教学研讨｜9.2.1总体取值规律的估计（2019版新教材）

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研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

总体取值规律描述了总体的所有可能的取值，以及取每个值的个体数占总体的比例，它是总体分布的另一种表述，是为了避免严格的总体分布定义而引入的一个概念，在很多实际问题中，经常需要根据样本的取值规律来估计总体的取值规律，对于连续型变量的数据，样本的取值规律可以用频率分布表或频率分布直方图来描述，据此估计总体的取值规律。

教科书先通过问题1提出制定居民用户月均用水量标准的问题，引出总体取值规律的估计问题.因为全市居民用户数较多，进行全面调查比较困难，所以采用抽样调查的方式，用样本去估计总体.由于抽样调查的内容上节已经学习，因而教科书直接给出通过简单随机抽样获取的一组样本观测数据.这样，问题就转化为如何分析数据，获得样本观测数据的信息.教科书主要结合这个实际问题，介绍用频率分布表和频率分布直方图描述样本数据的取值规律，并据此估计总体的取值规律.直方图主要用于描述连续型变量的数据的取值规律，其他统计图也都有各自适用的范围和特点教科书通过例1,让学生了解统计图的选择需根据实际问题的特点，体会合理使用统计图的重要性。

1.频率分布表和频率分布直方图

本节在初中学习频数分布表和频数分布直方图的基础上，学习频率分布表和频率分布直方图.频数分布表与频率分布表的区别：前者统计数据落在各个小区间的个数（即频数）,后者统计数据落在各个小区间的个数占全部数据的比例（即频率）.从频数分布表到频率分布表对学生没有难度，两者都可以用于整理数据，但学生需要了解：用样本在某区间内的频率可以估计总体在相应区间内的比例，但用样本在某区间内的频数不能直接估计总体在相应区间内的频数，需要将样本频数除以样本容量后再乘总体中的个体数.

频数分布直方图与频率分布直方图都可用于描述数据的取值规律，它们的横坐标一致，区别在于纵坐标，一个是“频数/组距”或“频数（等距分组时）”，另一个是“频率/组距”。在高中阶段仅学习等距分组的频率分布直方图，对于等距分组的情况，纵坐标分别用“频率”和“频率/组距时，直方图的形状是相同的.学生可能比较难理解为什么频率分布直方图的纵坐标用频率除以组距，而不是直接用频率，可以从两个角度解释：第一，如果小长方形的高为频率，那么区间越长小长方形就越高，两个长度不同的区间的频率比较就没有意义；第二，全部小长方形的面积之和为1,这个与总体中落在全部取值范围内的频率为100%是一致的，可以作为总体分布的估计

2.组数与直方图

画直方图时，组数和组距的选择没有绝对标准，教科书中给出了原则性的选取建议，并通过探究栏目考察不同组数对直方图的形状的影响.组数越少，直方图丢失样本数据的信息会越多；组数越多，直方图会越依赖样本数据，稳定性也较差，换一组数据可能得到完全不同的直方图。

教学中，建议教师利用统计软件画直方图，通过改变组数，让学生体会不同组数对直方图形状的影响.当样本容量n比较大时，可以用经验公式k=1+3.3lgn来确定分组数k.

3.样本的取值规律和总体的取值规律

总体的取值规律是确定的，而样本的取值规律却取决于样本，具有随机性，我们知道频率分布直方图的形状还和分组有关，因此用样本频率分布直方图描述样本的取值规律，并据此估计总体的取值规律时，会存在误差，这个误差与样本数据本身有关，还与画直方图时样本数据的分组有关.

教学中，可以通过随机模拟演示，让学生体会它们之间的关系

4.统计图表的选择

教科书中首先简单回顾了条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图和频率分布直方图的特点和适用范围，然后通过例1的多组空气质量数据，提出了三个问题，让学生体会如何根据不同的实际问题选择不同的统计图对数据进行可视化描述，并学会用简单的语言描述图形展示的信息.教学中，建议针对每个问题分别试着用不同的统计图展示数据信息，并用语言简单描述统计图表达的信息，理解每种统计图的特点和适用范围，体会合理使用统计图表的重要性。

针对第1个问题“分析该市2016年6月的空气质量情况”，通常人们不十分关心空气质量指数的具体值是多少，可能更关心空气质量等级的分布情况，所以选择按空气质量等级分组，给出频数分布表及频率分布表，将空气质量指数数据转成空气质量等级数据，即将连续型数据转化为离散型数据，而针对离散型数据可以选择条形图、扇形图进行可视化描述，通过折线图还可以看到空气质量数据随时间的变化规律，如果直接用频率分布直方图展示空气质量数据，如何分组呢？显然按居民用水量的实例的分组方法不合适，图形的实际意义也比较难解释.

第2个问题“比较该市2016年5月和6月的空气质量，哪个月的空气质量较好”，侧重比较两个月的空气质量，因为5月有31天，6月有30天，总天数相差不大，所以可以直接采用复合频数分布图展示数据.

针对第3个问题“比较该市2016年6月与该市2015年全年的空气质量，2016年6月的空气质量是否好于去年”，因为6月共30天，而2016年全年有365天，两者不能用频数分布进行比较，但可以通过频率分布进行比较。当然也可以通过分别画两个扇形图展示各自的频率分布，但复合频率分布条形图更方便比较.

教科书边空中的问题提到“你能得出2016年的空气质量比2015年明显改善了’的结论吗为什么？”问题的目的是为了让学生体会，统计结论的得出不是简单的数据比较，而是要结合问题的实际背景进行解释.2016年6月的空气质量数据与2015年全年的空气质量数据相比，2016年6月中度以上的污染天气频率明显小于2015年，只能说从整体上看，2016年6月的空气质量要好于2015年全年的空气质量，但不能说明2016年的空气质量比2015年明显改善，原因是空气质量与季节有关，比如冬天因为北方地区烧煤等因素的影响，往往空气质量会比较差，用6月的空气质量数据代表全年的空气质量的情况，代表性差，若要比较2016年与2015年的空气质量，可以把2016年365天随机的30天空气质量数据与2015年全年数据进行比较，或者两年都用6月的数据进行比较，最好两年都用全年的数据进行比较，来说明2016年的空气质量是否比2015年有明显的改善.

二、目标和目标解析

第1课时

（1）会画出频率分布表和频率分布直方图；

（2）能根据频率分布表和频率分布直方图分析具体问题；

（3）结合实际，能用样本估计总体的取值规律.

第2课时

（1）体会如何根据不同的实际问题选择不同的统计图对数据进行可视化描述；

（2）会用简单的语言描述图形展示的信息；

（3）理解每种统计图的特点和适用范围；

（4）体会合理使用统计图表的重要性.

三、教学重点、难点

[重点]会列频率分布的有关图表.体会样本估计总体的思想..

[难点] 频率分布直方图对数据总体的估计．

四、数学学科素养

水平一

1.根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述.（数据分析）

2.学会列频率分布表，画频率分布直方图.（数据分析）

3.理解百分位数的概念，会用样本常用百分位数估计总体百分位数.

（数学运算，数据分析）

水平二

了解多种统计图表，体会合理使用统计图表的重要性.（数据分析）

五、本单元教学建议

本节内容体现了对数据分析方法学习的螺旋上升，学生在初中已初步了解了用样本估计总体的思想，知道可用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差。本节在初中基础上进一步学习数据统计特征的刻画方法，并用样本的统计特征估计总体的统计特征，包括总体取值规律的估计、总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计和总体离散程度的估计，进一步体会样本估计总体的思想和方法

对总体统计特征的刻画包括两个层面：一是总体统计特征的全面刻画，知道总体的所有可能的取值，以及取每个值的个体数占总体的比例，即总体的取值规律，总体的频率分布表和频率分布直方图可以描述或近似描述总体的取值规律；二是总体某个方面统计特征的刻画，例如总体的百分位数、平均数、众数、方差、标准差等数字特征，由总体的取值规律可以得到总体各方面的统计特征，因此总体的取值规律全面地刻画了总体的统计特征.

用样本估计总体是统计的基本思想.由样本观测数据，可以得到样本数据取值规律的描述和各方面统计特征的刻画，例如频数分布表、频率分布直方图、百分位数、平均数、众数、方差、标准差、极差等，据此可以估计出总体相应的取值规律和统计特征，与总体类似，样本的取值规律全面地刻画了样本的统计特征，因此由样本的频率分布表或频率分布直方图，可以估计样本的百分位数、平均数、众数、方差、标准差和极差等特征，进而估计总体的特征。

在教学中，应结合具体案例，让学生在实际问题的解决中，学习数据统计特征刻画的方法，理解数据分析的思路，体会用样本估计总体的思想，初步培养学生运用统计语言、思想和方法表述、思考和解决实际问题的能力.

【以上大部分内容选自《普通高中教科书教师教学用书数学必修第二册》，版权归原作者、原出版者所有，摘录、转载是为没有带纸质用书时研讨使用。】

六、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

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