课例分析 |《空间向量的正交分解及其坐标》

请关注阳光备课 2023-02-05

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今天分享1位国赛选手的教学设计及点评、1位名师的教学设计，请大家详细阅读，认真讨论，积极思考，相信你会产生自己的想法。

教无定法，开始！

研讨素材一

各位专家评委、老师们：

大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.

我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.

一、教学背景分析

（一）教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.

《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐标的定义，从而完成从向量到坐标的转化，进而为后面的立体几何问题的解决服务.

但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.

因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度增加所带来的影响.”

“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广.”

而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，仔细研究教材的编写意图，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一，同时通过教材的阅读与思考环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空间结构的认识的升华过程，巧妙至极！

（二）学生学情分析

在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.

因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易的，但是证明唯一性具有一定的难度. 同时有了平面向量坐标的定义，得到空间坐标的定义是容易的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性的理解却是模糊的.

因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：

重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.

难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．

二、教学目标设置

依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：

1、通过类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；

2、理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；

3、体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积问题的意义所在；

4、掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；

5、体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与必要性，并将本节课所获得的结果，在高维向量空间作简单的推广，培养学生的类比归纳能力.

三、教学策略分析

鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略：

1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；

2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；

3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构特点上的统一性，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；

四、教学过程

为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：

接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作出说明.

（一）引入

请同学们课后思考一下，柯西的这句话和我们今天的课堂内容有什么联系.好的，今天的课就上到这里，下课！

【设计意图】通过空间向量基本定理的建立与三个向量定理的类比与推广的思考，既让学生经历了从一维，到二维，到三维，再到四维的从低维空间到高维空间的类比研究过程，同时也让学生体会我们可以用有限个向量去研究无限个向量，这是一种从无限到有限的转化思想.

最后以数学家柯西的一句话来结束课堂的讨论，留给学生一些进一步思考的余地，引导学生进入课后更加深入的学习中去.

五、教学特点及反思

（1）类比与猜想的紧密结合

本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.

类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.

（2）课堂与教材的有机整合

教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.

本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.

以上就是我的课堂教学设计，真诚地希望得到各位专家的批评指正，谢谢！

研读教材，用好教材

——评课例《空间向量的正交分解及其坐标表示》

浙江省温州中学陈相友

都说教材是教学的蓝本，这句话没错.

一套教材的编写，汇聚了无数专家教师的智慧与心血，因此，教材中蕴含着许多课堂教学的宝贵资源，是每一位教师应该去精心挖掘的.

陈巴尔老师的这堂课，充分体现了一位青年教师如何在教材上花功夫，读教材，研教材，最后用好教材.

1．课前研读教材：

陈巴尔老师在上课之前，仔细地阅读了教材与教学参考，并且深入研究，体会到了教材编者从必修4到选修2-1中有关向量内容的编写意图，即从一维向量空间（共线定理），到二维向量空间（平面向量基本定理），到三维向量空间（空间向量基本定理），再到高维向量空间（课后阅读与思考——“向量概念的推广与应用”），让学生按照维度从低到高的顺序，慢慢感受向量的推广与应用，犹如在高一阶段的必修4中就开启了向量故事的篇章，然后在高二阶段的选修2-1中，给向量的故事画上一个高中阶段暂时的句号，让学生通过一年多的学习，并结合其他相关数学知识，最后对于向量有了一个较为完整的认识.

2．课上用好教材：

基于上述的思考，陈巴尔老师基于教材的合理运用，设置了如下几个环节：

（1）起始于必修4

引例的选择，目的是在于让学生回顾必修4中的平面向量内容，重温“向量故事的开篇”，不止平面向量基本定理的表述，更重要的是回顾了定理建立是所运用的方法，为后面的推广作好了铺垫；

（2）落脚于选修2-1

继续应用引例，将二维平面问题推广到三维空间问题，然后用平面中的类似方法来解决空间的相应的问题，构建了学生从旧知识到新知识的桥梁，其中不乏设置学生独立思考，大胆猜想，以及小组讨论的课堂学习环节，生动地展开了“向量故事的续篇”；

（3）展望于“阅读于思考”

之后通过学生自行阅读教材中的“阅读与思考”内容，即培养了学生的阅读与自学能力，又为学生解答了心中有关高维向量的意义的疑惑，体会到了数学是有用的，同时充分利用了教材中的教学资源，一举多得，最后再加以数学家柯西的一句名言，让学生对于“向量故事的未来”充满了期待与想象.

我觉得，作为一名青年教师，陈巴尔老师能够对于教材的研读与应用如此用心，并且能将自己的思考所得，应用到自己的课堂教学中，使学生从中受益，这是十分难得的. 可以说本节课为如何运用好教材来上好数学课提供了一个很好的课例，同时也获得了学生和听课老师的一致好评．

研讨素材二

原文发表于《中学教研( 数学) 》2018年第1期

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