《直线与平面垂直的判定》教学设计

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今天分享两位国赛选手的教学设计及点评，请大家详细阅读，认真讨论，积极思考，相信你会产生自己的想法。

教无定法，开始！

研讨素材一

《直线与平面垂直的判定（一）》教学设计

河南省洛阳市外语实验高中　李玉玲

【教学目标】

知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生理解直线与平面垂直的定义和判定定理，并能对它们进行简单的应用；

过程与方法目标：通过对定义的总结和对判定定理的探究，不断提高学生的抽象概括和逻辑思维能力；

情感态度与价值观目标：通过学习，使学生在认识到数学源于生活的同时，体会到数学中的严谨细致之美，简洁朴实之美，和谐自然之美，从而使学生更加热爱数学，热爱生活．

【教学重点及难点】

教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．

教学难点：对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．

【教学方法】

教法：启发诱导式

学法：合作交流、动手试验

【教具准备】

计算机、多媒体课件、三角形卡纸

【教学过程】

一、直线与平面垂直定义的构建

1.联系生活——提出问题在复习了直线与平面的三种位置关系后，给出几幅现实生活中常见的图片，让学生思考其中旗杆与地面、竖直的墙角线与地面、大桥的桥柱与水面之间的位置关系属于这三种情况中的那一种，它们还给我们留下了什么印象？从而提出问题：什么是直线与平面垂直？

设计意图：使学生意识到直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况并引出本节课的课题．另外这样设计也吸引了学生的注意力，激发了学生的好奇心，使其主动参与到本节课的学习中来．

2.创设情境——分析感知播放动画，引导学生观察旗杆和它在地面上影子的位置关系，使其发现：旗杆所在直线与地面所在平面内经过点B的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线与平面内不经过点B的直线垂直吗？

设计意图：在具体的情境中，让学生去体会和感知直线与平面垂直的定义．

3.总结定义——形成概念由学生总结出直线与平面垂直的定义，即如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．引导学生用符号语言将它表示出来．然后提出问题：如果将定义中的“任意一条直线”改成“无数条直线”，结论还成立吗？

设计意图：让学生通过思考和操作(用三角板和笔在桌面上比试)，加深对定义的认识．

二、直线与平面垂直判定定理的构建

1.类比猜想——提出问题根据线面平行的判定定理进行类比，通过不断的猜想和分析，最终提出问题：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？

设计意图：不少老师都在本环节中进行了一些有益的尝试，但考虑到学生的认知水平，我仍然决定采用类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，进行分析．

2、动手试验——分析探究演示试验过程：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）．

问题一：同学们看，此时的折痕AD与桌面垂直吗？

又问：为什么说此时的折痕AD与桌面不垂直？

设计意图：让学生从另一个角度来理解直线与平面垂直的定义——只要直线与平面内有一条直线不垂直，那么直线就与平面不垂直．

问题二：如何翻折才能让折痕AD与桌面所在平面垂直呢？﹙学生分组试验﹚

设计意图：通过分组讨论增强数学学习氛围，让学生在交流中互相学习，共同进步．

问题三：通过试验，你能得到什么结论？在回答此问题时大部分学生都会直接给出结论：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．此时注意引导学生观察，直线AD还经过BD、CD的交点．请他们思考在增加了这个条件后，试验的结论更准确的说应该是什么？

又问：如果直线与平面内的两条相交直线、都垂直，但不经过它们的交点，

那么直线还与平面垂直吗？

设计意图：提高学生抽象概括的能力，同时也培养他们严谨细致的作风．

3.提炼定理——形成概念给出线面垂直的判定定理，请学生用符号语言把这个定理表示出来，并由此向学生指明，判定定理的实质就是通过线线垂直来证明线面垂直，它体现了降维这种重要的数学思想．

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号语言：，，，，．

三、初步应用——深化认识

1.例题剖析：

例1 已知：，．求证：．

分析过程：

②

证明：在平面内作两条相交直线，．

因为直线，

根据直线与平面垂直的定义知．

又因为∥

所以，．

又因为，，，是两条相交直线，

所以．

设计意图：不仅让学生学会使用判定定理，而且要让他们掌握分析此类问题的方法和步骤．

本题也可以使用直线与平面垂直的定义来证明，这可以让学生在课下完成．

另外，例1向我们透漏了一个非常重要的信息，这里可以请学生用文字语言将例1表示出来——如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．

２.随堂练习

练习1 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC．

求证：VB⊥AC．

证明：取AC中点为K，连接VK、BK，

∵　在△VAC中，VA=VC，且K是AC中点，

　∴　VK⊥AC．

同理　BK⊥AC．

又　VK平面VKB，BK平面VKB ，VK∩BK=K，

∴　AC⊥平面VKB．

∵　VB平面VKB，

∴　VB ⊥ AC．

设计意图：用展台展示部分学生的答案，督促学生规范化做题．

变式引申如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中点．若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断直线EF与平面VKB的位置关系．

解：直线EF与平面VKB互相垂直．

∵　在△VAC中，VA=VC，且K是AC中点，

∴　VK⊥AC．

同理　BK⊥AC．

又VK平面VKB，BK平面VKB ，VK∩BK=K，

∴　AC ⊥平面VKB．

又　E、F分别是AB、BC的中点，

∴　EF∥AC

∴　EF⊥平面VKB．

设计意图：在定义和判定定理之外，例１又给出了第三种证明直线与平面垂直的方法，构造这道变式引申题的目的就是让学生在用中将其内化．

练习2 如图，PA垂直圆O所在平面，AC是圆O的直径，B是圆周上一点，问三棱锥P-ABC中有几个直角三角形?

解：在三棱锥P-ABC中有四个直角三角形，分别是：△ABC、△PAB、△PAC和△PBC．

设计意图：通过练习1和练习2培养学生熟练地进行线线垂直和线面垂直之间的转化，从而使他们能够对定义和判定定理进行灵活应用．

四、总结回顾——提升认识

五、布置作业——巩固认识

Ø 必做题：习题2．3 B组2，4．

Ø 选做题：如图SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F．

求证:AF⊥SC．

Ø 探究题：课本66页的探究题．

《直线与平面垂直的判定（一）》教学设计说明

一、教材分析

直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况．它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备．因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容．

本节课主要研究了直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用，并在此过程中渗透了类比、猜想、归纳等方法，让学生从中体会将空间问题转化为平面问题，将无限转化为有限，将线面垂直转化为线线垂直的化归思想．

二、教学目标分析

根据新课标的教学要求和学生的认知水平，确定如下的教学目标：

在知识与技能方面：通过本节课的学习，使学生理解直线与平面垂直的定义和判定定理，并能对它们进行简单的应用；

在过程与方法方面：通过对定义总结和对判定定理的探究，不断提高学生的抽象概括和逻辑思维能力；

在情感态度与价值观方面：通过学习，使学生在认识到数学源于生活的同时，体会到数学中的严谨细致之美，简洁朴实之美，和谐自然之美，从而使学生更加热爱数学，热爱生活．

三、教学问题诊断及相应教学策略分析

1.学生对直线与平面垂直的现象是很容易有“感觉”的，但是如果你要问他们什么是直线与平面垂直，他们却往往不知道怎么回答．所以如何让学生对线面垂直的认识由感性上升到理性是本节课的一个教学难点．这里我没有直接告诉学生定义的内容，而是把它放到了具体的情境中让学生自己去感受和体会．按说定义是不需要这样的分析和探究的，但是通过对旗杆和它在地面内影子的位置关系的观察，通过对旗杆所在直线和地面所在平面内不经过点B﹙点B是直线和平面的交点﹚的直线的位置关系的思考，让学生亲自参与定义的构建，就使原本干巴巴的定义在学生心中变得具体生动，有血有肉．再通过对定义中的“任意一条直线”能否换成“无数条直线”问题的探讨，使学生对定义的认识经一步深化．考虑到学生的空间想象能力和语言表达能力的参差不齐，这里可以根据学生在课堂上的反应进行适当的启发引导，也对到讲台上进行演示讲解同学的答案进行补充和完善．

2.虽然在新课程中对判定定理是通过试验确认并不需要严格证明的，但如何将线面垂直转化成线线垂直，如何提出“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面是否垂直的问题”是本节课的另一个教学难点．不少老师在这里都进行了有益的尝试．但是考虑到学生的认知水平，我并没有采取通过引导观察现实生活中的实例，进行猜想，从而提出问题的方法．因为一百个人心中就有一百个哈姆雷特，不同的人看同一幅图的感受可能是千差万别的，采用这种方法可能更多的时候是老师在进行引导，对学生认知的帮助不大．所以这里我仍然采用了类比猜想的方法，从学生已有的知识出发，通过合情推理最终提出上面的问题．然后通过试验探究总结出线面垂直的判定定理．其实通过试验并不能直接得出直线与平面垂直的判定定理，这里我会引导学生对“如果直线与平面内的两条相交直线、都垂直，但不经过它们的交点，那么直线还与平面垂直吗？”这个问题进行探究．一方面是因为这个问题难度并不大，与新课程中的降低判定定理部分的难度并不违背，另一方面通过对这个问题的研究也培养了学生严谨细致的作风，提高了学生的抽象概括能力和逻辑思维能力．

3.在直线与平面垂直的判定这部分的题目中往往要进行多次线面垂直和线线垂直之间的转化而且有时还需要添加辅助线，而这些都是学生感觉比较棘手的问题．所以本节课中我会对例1进行透彻的分析，从而让学生掌握分析此类问题的方法和步骤，然后通过几道有梯度的练习题让学生逐步对定义和判定定理能够进行灵活运用，并不断增强学生的空间感．

四、教学方法分析

法无定法，本节并没有简单的只使用某一种教学方法，而是根据学生情况和教材特点同时进行了多方面的尝试．在定义的构建中通过创设情景，使学生对定义的总结水到渠成．在判定定理的构建中，通过小组合作增强了数学学习的氛围，也使学生在交流中互相学习共同进步．对直线与平面垂直的画法这样会用就行的问题直接传授，而对折纸试验中提出的问题却给学生留出充足的时间进行讨论，并根据情况进行适时的启发引导．总之一句话，所有的教学活动都要以学生的可持续发展为根本出发点，以学生在知识、能力和情感的提高和进步为根本出发点．

研讨素材二

“直线与平面垂直的定义与判定”教学设计

浙江省金华第一中学　孔小明

一、内容和内容解析

本节课的主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用.课本（“人教A版”必修2，下同）通过让学生观察旗杆与它在地面上影子的位置关系引出直线与平面垂直的概念，并通过折纸试验让学生操作并确认直线与平面垂直的判定定理.定理把定义中要求的与平面内“任意”一条（无限）直线垂直转化为与平面内“两条”（有限）相交直线垂直，使直线与平面垂直的判定具有可操作性.课本中的例1给出了判定直线与平面的一个间接方法：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直与这个平面.

直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.

通过该内容的学习，进一步培养和发展学生的几何直观能力、合情推理与逻辑推理能力以及运用图形语言进行交流的能力，体验和领悟转化的数学思想，即“空间问题转化平面问题”“无限问题转化为有限问题”“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”等.

教学重点：抽象概括直线与平面垂直的定义，操作确认直线与平面垂直的判定定理.

教学难点：操作确认直线与平面垂直的判定定理及其初步应用.

二、目标和目标解析

目标：理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理.

目标解析：

1.利用已有知识与生活经验，抽象概括出直线与平面垂直的定义；

2.通过概括、辨析与应用，正确理解直线与平面垂直的定义；

3.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；

4.能运用直线与平面垂直的判定定理，证明和直线与平面垂直有关的简单命题.

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了两条直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.

在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，学生对“为什么要且只要两条相交直线”的理解有一定的困难，因为定义中的“任意一条直线”是指“所有直线”，这种用“有限”代替 “无限”的过程会导致学生形成理解上的思维障碍.同时，在运用直线与平面垂直的判定定理时，有些学生不知如何选择已知平面内的两条相交直线，从而导致证明过程中无从着手或发生错误.

四、教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，教师准备：多媒体课件（以PowerPoint为平台）、三角板、大三角形纸片等教具.学生自备：三角形纸片（任意形状）、笔（表直线）、课本（表平面）等学具.

五、教学过程设计

（一）直观感知直线与平面垂直的位置关系

在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行我们已经系统研究过了，接下来要研究直线与平面相交的情形.

问题1 请举出日常生活中具有直线与平面相交的例子，你见到最多的直线与平面相交的情形是什么？

意图：基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象，由此引出课题.

师生活动：学生举例，通过比较，引导学生先研究直线与平面垂直的情形，教师根据学生举例的情况适当补充，如旗杆与地面、跨栏的支架与地面的位置关系等.

问题2 在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？

意图：基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系.

师生活动：学生举例，如长方体的侧棱与底面，圆柱、锥的轴与底面的位置关系等.

问题3 你觉得画怎样的直观图最能反映你心目中的直线与平面垂直的情形？

意图：给出直观图的画法，有利于揭示问题的本质，有利于进行几何的抽象概括.

师生活动：学生画图，师生共同分析画法.

画法：如图1，通常把直线l画成与表示平面α的平行四边形的一边垂直

（二）抽象概括直线与平面垂直的定义

作为一种常见的特殊位置关系，我们首先要给它下定义，如何定义一条直线与一个平面垂直呢？从构成要素的角度看容易想到已研究的直线与平面平行的位置关系.

问题4 （1）你能回忆一下直线与平面平行的研究思路吗？

（2）类似的我们又如何研究一条直线与一个平面垂直呢？

意图：引导学生用“降维”的思想来思考问题，通过考察直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形.

师生活动：学生回忆直线与平面平行的研究思路，考察该直线与平面内直线的位置关系（图2），教师适时给出“旗杆与变动的影子的关系”的情景来启发学生.

问题5 如图3，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC

（1）它们的位置关系是怎样的？

（2）随着太阳的移动，它们的位置关系会发生改变吗?

（3）AB与地面上任意一条不是影子（不过旗杆底部B）的直线B′C′的位置关系又是什么？由此得到什么结论？

意图：第（1）（2）问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问旨在引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，从中概括出：一条直线与一个平面垂直，那么该直线与此平面内的任意一条直线都垂直.

师生活动：学生思考、分析与说理，教师可利用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子的移动过程.得出结论后引导学生思考：能否用一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，来定义直线与平面垂直.

问题6 若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你能断定该直线与此平面垂直吗？

意图：通过观察、思考与讨论，让学生感悟：一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，这条直线就与该平面垂直. 并让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义.

师生活动：引导学生继续操作、观察，如图4，当的平面外直线AB（用一支笔表示）与平面（用桌面表示）不垂直时，平面内就有直线BC（可用另一支笔表示）与平面外的这条直线不垂直.接着引导学生给出定义，教师给出严格定义及其相关概念.

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.

辨析1：命题“如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直”是否正确？为什么？

意图：使学生明确平面中直线的“任意性”.

师生活动：引导学生用笔表示直线，用书本表示平面来举出反例，教师可结合图5说明.

（三）操作确认直线与平面垂直的判定定理

通常定义可以作为判定的依据.

问题7 如图6，标准的跨栏，其支架必须竖直立于地面（即支架所在直线与地面所在平面垂直），如何进行检验？

　　意图：引发学生认知冲突，激发探索判定定理的需要，将平面内直线条数从无限条转化为有限条.

师生活动：先让学生思考用定义判断不方便的原因，再讨论平面内直线减少到多少条才合适，排除一条和两条平行的情形，针对两条相交情形，引导学生进行折纸活动.

实验：请你拿出准备好的三角形的纸片，我们一起来做一个试验：如图7，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）

　　问题8 （1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？

意图：通过折纸活动让学生发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直（如图8）.

师生活动：让学生沿A点进行各种翻折，并充分观察、思考与讨论，教师参与活动.

问题9当折痕AD与BC不垂直时，绕AD无论怎样翻折，翻折后AD始终与桌面所在平面α不垂直吗？为什么？

意图：回归定义分析，明确判定一条直线与一个平面不垂直，只要该直线与平面内的一条直线不垂直.

师生活动：学生继续观察并说理，如图9，当AD与BC不垂直时，翻折后AD始终与桌面内的直线BD（或DC）不垂直.

问题10当折痕AD⊥BC时，绕AD无论怎样翻折，

（1）翻折之后AD始终与桌面所在平面α垂直吗？

（2）翻折之后的垂直关系即AD⊥BD，AD⊥CD是否发生变化？由此得到什么结论？

意图：问题（1）旨在让学生继续操作并确认AD始终与桌面所在平面α垂直的事实，问题（2）意在引导学生发现：当AD垂直于平面α内过D的任意两条相交直线时，AD就垂直于平面α.

师生活动：引导学生继续操作观察，进行合情推理并获得结论.

问题11 AD⊥BD，AD⊥CD，就有AD⊥α.它与直线与平面垂直的定义相符合吗？

意图：建立了定义与判定之间的联系，有助于学生发现判定的本质，也有助于深化学生对定义的理解.

师生活动：学生解释说明，如图10，当AD⊥BC时，固定BD，保持DC紧贴桌面，让折纸的CAD部分挠着AD旋转，旋转过程中发现AD始终与平面α垂直（直观感知），同时AD与平面α内任意一条过点D的直线都垂直，因此AD与平面α内任意一条直线都垂直.

问题12 根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？

意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理.

师生活动：学生叙述判定定理，教师可追问：上述平面中两条相交直线与平面外的这条直线是否一定要有公共点？以明确平面内两相交直线的任意性，接着指出前面的验证过程并非定理的严格证明，在后续学习中将借助空间向量的方法来证明，再引导学生给出文字、图形、符号这三种语言表示，明确定理中的五个条件.

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.（如图11）

用符号语言表示为：

辨析2：命题“如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面”是否正确？为什么？

意图：强化平面中两条“相交”直线的条件.

师生活动：学生思考作答，教师强调“相交”条件. 接着让学生给出检验跨栏的支架是否竖直立于地面的办法：只要与地面上两相交横杆垂直.

（四）初步应用

例1：如图12，在正方体AC′中，下列结论是否正确，为什么？

①AD⊥面D C C′D′②BD⊥面D C C′D′③AD⊥C D′

意图：利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用.其中①是判定定理的应用，②是定义的应用，③是判定定理与定义的综合应用.

师生活动：学生思考作答，教师参与讨论.

例2：如图13，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.

意图：能分别用判定定理与定义解决问题，会用证明问题的一般思维策略：由已知想可知（性质），由未知想需知（判定），合理选择辅助线.

师生活动：由学生分析思路并口述证明过程，师生共同评析，接着引导学生阅读课本，注意证明题书写的规范性，并用文字语言叙述：两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.

练习：如图14,在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC，求证：VB⊥AC. (课本P67 练习1)

意图：进一步领会问题解决的一般思维策略，合理选择辅助平面，体会转化思想在解决问题中的作用.

师生活动：学生板演练习，师生共同评析.

（五）总结反思

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？

（3）你还有什么收获与感想？

意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括.

六、目标检测设计

1.如图14，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证：PO⊥平面ABCD.

2.课本P74 练习1

3.课本P73 探究题：如图15，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时， A′C⊥B′D′？

意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力.其中第1题主要运用直线与平面垂直的判定定理，第2、3题是活用直线与平面垂直的定义与判定定理.

设计说明：

高中新课标强调立体几何教学中用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法认识和探索几何图形及其性质.本节课是在该要求的指导下，借助学生已有的研究经验，按照感知实例—归纳定义—确认判定—初步应用的研究主线展开.

直线与平面垂直是日常生活中常见的特殊线面位置关系，教学中通过引导学生举例，有助于学生直观感知直线与平面垂直的形象，通过在空间几何体的直观图中寻找线面垂直的位置关系，有助于从中抽象出线面垂直的直观图形，培养学生的几何直观能力.

直观感知后给线面垂直下定义是自然的事，为了帮助学生理解定义中的“任意一条”，本部分设计以概念的形成方式进行，教学中首先类比“直线与平面平行”的研究思路，引导学生运用“降维”转化的方法思考问题，考察直线与平面内直线的位置关系，再通过分析旗杆与影子的位置关系这种学生熟悉的生活实例，让学生通过观察、实验、归纳、猜想等思维活动逐步概括得出线面垂直的定义，使定义教学自然、合理、准确，有助于学生对线面垂直本质的理解，也有助于提高学生的抽象概括能力.

对判定定理的教学，课标不要求在必修课程中进行证明，而强调操作确认并归纳出判定定理.但是怎样操作才能归纳出判定定理？确认到什么程度，才能在不对定理进行证明的情况下，不降低学生的思维水平，不仅体现合情推理，而且体现逻辑推理？本设计充分利用教材中折纸试验的素材，通过一系列问题的引导，给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中.同时让学生在操作过程中进行解释与说理，挖掘折纸试验所反映的数学本质，建立判定与定义的有效联系，体现了操作确认过程中的逻辑推理成份，达到合情推理与逻辑推理并重的效果.另外，通过定理的探索过程，也培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力.

例、习题的选择充分考虑知识应用的层次性，从让学生理解、记忆定义与判定及简单应用到灵活应用判定和定义进行线线、线面位置关系的转化等，巩固所学知识，体会蕴含的转化数学思想，丰富证明问题的思考策略.

“直线与平面垂直的判定”评课稿

金华市教育局教研室　张曜光

进入新课程实验教学以来，由于新课程带来了教育性质及课程的结构、功能、评价、管理等诸方面的转变，给我们的实际教学带来了一些冲突，特别是感到课程→教材→课堂→学生之间有落差，原有经验与“课标”和教材编写意图有距离．我们认为理想的教学，还是应该追求教学内容与数学课程目标一致.

“直线与平面垂直的判定”是传统内容，但在教学要求、认知要求上发生了变化——通过直观感知、操作确认的方式认知判定定理．如何通过恰当的教学设计，组织学生的认知活动，在“直观感知、操作确认”中不降低学生的思维水平，不仅体现合情推理，而且体现逻辑推理，就是一个非常值得研究的问题．

孔老师上的这节课，遵循课程目标的要求用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法认识和探索几何图形及其性质.按照感知实例—归纳定义—确认判定—初步应用的研究主线展开. 以教导学，以好的问题引导教学，注重概念发生发展的过程，学生在教学中不仅亲历了这个过程，而且在这个过程中有高质量的数学思维．面对学生的思维老师给予及时的评价．

1.课题的引入

良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环．在概念的系统中教学概念，建立起概念之间的联系，使学生建构一个可以把该概念置于其中的框架．孔老师注意到知识之间的联系性．“通过对已学知识的追忆，寻找新知识学习的‘固着点’”，把当前要学习的知识与之前所学习的知识联系起来，放置在一个较大系统中认识，由远及近，由宏观到微观，使同学们“见木见林”，感受知识的来龙去脉．孔老师的引入简洁明了，线面关系可能的三种情形由图形直观给出，我们前面已经了解了线在面内和线面平行两种情形，今天接下去当然就要研究线面相交的情形，再通过感知线面垂直的实例，导向研究线面相交的特殊情形——线面垂直，这就给学生一个学习概念的导游图．也让学生感受到为什么要学习这个概念，引起学习的必要性，引起学习的兴趣．

孔老师注意到直线与平面垂直是日常生活中常见的特殊线面位置关系，在教学中通过引导学生举例，帮助学生直观感知直线与平面垂直的形象，通过在空间几何体的直观图中寻找线面垂直的位置关系，帮助学生从中抽象出线面垂直的直观图形，培养学生的几何直观能力.

2.直线与平面垂直概念形成的过程

孔老师对直线与平面垂直概念形成的过程的处理，首先在思想方法上加以引导．回顾“线面平行”位置关系研究中曾将“线面平行”关系转化为“线线平行”，体现了“平面化”和“降维”的思想，并指出“要研究直线与平面垂直，也可以转化为直线与平面内的直线垂直的问题．”然后由教师展示图片，有意识地举出旗杆与影子的位置关系这种学生熟悉的直线与平面垂直的实际事例，并引导学生关注此刻平面内任意一条直线是否与该直线也垂直．让学生通过观察、实验、归纳、猜想等思维活动逐步概括得出线面垂直的定义，使定义教学自然、合理、准确.有助于学生对线面垂直本质的理解，也有助于提高学生的抽象概括能力.

3.直线与平面垂直的判定定理的教学

对判定定理的教学，课标不要求在必修课程中进行证明，而强调操作确认并归纳出判定定理.但是怎样操作才能归纳出判定定理？确认到什么程度，才能在不对定理进行证明的情况下，不降低学生的思维水平，不仅体现合情推理，而且体现逻辑推理？

孔老师在定义形成之后，辨析“任意一条”与“无数条”问题．然后通过问题“标准的跨栏，其支架必须竖直立于地面，如何进行检验？”引入一条直线与平面垂直需要怎样的两条，这样就为判定定理的引出做了很好的铺垫．

在教学中孔老师充分利用教材中折纸试验的素材，设置了环环相扣的五个问题．

第一个问题：在折纸试验中，折痕AD是一开始是随意的，AD可以和BC边垂直，也可以不垂直，通过活动让学生发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直．

第二个问题：通过折纸试验的一个现象：当折痕AD与BC不垂直时，绕AD无论怎样翻折，翻折后AD始终与桌面所在平面α不垂直．引进思辨，让学生回归定义分析，明确判定一条直线与一个平面不垂直，只要该直线与平面内的一条直线不垂直．

第三个问题：折纸试验转向观察当折痕AD⊥BC时，折纸绕AD的翻折，引导学生先观察翻折之后AD始终与桌面所在平面α垂直吗？让学生操作确认AD始终与桌面所在平面α垂直的事实；然后观察翻折之后的垂直关系即AD⊥BD，AD⊥CD是否发生变化？由此得到什么结论？引导学生发现AD垂直平面α的条件.合情推理出：当AD垂直于平面α内过D的两条相交直线时，AD就垂直于平面α．

第四个问题： AD⊥BD，AD⊥CD，就有AD⊥α.它与直线与平面垂直的定义相符合吗？问题转入比较深入的数学思辨，我们现在虽然不要求对判定定理进行证明，但有了这个高质量数学思辨问题，就在逻辑上保证了判定定理存在的合理性．避免学生问：判定定理不要证明，哪为什么不把判定定理就作为定义呢？

第五个问题：根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？在这里是让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．这样就给学生提供了抽象概括的机会，引导学生给出文字、图形、符号这三种语言表示，明确定理中的五个条件．

这样的五个问题，对学生的动手操作进行了有效的引导，学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中.同时让学生在操作过程中进行解释与说理，挖掘折纸试验所反映的数学本质，建立判定与定义的有效联系，体现了操作确认过程中的逻辑推理成份，达到合情推理与逻辑推理并重的效果．另外，通过定理的探索过程，也培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力.

4.例题练习教学

例题练习的选择充分考虑了知识应用的层次性，从让学生理解、记忆定义与判定及简单应用到灵活应用判定和定义进行线线、线面位置关系的转化等，巩固所学知识，体会蕴含的转化思想，丰富证明问题的思考策略.

例1有三个小题，①是判定定理的应用，②是定义的应用，③是判定定理与定义的综合应用.

例2是教材上的例题，孔老师提出例2后，让学生先做一做，教师在教室中巡视指导学生，然后提问一名学生，让她谈谈解法．这位学生谈过定义法的思路之后，老师给予肯定，继续让她谈是怎么想到的，其他同学还有想法吗？引导学生拿出判定定理的思路．在此基础上再作了分析补充，强调了用定义、用定理解题的一般规范，从而完善证明问题的一般思维策略．

练习选用了课本P67 练习1，是对学生本课学习效果的一次检测，问题有一定的挑战性，学生不仅要掌握这堂课所学知识，而且要领会问题解决的一般思维策略，有合理选择辅助平面和转化的能力．学生的表现是令人满意的．

5.小结

孔老师最后引导学生对本课以知识、能力、方法为视角进行了小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括．完整地呈现了一堂数学概念教学课．

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