北师大版九上数学4.2 平行线分线段成比例 知识点精讲
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知识点总结
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。
1简介
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平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则
平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。[1]
2定理证明
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设三条平行线与直线 m 交于 A、B、C 三点，与直线 n 交于 D、E、F 三点。
连结AE、BD、BF、CE
根据平行线的性质可得 S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF，
∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE
根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。
由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。
3定理推论
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过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论：
①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
01
平行线分线段成比例的基本事实
1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.符号表示：如图
02
平行线分线段成比例的基本事实的推论
1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
2.符号表示：如图
【知识梳理】
1. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2. 推论：
（1）平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例。
（2）平行于三角形的一边,并且与其它两边（或两边的延长线）相交的直线,所截得的三角形的三边,与原三角形的三边成比例.
（3）推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
习题讲析
【解析】
当然，也可以先求出DF=6+7=13，由
可直接求出AC的长。
有困难的同学也可以对图形进行转化，以便理解，如下图：
典例2
在△ABC中，DE//BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为________．
【分析】由DE//BC可得出∠ADE=∠B，结合∠ADE=∠EFC可得出∠B=∠EFC，进而可得出BD//EF，结合DE//BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE=BF，由DE//BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC=85DE，再根据CF=BC−BF=35DE=6，即可求出DE的长度．
【解答】
A. 2:1 B. 3:2 C. 3:1 D. 5:2
【分析】过M作MF∥BD，根据M为AC的中点，可知FM为△ABC的中位线，即FM=1/2BC，F为AB的中点，再由AE=1/4AB可知，E为AF的中点，故EF=1/3BE，由MF∥BD可知△EFM∽△EBD，其相似比为1：3，即FM=1/3BD，由FM=1/2BC可知CD=1/2BC，即可求出答案．
【解答】过M作MF∥BD，如图所示：
∵M是AC边的中点，
∴FM为△ABC的中位线,即FM=1/2BC，F为AB的中点，
∵AE=1/4AB，
∴EF=1/3EB，
∵MF∥BC，
∴△EFM∽△EBD,其相似比为1:3,即FM=1/3BD，
∵FM=1/2BC，
∴CD=1/2BC，即BC:CD=2:1.
故选A.
【点拨】求三角形中线段的比的思路：
求三角形中线段的比时，通常是过“分点”或“端点”添加平行线，构造“平行线分线段成比例”的基本图形，从而直接或间接找到含待求线段的比例式，运用方程思想进行求解。
导学案
教学目标：
1、理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。
2、通过应用，培养学生的识图能力和推理论证能力，同时在探索活动中发展学生的发现归纳意识并养成合作交流的习惯。
教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。
教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。
教学过程：
一、复习设疑
1、什么是成比例线段？
2、你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2：3？
二、新知探究
1.探究活动一：
内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3。
计算EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT你有什么发现？
将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2。你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？
（图2）
（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
尝试归纳你的发现：__________________________________________。
（4）深入思考：
=1GB3MERGEFORMAT①你对归纳的这句话是怎么理解的？
=2GB3MERGEFORMAT②如何用符号语言来表示它？
探究活动二：
内容：如图3，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3。过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。（如图4），图4中有哪些成比例线段？
（图3）（图4）
尝试归纳你的发现：__________________________________________。
变形识图
探究活动三：
内容：直线EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMATEMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT被直线EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT所截，且EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT则图中还有哪些线段相等？
EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3MERGEFORMAT
思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？
2.如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2：3？
学以致用
例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC，
（1）.如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？
（2）.如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？
四、巩固强化
1、如图，已知l1//l2//l3，
（1）.在左图中AB=5，BC=7，EF=4，求DE的长。
（2）.在右图中DE=6，EF=7，AB=5，求AC的长。
2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，
（1）.如果AD=3.2cm，DB=1.2cm，AE=2.4cm，那么EC的长是多少？
（2）.如果AB=5cm，AD=3cm，AC=4cm，那么EC的长是多少？
※3、如图，在EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE//BC，EF//AB，AD：DB=2：3，BC=20cm，求BF的长
课堂小结
布置作业
课本P119复习题第3题
七、课后反思
图文导学
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