弗雷格：逻辑作为真理理论｜黄敏(二)

3.1 知识、真与逻辑
弗雷格把真当作是知识的本质，知识的其他特性都是由此决定的。
知识无论是被理解成观念性的还是语言性的，都必须是真的。真这个概念是知识的必要条件。当然，我们还会认为，知识必须是对实在的反映，这一点也构成了知识的本质。要为知识给出哲学解释，就必须把真与实在这两个概念置于同一个图景中，并很好地协调两者。
弗雷格和罗素分别采取了两种不同的策略。弗雷格从真出发，并在此基础上引入实在；罗素则从实在出发，在此基础上引入真。在《逻辑哲学论》中，维特根斯坦用了一种方法同时引入两者。
“真”或者“是真的”首先是充当谓词，而其主目则是句子。就像热是气体的性质一样，真在形式上是句子的性质。（注：我们权且把句子当作具备真这个性质的东西，到后一章我们会对这种说法作出进一步限制。）说真这个概念标志着知识的本质，意思就是，表达某个知识的句子必须是真的。这一点决定了，关于真这个概念本身的研究对于知识来说究竟有什么价值。概念与概念的实例之间的关系是这样的：一个概念是什么，这决定了它能够有什么样的实例。正如什么是热本身，这一点决定了我们应当把什么东西当作是热的，什么是真这个概念本身，这一点也决定了我们应当把什么当作是真的，从而决定了我们能够拥有什么样的知识。
当我们说一种逻辑系统是关于真理的理论时，也就是在说，这个系统揭示了真这个概念本身是什么。把逻辑当作真理理论，这在数理逻辑中是一个占据主导地位的想法——虽然现在人们对此的理解与弗雷格的时代有很大不同。
事实上，哲学家理解真这个概念的方式，决定了他对于逻辑持有何种观点。罗素就是一个很好的参照。从历史角度看，罗素主义的分析哲学不是从关于真的理解发展出来的，但从学理角度看，这个版本的分析哲学仍然面临着为真这个概念定位的压力。罗素把真解释为与实在相符合，这使得罗素所理解的逻辑以关于实在的逻辑理论的形态，来容纳真这个概念。在讨论罗素主义时，我们就会看到这一点。
3.2 真作为基本概念
弗雷格把真当作讨论知识的出发点，这要以真这个概念是不可定义的为前提。接下来就讨论，弗雷格在何种意义上认为真这个概念不可定义。可以说，弗雷格建立真这个概念的不可定义性的方式，决定了弗雷格以何种方式理解逻辑。
弗雷格曾经在不同的地方重复关于真这个概念为何不能定义的论证，下面的选段来自于“思想”这篇文章：
我们何以能够主张，只要在一个特定的方面符合[实在]，就会有真呢？但这又是在哪个方面呢？因为，在那种情况下，要确定某个东西是否是真的，我们该怎样做呢？我们必须做的事情就是探究比如说一个观念和某种实在在特定方面相符合，这是不是真的。而这样一来我们就又会面临同样的问题，事情又从头开始。定义真的任何其他企图也会失败。因为，在下定义的时候势必要指出某个特征，而在任何特定情况下要运用这个定义就总是会问，这样的特征出现了，这是否是真的。这样我们就是在兜圈子。由此看来，“真的”一词的内容是独特的和不可定义的。（注：The Frege Reader, p. 327）
这个论证虽然非常著名，但很容易被当作是无效的。让我们来分析一下它的形式。
一般说来，要定义一个概念，可以采用内涵式的定义与外延式的定义（注：事实上，由于弗雷格的工作，对概念的定义有复杂得多的形式，比如关于自然数的定义，不过，就这个论证来说，采取何种方式来定义，这并不构成影响）。假设“人是有理性的动物”这个句子算是一个定义。如果认为这个句子是说，“人”这个概念在内涵上等于“有理性的动物”这个复合概念，那么我们就说这是一个内涵式的定义。而如果我们把这个定义理解为，这两个概念的外延实际上是相同的集合，那么这个定义就是外延式的。
如果概念的内涵与外延之间一一对应，那么这两种形式的定义就是等价的。下面我们就只考虑外延定义的情况。这样，关于概念C的定义就是这样一种形式：
对任何一个东西，它是C，当且仅当，它是D。
这个定义中，“D”所表示的就是用来定义的那个概念，即定义项。定义式中使用了“当且仅当”这样的连接词，意思是说，两边的子句所陈述的情况互为充分必要条件，即它们的真值总是相同的。这样的句子通常称为“双条件句（bi-conditional）”。这是一个外延形式的定义，它保证了被定义概念C的外延与定义项D的外延重合。
此外，D作为定义项，应当是由比C更为基本的概念构成的。定义的知识论功能就在于，它能够表明被定义的概念是如何得到把握的。概念的这种基本与不基本的区别，总是要体现在表达式的复杂程度上。如果D是定义项，那么这个表达式就应当是用多个概念词复合而成的；而C作为被定义项，在表达式上应当是简单的。这样，构成D的那些概念词，就表示比C更为基本的概念，它们是从概念C中拆解得到的。定义一个概念就是拆解它。最基本的概念就是不可拆解的，它可以用来定义别的概念，而不能被别的概念所定义。因此，如果按照这种方式能够证明真这个概念是不可定义的，那么这个概念也就是最基本的。（注：在有些情况下，概念之间不存在谁更基本的问题，它们分属不同的“家族”。不同“家族”都有最基本的概念，但这些最基本的概念之间是不可比的。）
弗雷格的论证可以在这种定义形式中得到说明。我们把前面那种形式套用到真这个概念上，并用与实在符合来定义真，就得到：
对任何一个东西，它是真的，当且仅当，它与实在相符合。
弗雷格对这种定义提出的反驳意见是：对某个特定的观念（假定我们需要考虑的是观念，这对论证本身没有影响）运用这个定义，以此判断这个观念是否是真的时，实际上也就是要判断，这个观念与实在符合，这是否是真的；而这就预先假定真这个概念已经被把握了，因而进入了循环。
这个论证的一个很明显的问题是，双条件句的后半部分没有出现“是真的”，如果要判断一个观念是否是真的，需要判断的只是它是否与实在符合，而不是“它与实在符合”这一点是真的，因此在形式上并没有循环。在一个定义中，只要定义项中没有包含被定义项，定义就不是循环的。在这种意义上弗雷格的理由似乎并不成立。
另外一种解释是，采用双条件句这种定义形式，本身就需要借助真这个概念才能得到解释，因此这种定义形式就预先假定了真这个概念。这个解释的理由是，双条件句所说的是“当且仅当”这个表达式两边的子句真值相同，因此，这个形式本身需要借助真这个概念才能得到理解。
但是，这种解释也不成立。定义式说明了人们是如何理解被定义的概念的，因此，即使人们原来并不知道定义是如何表达的，只要他们确实是按照定义式所给出的方式理解被定义的概念，定义式仍然成立。在这种意义上，一个人可以不知道“当且仅当”这样的说法是什么意思，比如从来没有见过这个说法，因而实际上不理解关于真这个概念的双条件句定义式，但这个双条件句仍然正确地描述了他把握真这个概念的方式。比如，每当一个观念与实在相符合的时候，这个人就说这个观念是真的。在这种情况下我们就会说，他确实是按照那个定义式来理解真这个概念的。但在这样做时，他根本没有对自己表述双条件句，因此无需预先假定真这个概念。
对于弗雷格的这个论证，我的理解是，他利用了一个在“思想”这篇文章中给出的前提，即判断就是承认一个句子的内容是真的。由于这个前提是在给出这个论证之后才给出的，读者通常在没有足够背景信息的情况下读到这个论证，因而难以正确地理解它。
弗雷格区分了思考（thinking）与判断（judgment），并且指出，思考就是把握一个思想，而判断则是承认一个思想是真的。弗雷格的意思大体上可以这么理解：把握一个思想，就好像在头脑中想象某个场景，而并不关心这个场景是否真的发生；而作出判断，则意味着认定它真的发生了。判断不仅仅是在思考，而且承认所思考的东西是真的。
有了这个区分以后，关于真这个概念的不可定义性的论证就非常容易理解了。在运用关于真的定义来判断一个观念是否为真时，我们总是要先判断，比如说这个观念是否与实在相符合。这就意味着，要决定是否承认“观念与实在相符合”这个思想是真的。这样一来，在运用关于真这个概念的定义时，我们又要预先把握真这个概念。这里的关键是，对真这个概念的把握不是借助把握一个思想来进行的，而是判断这种行为所要求的。由此就可以解释，在表达式中并不出现循环时，弗雷格为什么还是坚持认为，在运用定义判断观念是否为真时又会出现循环。这是因为，对真这个概念的把握包含在判断行为中。
不过，这并没有结束这个论证，因为我们还需要这样一个前提：在运用关于真的定义时，一定要诉诸判断。要进行判断，就要使用句子；但在这里为何不能使用词语呢？事实上，弗雷格坚持一个更强的观点，即任何具有认知性的内容，都必须借助句子才能得到表达。这个观点显然是语境原则的一个后果，而语境原则是必须要坚持的，这是确保逻辑系统能够达到目的的条件。
我们可以这么说，在弗雷格那里，并不是因为真这个概念本身具有某种奇异的特性，而使得它不可定义，而是因为这个概念与知识、判断这样一些其他概念之间以某种特定的方式联系起来，这种联系使得真不可定义。可以这样表述这种联系：a）知识总是体现为判断行为；b）判断就是承认某个思想为真。给定了这种联系，我们也就不能定义真，这是因为，要运用这种定义来判断真假，就必须利用关于所判断的对象的某种知识，但按照a）与b），就要预先假定已经把握了真这个概念。
事实上，弗雷格认为真这个概念对思想不起作用。他说，“把真这个性质加给思想，这似乎什么都没有增加”（注：The Frege Reader，p.328）。这是一个非常著名的论断，有些哲学家认为，真这个概念是没有内容的，这个想法就来自于弗雷格。简单地说，这个想法可以表述为：
对于一个句子p来说，“p”与“p是真的”表达了同样的思想。
我们通常会觉得，一个人断定某个句子是真的，与使用这个句子来进行断定，所进行的是同一个判断活动。考虑到同样的判断活动具有同样的内容，说某个句子是真的，在内容上也就与这个句子相同。
这样，在弗雷格那里就有两个结论，其一，对真这个概念的把握总是包含在判断行为中，其二，这个概念对判断的内容不起作用。弗雷格把判断行为解释为断定与思想两个部分构成的，因此在判断中除了思想或者说内容的那个部分，剩下的就是被归于语力（force）的断定了（注：语力就是使用句子来作出的行为的类型，比如断定、疑问、命令、祈愿等等。）。鉴于这些，我们就可以说，真这个概念属于断定这种语力。因此，弗雷格关于真这个概念不可定义的观点，可以看作是这样一个主张：我们不可能通过把握思想，来获得关于真的把握。之所以这么说，是因为定义起作用的方式就是，通过理解关于另外一个概念的内容，来理解要被定义的概念；既然真这个概念不在内容的层次上起作用，用定义的方式来把握这个概念，也就是徒劳的了。
真这个概念不可定义，这个观点的直接后果是，这个概念是一个基本概念，我们要通过把握这个概念，来把握其他概念，比如实在这个概念。如果用实在可以定义真，那么我们就要先知道实在是怎样的，由此才能知道什么东西是真的；而如果真这个概念是更为基本的，那么我们就必须先知道有哪些观念是真的，然后，通过知道这些真的观念都有什么内容，以此来知道实在是怎样的。概念之间的这种先后关系，对于哲学来说是至关重要的一件事情。关于真与实在之间先后顺序上的不同观点，导致了弗雷格主义与罗素主义之间的巨大差异。
3.3 逻辑作为理性科学
逻辑是关于真这个概念的理论，它以这个概念作为研究主题。另一方面，真是最基本的概念，它是不可定义的。这两点结合起来，就决定了逻辑是一种什么样的理论。
我们不可能以这样一种方式来解释一个像真这样的概念：在预先没有把握这个概念的情况下，通过理解这种解释，我们可以把握这个概念。最基本的概念只能在这种意义上解释别的概念，而不能被别的概念解释。对于最基本的概念，如果在一开始没有把握它，也就不可能通过解释去把握。
但是，对最基本的概念，我们可以有一种阐明。通过说明在不同的场合与语境下如何使用这个概念，使得我们学会这种使用，从而了解这个概念。对数这个概念，我们就是这么学会的。老师从没有告诉过小学生，数这个概念是如何定义的，学习这个概念，不是一个从无到有的过程；他教会学生在什么时候怎么使用这个概念，教会学生识别关于这个概念的句子该如何使用。于是，从一个很难界定的时刻开始，学生把握了这个概念。对基本概念的这种处理方式，弗雷格称为“阐明（elucidation）”。（注：出处。）
按照弗雷格的思路，在开始逻辑研究之前，就必须看到，真这个概念已经得到了把握——只要会做出判断行为，就已经把握了什么是真。这样，逻辑就是对于已经把握了真这个概念的人表明，他所把握的东西是什么，或者更确切地说，他所把握的东西要求他怎么做。
虽然说只有把握了真这个概念才可能进行判断，但这并不意味着所有实际进行的判断，都合乎这个概念的要求。比如，人们都知道，一种既真又假的想法是不合乎真这个概念的要求的；但人们也都承认，自己经常持有一些相互矛盾的想法。人类探究知识的过程，总是按照一种自己能够把握的方式，来对把握到的东西进行修改、调整和扩展。对真这个概念所作出的逻辑研究也是如此。就实际情况而论，人们对真这个概念的把握是不完全的；但这种不完全的把握，如果处理得当的话，可以充当基础，来确定这个概念在其他情况下是怎样的。逻辑把复杂的命题和推理分解成最简单的基础结构，就是要达到这个目的。
在弗雷格这里，逻辑研究就是一种理性科学，它使所有知识都建立在规范性的基础之上。（注：理性的东西与自然的东西之间的区别就在于，理性的东西遵守规范，而自然的东西遵守定律。只有预先假定了自由意志，才谈得上遵守规范。是否遵守规范，这是可以选择的，而对定律则不存在选择的余地。）
这一点要与真这个概念的特殊性结合起来理解。这个概念不是在思想的层次上起作用的，因此，我们不能说，通过逻辑研究获得的真命题说明了真这个概念是什么。我们不能像理解物理学那样理解逻辑。物理学给热以定义，然后在这个基础上解释所有的热力学现象，而所有这些命题都是谈论热这种现象的，它们告诉我们热是什么。逻辑并不通过逻辑命题来告诉我们真是什么，而是告诉我们，我们应当把什么命题判断为是真的。这就是说，逻辑的效果最终落实到判断的行为上，而达到这种效果的方式，则是说明什么样的命题被判断为真。因此，逻辑研究的目的，就是要向已经把握了真这个概念的人说明，就其把握了真这个概念而言，他应当把什么命题判断为真。这是对判断的行为进行调整，在这种意义上，逻辑就像用来调整人们的社会行为的法典一样，是规范性的（normative）。
逻辑中给出的那些必须判断为真的命题，人们通常称为“逻辑命题”。如果逻辑命题确实是基于把握了的真这个概念而言得到确定的，那么这些命题就是由于真这个概念本身而为真。比如一个表述了矛盾律的命题，就是因为真这个概念本身的要求，而是我们应当判断为真的。这样的命题在弗雷格那里被称为“明证的（evident）”。只要把握了真这个概念，我们就必定能够知道逻辑命题是真的。而对这个概念的把握，又只在于我们具备作出判断的能力，因此，无需理由，我们就知道逻辑命题是真的。逻辑命题的明证性正在于此。这种明证性表明，逻辑命题表达的是一种无前提的知识，因而它能够成为一切知识的前提。
3.4 逻辑系统
要成为一种关于真这个概念的理论，逻辑就必须给出由于真这个概念而为真的命题。当然，这还只是一个非常笼统的目标，因为，这样的命题可能是无穷多的。解决这类问题最为通行的方法是，确定一套系统的方法，来产生这无穷多的命题。如果有可能的话，最好能够证明，所有这样的命题都可以用这套方法产生出来。产生这样的命题所借助的，就是逻辑系统。概念文字是逻辑系统中的一种。
逻辑系统由于是在前面陈述的那种意义上构造出来的，它在理论上就有一些值得说明的特性。
大部分哲学家认为，逻辑系统的构造方式不是唯一的，或者说，关于是否只有唯一正确的逻辑系统，不存在原则上的限制。这是因为，就逻辑系统的目的是“展示”真这个概念来说，并不存在一种独立的标准，来衡量这种逻辑系统本身是否正确；或者说，人们并不参照某个独立的标准，来建立逻辑系统。逻辑学家按照自己对真这个概念的把握来建立逻辑系统，而这种把握是判断行为本身的特性，而不是判断的内容所包含的东西。因此，逻辑学家通过建造一个逻辑系统来“展示”为自己所把握的真这个概念，就有点像画家拿起画笔，来“展示”自己所掌握的绘画技能，是不存在外部限制的。
尽管如此，当逻辑系统中足够多的部分确定下来以后，其余部分是什么样的，也就有所限制了，并且随着逻辑系统的逐步完成，这样的限制越来越严格。这是因为，逻辑系统不是通过单个的要素来表现真这个概念，而是通过系统整体来表现。既然真是一个确定的概念，它就对系统的局部与整体之间的关系作出了限制，这是因为，局部在系统整体中才对真这个概念有所表现。当一个系统从头开始建造，在一开始是完全没有限制的；随着系统的逐步完善，限制就越来越多；到系统完全完成时，由系统能够得出何种命题，就是严格地确定了的。
但是，这并不意味着总是可以任意地构造逻辑系统。一些技术上的问题必须事先得到规划式的考虑。比如，一个很突出的问题是，逻辑系统应当以尽可能容易的方式来构造出所需要的命题。
通常，逻辑系统中都包含了构造出命题的规则，这些规则包含两类。一类用来建立语言，它们决定如何从亚命题成分构造出命题，以及从简单命题构造复合命题，由此构造的命题是可真可假的。另一类规则，即推理规则，则是用来从真命题得到真命题，它们是在前一类规则的基础上，确定那些基于真这个概念而为真的命题。后一类规则配备了一组公理，它们一起构成了逻辑系统的证明论（proof theory）部分。公理是本身已经得到确认为真的命题，而推理规则从公理出发推出定理。
这两类规则都有设计上需要考虑的问题。一般而言，要利用有限的材料构造出无穷多的命题，唯有借助于迭代法，也就是说，通过某种操作获得的东西可以再次进行同样的或者其他的操作，从而得到更加复杂的结构。使用迭代法，就是用一些可重复使用的要素来获得复杂的结构，最终，任意复杂的结构都应当能够用这些要素通过迭代获得。因此，在设计相应的构造规则时，也就必须考虑如何找到进行迭代操作的要素。为了便于构造，它们必须足够简单；但要能够构造任何命题，它们又必须足够强大。
设计逻辑系统，需要高超的数学技巧和极大的耐心与细致，深入考察弗雷格的概念文字，我们不难看到这些品质。
如果用逻辑系统来充当关于真的理论，由于逻辑系统作为整体不受独立的条件约束，人们就常常设计一种与自然语言不同的符号体系，来充当逻辑系统所用的语言，并用这种语言来表述公理和制定推理规则。这种借助逻辑系统来探讨真这个概念的做法，常被当作是理想语言哲学的标志性特征。像弗雷格这样的理想语言哲学家，通常会用自然语言存在歧义、模糊，并且受制于表达知识之外的目的，而拒绝以自然语言为手段来建立真理理论。
但是，如果真这个概念对于语言来说存在着某种选择性，或者说，如果只有满足某种条件的语言才能揭示真这个概念，那么自然语言的这种缺陷并不足以支持理想语言哲学家的做法。
日常语言哲学家常常就在这一点上反驳理想语言哲学家。在他们看来，真这个概念确实对语言具有选择性，因为，只有那种实际上为人们所使用的语言，才对他们所把握的真这个概念有所揭示。如果这种想法是对的，哲学家就不能任意地构造一种语言，来揭示真这个概念，而只能够在对语言的实际使用的背景下来做这件事——人们实际使用的语言，就是自然语言。后面在讨论日常语言哲学时再回过头来对照，下面我们继续看弗雷格的理想语言哲学方案。
3.5 概念文字系统
这里介绍一下弗雷格的概念文字系统的设计思路。这个系统的二维记号现在很少有人使用，但它的基本理念却已经成为当前设计逻辑系统的主流理念。在后面需要采取符号的时候，就换用现在通用的符号，而不用弗雷格自己的符号。
3.5.1 真值函项
概念文字的指导思想是函项逻辑，即用函项形式来对命题进行结构分析。为了建立逻辑系统，也就是说，为了给出那些仅仅由于真这个概念就为真的命题，关于函项结构的基本想法是不够的。为了达到这个目的，需要一种特殊的函项结构，即真值函项（truth-value function）。所谓真值函项，就是不仅其值是真值，而且其主目也是真值的函项。概念文字系统（以及当前大多数主流的逻辑系统）不仅把命题分析成函项结构，而且是分析成真值函项结构。
使用真值函项结构的基本想法是：只要把握了真这个概念，就能够理解真值函项；由于真值函项的主目就是真值，把握了真这个概念，就足以确定通过真值函项结构建立起来的命题是否是真的。这个想法包含了两个部分，其一，可以利用真值来定义真值函项，因此无需真这个概念以外的东西，就可以确定真值函项的意义；其二，真值函项的主目也是真值，而在把握了真值函项意义的情况下，确定了主目也就可以确定函项的值，因此要确定真值函项结构的命题是否是真，也无需借助除真这个概念以外的东西。这样，对于给定命题来说，只要能够用真值函项结构来表示它，我们就能够利用概念文字系统来确定其真值。
我们在数理逻辑中看到的逻辑联结词以及否定号，就是真值函项记号。真值表就是利用真值来对这些真值函项作出的定义。
人们有时候把析取号“”解释成连词“或者”，而把实质蕴涵“→”解释成因果关系，这都是不对的。析取的唯一意义是排除两个析取支均为假的情况，或者说，只有在两个析取支均为假时为假，在其他情况下均为真。实质蕴涵则仅仅排除前件真后件假的情况。
所谓的“实质蕴涵怪论”其实是过度解释的结果。人们通常会对逻辑系统允许像“如果9+1=10，那么海豚是哺乳动物”（写作“9+1=10 → 海豚是哺乳动物”）这样的句子为真，而感到不解，因为前后件显然缺乏语义上的联系。现在我们知道，这种语义上的联系反而是不允许的。这种联系超出了真这个概念的范围，而逻辑系统被设计出来，目的只是要揭示真这个概念，超出这个概念的东西，则是不相关的。一个系统要揭示真这个概念，就势必要在前面所陈述的那种意义上定义真值函项，而这意味着要允许那类怪异命题。逻辑系统不能一开始就试图刻画排除那类命题所需要的语义联系，而能够刻画这种语义联系的，只能是允许那类怪异命题的那种逻辑系统的扩展形式；在扩展之前，真这个概念必须已经得到了揭示。
定义了真值函项，就可以对命题采取中立化操作，也就是说，把所有与真值不相关的要素都过滤掉。比如，在“海豚分泌乳汁 → 海豚就是哺乳动物”这个命题中，把前件“海豚分泌乳汁”换成“9+1=10”，它们都同样是真命题，因此整个实质蕴涵式的真值是不变的。在这种情况下，我们可以用字母“p”和“q”来表示前后件，且只规定它们是真命题，由此就得到原来那个句子中立化了的形式，即“p → q”。在中立句子中，我们完全不理会句子讨论的是什么，而只关心句子的真值，因此，真值函项结构将完全用中立句的形式表现出来。当然，中立句也就表现了真这个概念。
这里要注意，中立句并不是当代数理逻辑中所说的“命题模式（propositional schema）”。把句子中的非逻辑常项（注：像真值联结词、量词，以及后面要引入的等号，就是逻辑常项，其他常项都是非逻辑常项。总之，在逻辑系统中得到定义的常项就是逻辑常项。）全部换成变元，就得到命题模式。命题模式并不表达完整的命题，因而并不直接具有真值；人们一般将其看作是命题的形式。但中立句是完整的命题，且直接具有真值。可以把中立句解释为全称句子，而中立化则是把非逻辑常项换成约束变元。
当把中立句中的字母系统地换成赋予了具体内容的表达式或句子，也就是说，用相同的表达式或句子来替换相同的字母，我们就得到了具体的句子。如果按照逻辑系统中立句的真值已经确定下来，那么替换后的具体句子的真值也就保持不变。由此我们可以看到，逻辑系统与具体句子之间的关系是怎样的了。具体句子虽然依据具体的内容而为真或为假，但它们总是受到逻辑系统的约束，这种约束就体现在相应的中立句上。这种约束具有普遍性，这是因为，任何一个中立句都对应于无穷多的具体句子，中立句是作为刻画这些具体句子所受到的逻辑约束的定律出现的。
3.5.2 公理与推理规则
逻辑系统的作用是，利用少数几个由于真这个概念即为真的命题，来构造所有同样基于这个概念为真的命题。这个目的是通过先确定公理，即初始的真命题，然后利用推理规则来从公理得到所有其他命题实现的。
与设计逻辑联结词这样的语言性的要素相似，公理的制定也是一种理论设计，而不是一种发现——并不存在一种独立的标准，来确定究竟要选择哪一套公理。这首先是因为公理具有何种函项结构，这取决于采用哪种符号体系，以及什么样的逻辑联结词。另一方面，公理与推理规则协同起来，服务于产生所有出于真这个概念即为真的命题，因此，公理与推理规则是成套使用的，而它们的合法性，则是通过它们是否真的能够推出由于真这个概念即为真的所有命题，而得到确认的。
因此，确认一个命题是否公理，需要两个方面的标准。首先，它必须也是出于真这个概念而为真，也就是说，它必须具有明证性；其次，在与其他公理以及推理规则配套使用时，是否具备了构造出逻辑定理所必须的那种基础地位。它们合起来得到的标准就是自明性（self-evidence）。
关于明证性，可以举例说明。例如，一个形如“(p → (q → r)) → (q → (p → r))”的中立句在概念文字系统中就是公理。这个句子是这样表现出自明性的：按照实质蕴涵的真值表定义，只有当前件为真后件为假时，实质蕴涵式才是假的；如果我们假定这个蕴涵式为假，那么其前件p → (q → r)为真，而后件q → (p → r)为假；而要使得后件q → (p → r)为假，就必须使得q为真，而p → r为假，即p真r假；但是，在q与p为真而r为假的情况下，蕴涵式的前件p → (q → r)也为假；既然按照假定前件p → (q → r)为真，因此整个蕴涵式不能为假。
从上述推理可以看出，只要我们承认一个句子不能既为真又为假，在按照真值表定义来理解实质蕴涵的前提下，就能够看出整个中立句是真的。承认一个句子不能既为真又为假，这是真这个概念所要求的，因此，这个句子为真，是由于真这个概念。在这种意义上，这个命题是明证的。
要注意的是，“明证性”这个概念在有些哲学家那里是一个知识论概念，按照这种理解，明证的东西就是人们有充分证据而加以确认的东西。作为知识论概念，某种知识要达到明证的程度，这与主体的认知能力，以及为知识提供辩护所需要的证据的类型有关，而这意味着明证性是相对的、有程度之别的。在弗雷格这里，逻辑公理的明证性不是这样的一个知识论概念，它与主体的认知能力没有关系，而是与真这个概念本身有关。不过，这个概念与知识也并非全然无关。我们可以这么说，具有明证性的命题，就是把握了真这个概念的人应当知道为真的命题。在这种意义上，是否认识到一个命题有明证性，这并不取决于主体实际所具备的认知能力，相反，它决定了主体是否有认知能力——一个人如果没有能力意识到明证的命题是真的，那么他就并不具备获得知识而必须具备的理性能力。
就明证性而言，逻辑系统的公理与定理是没有区别的。但是，任何命题都是具有一定复杂程度的句子，而这意味着认识到它的明证性，是一件难易程度不同的任务。人们必须首先识别写下来的句子，通过句子的物理形态来看出句子所表达的思想，然后才能知道它是否是明证的。这样，就不排除有些句子以最为简单的方式，通过其物理形态体现出明证性。我们可以设想，所有明证的命题都是通过若干最为简单的模块通过拼接、迭代，以及变形操作而成，而这些简单模块对于推出所有明证命题来说都是必要的，那么，以恰当的方式分离出这些最简单的模块，就得到了这个系统的公理。在这种意义上，公理就是其明证性最容易识别的命题。这样的命题就是自明的。
与公理协同工作的是推理规则。公理所提供的基本模块按照推理规则所确定的方式进行操作，由此得到各式各样的明证命题。在这种操作中，推理规则需要满足的条件就是，要保证从真命题得到的也是真命题。
3.5.3 同一性
一个逻辑系统如果只利用真值函项来分析命题结构，那就只是一个命题逻辑系统，但概念文字系统包含了更多内容，它是一个谓词逻辑系统。命题逻辑系统所处理的表达式，其最小单元是句子，而概念文字系统还处理亚句子结构，其中还包括量词。但是，概念文字系统仍然是关于真这个概念的理论，这是因为亚句子结构中的一些特点，也受制于真这个概念，这就是表达式指称的同一性。
分析哲学家不仅谈论一个东西是什么，有时候还谈论这个东西的同一性（identity）。同一性总是结合类似于“a=a”或者“a=b”的形式来得到解释的，有些文献将其解释为一个东西与它自身的关系，也有文献解释为一个词（例如“a”）与另一个词（例如“b”）表示的东西相同。不管怎样，同一性总是关系到一个对象能否被重新识别出来，就像我们意识到眼前的这个人原来是昨天见过的那个一样。在重新识别一个对象时，我们也可以并不知道这个对象是什么。比如我们盯着远处的一个移动的物体，确认它还是原来那个东西，但并不知道那个东西是什么。我们可以说，识别那是同一个东西，这是识别那个东西的必要条件，但不是充分条件。
我们会认为，表达式要表示实在中的东西，并且，正是因为表达式有这样的功能，它们所构成的句子才具有真值。但弗雷格不是这么认为的，因为这就意味着接受真理符合论；相反，表达式要与实在建立联系，必须经过真这个概念。在弗雷格这里，真这个概念先于实在。弗雷格用“指称（Bedeutung）”这个概念表现亚句子层次的表达式与句子真值之间的这种关联。
在这种意义上，一个表达式的指称就是我们在前一章中所谈到的语义。句子所谈到的东西是用名称来表示的，这就是名称所命名的对象。显然，一个句子是否为真，取决于它所谈到的东西是怎样的。因此，名称的指称就是对象。
但在这种意义上使用的“指称”一词，与我们通常的理解不同。我们常会把表达式的指称当作实在中的东西。但弗雷格把指称与真值联系起来，把表达式所对应的、可以确定句子真值的要素都当作指称。这样，不仅名称所表示的对象是名称的指称，而且，谓词所表示的概念也是谓词的指称。子句的真值对整个句子的真值构成影响，因此，子句的真值，进而一切句子的真值，也都是句子的指称。但是，我们很难说概念与真值是我们通常所理解的那种属于实在的东西。
暂且让我们在弗雷格的那种意义上使用“指称”这个词。在这种意义上，指称受制于真这个概念：一个句子在其他部分保持不变的情况下对某个表达式进行替换，如果这种替换能够确保句子真值不变，那么用来替换的表达式与原来的表达式肯定具有同样的指称。我们可以这样概括这种联系，即句子具有确定真值的必要条件是，其中的表达式指称保持同一。换言之，真值的确定性要求指称的同一性。
像“启明星落下去了”这样的句子是否是真的，取决于“启明星”指称的东西是否落下去了。但是，由于可以任意约定，“启明星”的指称不能单独确定，它也不表明句子具有确定的真值。
另一方面，“启明星”是否与“长庚星”指称同一个东西，则取决于“长庚星落下去了”这个句子是否与原来那个句子“启明星落下去了”具有相同真值，也就是说，取决于“具有相同真值”这个概念，进而取决于真这个概念。一般说来，所谓一个句子具有确定真值，意思就是，当一个句子在不同时刻或场合出现时，尤其是当句子被说出时与回过头来考虑其真值时，它都具有同样的真值。因此，指称的同一性概念受制于“具有确定真值”这个概念。
需要注意的是，我们要把上述关系与一种无关的情况区分开。在一种可以想象的情况下，“启明星落下去了”与“太阳落下去了”也具有相同真值，但这并不意味着启明星就是太阳。这是两个句子碰巧真值相同的情况。能够确保启明星就是长庚星的条件是，“长庚星落下去了”无论实际上取什么真值，其真值都是“启明星落下去了”所取的真值；显然，两个句子的真值碰巧相同，并不是我们要考虑的情况。
可以有一种方法来排除这种无关的情况，这就是承认在任何句子中，像用“长庚星”替换“启明星”这样的替换总是能够保持句子真值不变，那么这两个表达式指称相同。比如，不仅是“长庚星落下去了”与“启明星落下去了”真值相同，而且任意取的其他句子，比如“长庚星是行星”，也与对应的句子“启明星是行星”具有相同真值，那么“长庚星”与“启明星”具有相同指称。
指称的同一性与真值的确定性相反方向的关系也是成立的，也就是说，用指称相同的表达式来替换，并不改变句子真值。这通常被称为“替换原则（the Substitution Principle）”。替换原则与前述那种反向的关系一起，意味着可以用真值的确定性这个概念，来定义指称的同一性。
这种关系使得概念文字系统中也包含等号，以及相应的亚命题结构。比如，“a= a”以及“∀x(Fx)→Fa”（其中的“a”是任意名称），就作为公理出现。替换原则则体现为这样一个公理，(a=b)→(Fa→Fb)，与此同时，它还充当推理规则。
3.6 从真到实在
弗雷格开创了逻辑优先于本体论的哲学研究思路。这一思路不仅与语言学转向的基本精神一致，而且是句法优先于语义的逻辑理念的体现。当然，它还是真优先于实在这一原则的直接后果。
弗雷格并没有专门讨论本体论，对本体论也没有表现过真正的兴趣。不过，我们还是可以从他关于数的哲学讨论中，看得出一种局部的本体论。
利用真这个概念来引入实在，最为直接的思路就是，利用具有确定真值的句子，来确定实在中存在什么。比如，如果“阿波罗十三号顺利返航”这个句子是真的，那么阿波罗十三号就是存在的。因为，如果它不存在，那么“阿波罗十三号”这个名称就没有指称，这个句子也就没有真值，而这与句子为真这个事实相悖。
这种从真到实在的思路与我们通常的理解有些距离。我们通常会认为，我们先确定句子要谈论什么，然后依据句子所谈论的东西是否如句子所说的那种情况，来确定句子是不是真的。这条思路实际上承诺了实在优先于真。这种优先性要求我们把真理解为与实在相符合。但我们知道，这正是弗雷格在论证真这个概念不可定义时所否决的思路。
通过否决这条思路，弗雷格要求我们仅仅通过语言，或者更确切地说，仅仅通过句子，来达到实在。对照上述理解就会看到要点所在。要能够先就确定句子所谈论的东西，我们必须拥有一种非语言的手段来获知实在，比如通过感觉或者柏拉图式的“回忆”。但是，这种非语言的认知渠道为语境原则所排除。只要同意弗雷格的逻辑理念，知识就只能通过逻辑获得可靠性。
当然，要从真句子出发确定实在，还需要指称具备同一性，也就是说，应当能够指出哪个表达式与哪个表达式的指称相同，并进而对其运用替换原则。这是因为，惟其如此，我们才能说含有相应表达式的句子具有确定的真值。这还是因为，满足替换原则就意味着，表达式所指称的东西是独立于语言而存在的。
一般而言，一个句子是否为真，是与其中的表达式指称相联系的。但我们可以区分两种情况，其一，句子真值仅仅与所指称的东西相关，其二，句子真值与指称的方式相关。在第二种情况下，我们不能从句子推导出实在是怎样的，因为实在应该独立于指称的方式而存在。比如，“屋里的人数必然大于14”这个句子是假的，因为有人离开后，屋里的人数就会小于14；但是，“16必然大于14”这个句子却是真的。这里，同一个东西，即16这个数，是以两种不同的方式指称的，而这种差别改变了句子真值。在这种情况下，我们不能推论说，16这个数是实在的。
要使指称具备同一性，表达式就必须是名称，而不能是谓词。原因是，同一性在形式上是一种关系，在表达式上体现为谓词，因而具有同一性的东西就只能用名称来表示。依据句法优先性，具有同一性的东西只能是对象。
若忠实于同一性这个标准，我们也可以通过使用量词来确定实在中有什么。在定义一个量词时，必须规定定义域，即约束变元的取值范围。如果定义域中的值能够建立同一性，那么约束变元也可以说对应了实在之物。不过，一般人们会倾向于使用存在量词。如果相应句子是真的，那就可以保证定义域非空。
从真到达实在的思路会引起人们通常所说的“抽象对象问题”。用来区别抽象对象与具体对象的标准是非常模糊的。有人使用感官知觉作为标准，可以感知的为具体对象，否则为抽象对象；也有人使用因果作用为标准，能够与其他东西发生因果作用的为具体对象，否则为抽象对象。不管哪个标准，都不与从真句子出发建立的逻辑标准重合，这样，按照弗雷格的方式就要承认抽象对象存在。如果关于算术的逻辑主义计划成功，那么自然数就是这样一类要承认其存在的抽象对象。

所谓“抽象对象问题”是指，如果标准的认知途径是通过感官（从而通过与感官的因果作用）来获得知识，而抽象对象不能从这一途径达到，那么它是如何被认识的呢？这个问题对弗雷格来说似乎是不可避免的。他可以回答说，抽象对象是通过逻辑被认识到的。但这个回答等于说推迟了问题，因为我们还是可以问，通过逻辑获得知识，这是什么意思。这个问题关系到，在弗雷格的逻辑主义框架下知识究竟是什么。而这对逻辑主义计划来说，是一个非常基本的问题。

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参考读物：
1）Frege: Begriffsschrift (part), in The Frege Reader, pp. 56-78;2）Michael Beaney: 􏰂“Frege’􏰀s Logical Notation”􏰃, in The Frege Reader, appendix 2.

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