算的值，使的发现不再困难．阮老师在教学中恰到好处地运用了几何画板这个平台，动态演示适时适量适当，加深了对变化规律的感性认识，也丰富了学生学习的感受和体验．

最后，我想谈两点教学思考：

1.本节课的核心概念是直线的斜率．在课程标准删去“两条直线的到角和夹角”内容与要求以后，直线倾斜角概念的地位有所下降．因此，要突出斜率概念教学的核心地位，避免倾斜角概念教学的拖泥带水．阮老师在教学中对这一点已经有所考虑，主次比较清晰，没有喧宾夺主．但我想在借助几何画板演示的基础上，最好能直接点出斜率=．这样处理，教学语言更为简练清晰，能让学生更好地理解概念的本质，也可为今后函数变化率的教学打下伏笔．

2.本节课当然要掌握直线倾斜角和斜率的概念，但它并不是让学生去读背有关的文字语言，而是要熟悉它们的符号语言，并理解倾斜角的取值范围、斜率的大小符号以及倾斜角和斜率之间的数量关系等．课堂小结时，让学生进行学习反思、心得交流，还共同编制结构框图、归纳知识体系，等等，固然都很重要，但最根本的还是要想方设法达到方法领会、技能提升、能力发展．古人云：授之以鱼，不如授之于渔．这个“渔”，这把金钥匙就是有关正切函数的“局部”图象（就斜率与倾斜角的关系而言）以及式子=（就斜率公式而言）．我们浙江全省统一在学完《必修4》以后学习《必修2》，因此对三角函数有关知识的出现完全不必“犹抱琵琶半遮面”．

“直线的倾斜角和斜率”教后设计

 金华市艾青中学　阮彩香

一、内容和内容解析

内容：直线倾斜角与斜率的概念，斜率公式。

内容解析：本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用坐标法研究直线性质的基础。本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

倾斜角从几何角度描述了直线的倾斜程度。课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出倾斜角概念。

斜率从代数角度描述了直线的倾斜程度。课本借助“坡度”引出斜率概念。定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系。

直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式。

“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

教学重点：斜率概念及公式。

二．目标和目标解析

目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，并能结合三角函数掌握它们之间的关系；掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析：

1．在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念。结合动画演示，明确倾斜角的取值范围。

2.借助坡度概念引出斜率概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识。

3.能根据斜率的概念，掌握倾斜角和斜率之间的关系，并能根据斜率的两个计算公式，求出直线的斜率。

4．初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的，了解“坐标法”。

三．教学问题诊断分析

1．两点确定一条直线是学生知道的。但如何认识直角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素，对学生来说有点困难。所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的直线之间的不同点，再类比实际生活中描述航线的实际例子，从而发现需要增加的量，以及如何描述这个量，最后形成倾斜角的概念。

2．引入斜率的概念时，教学中可充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。因为在这节课里学生是初步接触坐标法，所以应将重点放在引导学生体会如何从形转化到数的过程上，知道倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度。

3．在学习完倾斜角、斜率的概念及其关系后，再来探究已知两点求直线的斜率公式时，学生不会觉得困难。需要注意的是要通过对有坐标系决定的直线的四类位置及P1，P2两点位置顺序的讨论，渗透分类讨论的思想。

教学难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解。

四．教学条件支持

为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。

五．教学过程设计

（一）开篇语

引导性语言：在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。课后请同学们阅读课本P111《笛卡儿与解析几何》，进一步了解解析几何。

那么如何用代数的方法表示平面中其它简单图形？如与x平行或垂直的直线，开口向右或左的抛物线，圆等等。

设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。

（二）课题引入

引导性语言：我们先研究坐标平面内最简单的图形——直线。为此，我们先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。

设计意图：使学生明确本课学习的内容。

（三）探究新知

1．倾斜角概念

问题1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？

设计意图：明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。

师生活动：引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

问题2：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区别在哪里？

设计意图：引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

师生活动：引导学生把重点放在“如何描述直线倾斜程度”的问题上。启发学生发现可以用直线与x轴的夹角来描述直线的倾斜程度，促成概念的形成。师生共同给出倾斜角的概念。

问题4：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。

师生活动：学生思考作答，教师可借助多媒体课件的直观演示，让学生明确倾斜角的范围。

问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可。

师生活动：通过多媒体课件的演示，引导学生明确每条直线都有倾斜角，在已知一点和一个倾斜角的情况下，唯一确定一条直线。

2．斜率概念

引导性语言：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？

设计意图：告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。

问题6：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？

设计意图：基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

师生活动：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，教师适时给出游乐场里的水滑梯，大桥的引桥等教学情景。

问题7：（1）观察图4对应的几何图形（图5，6），我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？

（2）观察图7，坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？

设计意图：引导学生发现，坡的陡峭程度与升高量和前进量有关。

师生活动：学生观察图片并交流，教师参与讨论。

问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”。由此你认为除了倾斜角还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念。

师生活动：从实际图片中抽象出几何图形，然后观察升高量和前进量的变化引起坡度改变的过程。再引导学生得出坡度的计算方法，坡度（比）=。最后通过类比，引导学生把坡度这个同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来，从而引入“斜率”这一概念。

问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？

设计意图：沟通数形关系，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。

师生活动：引导学生发现斜率是倾斜角的正切值，因此结合函数图象（图8），学生总结出斜率与倾斜角之间的变化关系。引导学生发现不是所有直线都有斜率。

3．斜率公式

问题10：两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与斜率也就确定了，那么你能用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示该直线的斜率吗？

设计意图：让学生自己探索发现：两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与斜率也就确定了，说明直线的斜率可以用两点坐标来表示，只要找到倾斜角的正切值与坐标的关系。

师生活动：教师给出直线上两点的坐标，请两位同学到黑板上板演，其余同学在下面完成；学生根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式。师生共同评析。

问题11：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?

设计意图：通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x1≠x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关。

师生活动：总结两点式斜率计算公式：k=（x1≠x2）。

（四）应用举例

例1.如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

设计意图：直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。

师生活动：学生动笔计算出答案教师引导学生可以结合倾斜角和斜率的函数关系图，分析倾斜角和斜率的关系。

变式1.直线的斜率为k，倾斜角为α，若＜α＜，则k的范围（    ）

A.（-1，1） B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1] D. （-∞，-1]∪[1，+∞）

变式2.设直线的斜率为k，倾斜角为α，若-1<k<1，则α的取值范围是    （    ）

A．（-,）   B.    C.（0，）∪（，）D. 

设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。          

设计意图：要求学生画图，体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。

师生活动：引导学生根据已知条件分析解决方法，因为直线过原点，所以只要再找出另外一点直线就可以确定了。在推导斜率公式时，学生已经知道，斜率k的值与直线上的两点位置无关，因此，由已知直线的斜率画直线时，可以再找一个特殊点，比如可以使其横坐标等于1，给计算带来方便。

（五）课堂小结

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们间有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。

师生活动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。

六、目标检测设计

1．已知直线的倾斜角为α，若sinα=，求此直线的斜率。

2．已知直线y=xsinθ-1，求该直线倾斜角范围。

3．在x轴上有一点P与Q（2，）倾斜角为150o,求点P坐标。

4．求证：点A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在一条直线上。

设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。 

研讨素材二

直线的倾斜角和斜率教案

江西省萍乡中学   黄贤锋

1 教学内容分析

1.1教学内容

本节课讲的是北师大版必修二第二章的第一节第一课时的内容，主要学习直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的斜率公式.

1.2教材所处地位及前后的联系

本节内容是高中解析几何内容的重点，涉及的直线倾斜角，斜率是解析几何中的重要概念。这些概念的学习初步渗透了解析几何的基本思想和基本研究方法。本节内容的学习，为进一步学习圆锥曲线方程、导数等知识做好了铺垫；为最终通过解决代数问题来解决几何问题打下基础。

2教学目标

2.1知识目标

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

2.2能力目标

通过学习直线的倾斜角和斜率有关的概念，培养学生的数学理解能力；通过对斜率公式的推导，增强学生运用坐标法解决几何问题的能力；通过练习增强学生分类讨论的意识。

2.3情感、态度与价值观

学生通过主动探究，合作学习，相互交流，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，强化学生参与意识与主体作用.

3学情分析

3.1认识结构

经过半年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上.在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程.

3.2情感结构

随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思考问题、发现问题的能力.在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣.

4 教学重点、难点分析

4.1教学重点

直线的倾斜角和斜率的概念。

4.2教学难点

   斜率概念的理解和过两点的直线斜率计算公式的推导。

5教学方法

   本节课主要是教给学生“动手、动眼、动脑、动口”的研究式学习方法，增加学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体。

6 教学手段

   多媒体教学

7 教学过程

7.1创设情境 引入新课

带领学生欣赏李白《蜀道难》中的诗句“蜀道之难难于上青天”，“ 黄鹤之飞尚不得，猿猱欲度愁攀援。 ”并通过图片欣赏蜀道风光。

设计意图：通过耳熟能详的李白诗句，以及蜀道风光凸显蜀道的险峻，陡峭。为顺利引出道路（直线）的倾斜程度埋下伏笔。顺势引出本节内容“直线的倾斜角和斜率。”

7.2 创设问题 引入新知

   思考1平面内一条直线由哪些条件确定呢？

   学生解答

   老师追问：在数学中还有没有其他方式确定一条直线？

设计意图：激发学生的求知欲，为顺利引出问题2作铺垫。

问题1 在如图所示的平面直角坐标系中，画出满足下列条件的直线，并探究这样的直线有多少条。

(1).经过定点A，

(2)直线的向上方向与x轴正方向成30°

(3)经过定点A的直线，且直线的向上方向与x轴正方向成30°。

   学生解答

   设计意图：通过几个问题的比较得知两点确定一条直线，以及“一点一方向”确定一直线。接下来出现刻画直线“方向”的量倾斜角也就顺理成章了。

7.3 新课讲解

评黄贤锋老师《直线倾斜角和斜率》一课

江西萍乡中学   吴勇明

黄老师上的这节课是北师大版必修二第二章的概念课教学,是解析几何的重点,也是教学的难点.他深入钻研教材,精心准备,整堂课给人感觉非常舒服,水到渠成.概括起来有以下亮点:

1.教学设计独具匠心.

通过李白的名言及蜀道景致创设情境,激发学生的学习热情和求知欲;以问题为抓手带出对概念的学习,构建了新旧知识的交融,导入自然.

2.注重知识的生成.

采用研究与启发式的教学,让学生经历知识的发生、发展过程,感悟知识的本来面目;学生自始至终置身于教师为其创设的情境中,在思考,交流,倾听和发现中学习,体现”以生为本”的理念.

3.教学思路清晰,课堂结构严谨,教学目标达成意识强.

教学过程由浅入深,突出教学重点;对教学难点恰当分解,循序渐进,抓住了教学的关键;教师精讲精练,体现思维为重点,同时运用变式教学,拓宽了思维深度,训练了思维灵活性;教学的密度较为合理.

4.多媒体与板书的结合恰到好处.

充分发挥了多媒体的辅助功能,但对教学的重点和难点不吝板书,二者结合较为完美.

5.教师的基本功扎实.

    上课富有激情和感染力,教态亲切自然,语言简洁规范,板书工整,层次清楚,多媒体使用熟练、恰当.

美中不足的是由于录像的原因,学生没有完全放开.

总之,这节课符合教学内容和学生实际,是一堂精彩的数学课.

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