火箭的斑斓(1)---马赫盘

查看原文

其他

火箭的斑斓(1)---马赫盘

Original 洞穴之外理念世界的影子 2021-06-23

公众号：理念世界的影子

文不可无观点，观点不可无论据。

转载请注明出处

火箭的斑斓(1)---马赫盘！本系列一起探讨几个火箭飞行中奇特的图案、颜色等。

看火箭发射，没有人会不被震撼到。火箭起飞时，感受着空气一波一波地撕扯着你的衣服，抖动着你的皮肤，看着尾焰吐出一圈圈的魅蓝，懂行的人说，这是马赫盘（或马赫环、马赫杆）。

下图可能是最出名的马赫盘，来自X-1，世界上首架超声速飞机。

图 X-1飞机及其马赫环

下述视频来自美国2007年开展的液氧-甲烷发动机试车。

视频液氧-甲烷发动机试车(https://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2007/04may_methaneblast/)

为什么有马赫盘呢？

推荐书目：

张瑜《膨胀波与激波》
Joel Smoller《Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations》

当然，公众号只写空气动力学行为十分枯燥，笔者在里面插科打诨一些话题，尽量多一些点击量吧。全篇分为三个部分：

那被风吹散的声音、黑域
激波、一阳指、交通流、旋臂星系和社会激波
脱体激波、如来神掌、激波反射和马赫盘

那被风吹散的声音、黑域

气流冲过物体（或物体在气流中高速运动，两者是一致的，只是换个参照系看）被扰动会产生声音，扰动以声速传播，并与来流速度合成。

图马赫锥示意图

来流速度比声速小时，声音可以传遍空域；
来流速度等于声速时，声音无法达到物体前，即只有物体后面能听到干扰产生的声音，物体前面听不到。这儿的声音真的是被风吹散了，彻彻底底地吹散了；
来流速度大于声速时，声音进一步被压缩到一个锥面内，它是奥地利物理学家Ernst Mach于1887年在分析弹丸扰动的传播图形时首先提出的，因而得名。

《三体》面壁者22，林格终于注意到斐兹罗：“将军，我大概解释一下吧：那三颗恒星周围有一片星际尘埃，这之前，有一批高速运动的物体穿过了这片尘埃，它们的高速冲击在尘埃中留下了尾迹，这尾迹不断扩散，现在其断面直径已经扩散到两个木星大小，尾迹与周围的尘埃只有细微的差别，所以在近处是看不到的，只有在我们这四光年远的位置，它才能被观察到。”

马赫锥是一个声音穿不透之墙，墙内汹涌呼啸，但墙外风平浪静，这是一道无形之墙。

在《三体III》中，罗辑和程心开展了关于制造“黑域”的谈话：这就是黑域，生成容纳太阳系的黑域需要一千多艘曲率驱动飞船...，它们产生的航迹在扩散中连成一体，形成一个笼罩整个太阳系的球体，这个球体中的光速为16.7km/s，这就是低光速黑洞，就是黑域。

在《三体》中定义的黑域中，物体无法逃离万有引力，这些飞船划过的航迹，也形成了一道和马赫锥类似的无形之墙。人类就是通过这种方式，在黑暗森林中宣誓自己是无害的，因为黑域是永远无法逃离的区域。而在黑域外，幽灵般地潜行着无数带枪的猎人。

注：关于“黑域”存在的合理性，它和精细结构常数、核力强度、电子速度等均有关，具体可参看李淼的《三体中的物理学》，约翰·D·巴罗的《大自然的常数》。稍微与航天相关的是，16.7km/s这个数用的不好，因为太阳系的逃逸速度是42km/s，地球绕太阳的公转速度为30km/s，合成后地球上只需要提供16.7km/s的速度增量即可。采用16.7km/s，难道地球不公转了？难道电子不转了？

激波、一阳指、交通流、旋臂星系和社会激波

激波的物理解释

声音是一种扰动，也是一种通知。扰动以声速向外广播，通知有东西要来了。

当来流或来的物体速度超过声速时，通知就来不及了，在空气听到“有东西”来了之前，就被东西给撞倒了，撞击太突然，来不及躲，就产生了激波。

红楼梦第四十四回，贾琏趁王熙凤过生日和鲍二家的偷情，结果王熙凤走到穿廊下，贾琏房里的小丫头看见她回身就跑，准备回去通知，被王熙凤当场发现，并火速赶回去抓奸在床。这就是物体速度快于通知速度，于是便产生了激波。

当然，上段是开玩笑，与真实物理过程半毛钱关系都没有。物理上，Mach最早给出了一个解释。

图一维管道内激波的生成

如上图，在一维管道中推动活塞，活塞往前运动时压缩附近空气，并以当地声速传递干扰。“当地声速”的意思是，空气被压缩时，温度略有升高，声速会变大。这样产生一个现象，活塞持续运动，附近空气被持续压缩，且在之前升温基础上继续升温，导致声速越来越大，活塞附近干扰传播速度比后面的快，这样，后面的扰动持续追赶前面的扰动，只要时间足够长，最终所有扰动会同时达到，形成一道激波。

一阳指的科学原理是激波

一灯大师等使用的一阳指，其中的科学原理就是激波呀。

不同的是，在一维激波管中，只要存在运动终会产生激波。在三维中，波后的高压气体将向四周运动，导致波后气体压强下降，后面扰动追到前面的扰动时间就会越长，距离就会越远，甚至到无穷远处才会形成微弱压缩波，已经没有什么威力了。在三维中，只有超声速运动，才会产生对敌攻击有效的稳定激波。

因此，一阳指虽然谁都练，王重阳和一灯大师用出来是一个威力，段正淳用出来是一个威力，而朱九真用起来则又是一个威力。归根结底还是功力，还是速度。天下武功唯快不破嘛！

图一阳指靠的是激波

激波间断的特征线解释

又扯远了，收回来，笔者在理解激波时，存在三个疑问：

第一是后面的就不能超过前面的？这点好理解，因为后面的赶上了前面的，当地声速就和前面的一致了，因此不会超过；

第二是压缩波为什么会同时到达？就不能分两个波次、三个波次等到达吗？其实也好理解，再考虑这几个波次，后面波次速度仍比前面波次快，仍会追上前面波次。超又超不了、躲又多不掉，最后只能无限叠加形成一道激波了；

第三是形象归形象，物理归物理，数学上这个间断解怎么理解？可以采用反证法。

考虑无粘Burgers方程（方程与描述流体运动的Navier-Stokes方程之间关系不再详述）

反证法中，假设解u是连续（一阶可导）的

则在曲线，或称为特征线上，

存在

所以在曲线上，

即上述特征线为直线，在特征线上，u为常数

以如下初值u(x, 0)=1-cos(x)为例

以x为横轴，t为纵轴画出特征线，特征线的斜率为u=u0的倒数，它以2π为周期，因此总会相交。在所有特征线上，u均为恒值，在上述初值下，这个恒值同样以2π为周期。

图 t>1时特征线相交

记下u在t=0时的初值，再以一条平行于x轴的直线往上推，它与每条特征线的相交，记下此时的x坐标，就刷出了此时刻方程的解u(x, t)。

因此，在t=0时，u=1-cos(x)，当t>0时，u的值不变，但同一值对应的x值已随着特征线移动了，感觉就像特征线被一股力在往右拉，可是再怎么拉，x=2π时总有u=0。因此，随着时间推移，因此在t>1，在同一x点上存在两个值，如两个速度、两个压力等。显然这不是物理真实的解。

图 t=0, 0.5, 1, 1.3时刻时u的形状

此时产生了矛盾，即在上述初值下，假设u是连续的不成立，它必然是不连续的，即存在间断。真实的解将在特征线相遇后合并，此时参数不再连续，而是出现前后掉崖式变化的波间断。

图 burger方程真解，特征线相交情况

图 burger方程的真解，存在间断

激波在数学上是一个没有厚度的间断，但物理上，由于粘性效应等，它会形成一个非常薄的区域，如针对空气约为10纳米厚度。在这个厚度的前后，各特征线信息丰富。而在这个厚度内，这些信息被极度挤压、融合、摩擦，产生了大量的热，宛如掉进无尽的黑洞，信息消失，系统熵增。

交通流与激波

激波现象无处不在，下图是1975年航拍的交通图，看到中间的间断了吗？在高速上，没有事故，没有停顿车辆，道路却会莫名其妙地突然出现“幽灵堵塞”，很长一段时间过后，车流又会毫无征兆的顺畅起来。

图幽灵堵塞

大量车辆组成的交通流可以看成可压缩连续流体力学进行研究。红灯时，车辆陆续停车排队形成密度高的队列，绿灯时，排队车辆陆续疏散，车流中两种不同密度部分的分界面掠过车队传输，这个密度波的波动沿道路移动的速度称为波速。

密度波波速是由什么决定的？是由车距、消息传播时间和人的反应时间决定的。当车速比波速快时，就会导致激波产生。

在拥挤的公路上，很可能仅仅由于某个司机急刹车、突然变道或者超车，造成短暂的停顿，就会在这辆车的后方引发一连串的停顿——这条道路像撞上幽灵一样发生了堵车，如下视频所示。

视频交通流和幽灵堵塞（http://math.mit.edu/projects/traffic/）

假设车距为50m，哪怕第一辆车慢下来后只需要2秒钟就能再加速，后车反应时间为0.1s。波动速度至少为50/(2+0.1)*3.6=86km/h，若车速比这个快，就会产生激波。到最后一辆汽车启动时，所需的时间可能就要几十分钟了。研究显示，如果处于繁忙的高速公路上，那么一名新手司机的急刹车就可能引发一场“交通海啸”，受影响的路段可长达80公里。

从激波角度看，解决交通激波的方法有什么呢？

一是降低车速，车速降到波速之下，反而不容易大堵车；
二是加大车距，从而在相同的再启动时间内，加大波速；
三是减少反应时间，如采用自动驾驶等。

自动驾驶的极限情况是一段道路范围内的所有车共享消息，所有车同时刹车、同时启动，此时相当于将车距增加到这段道路范围，同时将启动时间降低到无穷小，从而将波速提高到一个极大值，杜绝“幽灵堵塞”和其他堵车现象的发生。

星际空间与激波

星际空间也存在密度波，以下引自流体力学大师、密度波理论的建立者，林家翘的《星际螺旋结构理论》p39: 在恒星形成时，由于气体穿过旋臂流动，气体必须在一个比较短的时间内凝聚成恒星，为什么气体在星系内流动时还处于自由状态，而在旋臂区域会突然地塌缩称为恒星呢？我们的答案是这样：当气体流过极小引力势区域时，密度突然增加，就在星系的尺度上形成“激波”。这样一种“激波”确实预示着沿狭窄的规则“阵面”会形成恒星，并使明亮的HII区就像“一串珠子”那样分布在一条狭窄的曲线上(Morgan, Osterbrock和Sharpless, 1951)。

社会学与激波

激波无处不在，以传播学为例。笔者将信息传递的速度视为运动速度，而每个人对事物都有个接受的程度，这个程度可视为声速。当信息传递比较慢或少时，第二个信息尚未到时，第一个信息已经基本被淡忘，此时就不会产生多大反响。但信息纷至沓来，一波未平一波又起，这些信息在心中大幅激荡，就形成了激波。众口铄金,积毁销骨,三人成虎,曾参杀人。就是信息传播上的激波。

如Falcon Heavy首飞，如张小平事件等，都是传播学上的激波。传播学激波怎么防？显然一是降低信息传递速度，如断网等，就像伊朗对待颜色革命；二是提高声速，即提高对信息的耐受度。如秦武王派遣甘茂前去攻打韩国重镇宜阳，甘茂临行前和秦武王讲了曾参的故事，秦武王明白了甘茂的意思，便与甘茂以息壤发誓，势必不惜一切代价支持甘茂作战。战事一打就是半年，朝中果然流言四起，而秦武王也在一场场流言之中意志松动，有心召回甘茂。甘茂接到秦武王的命令之后，仅仅在回书中写道：“吾王可忘息壤之盟乎”，秦武王听后羞愧难当，命令大力士乌获孟贲统军五万，增援甘茂，终于打开了通往洛阳的大门。史书上都说，这是“人言可畏”的典型案例。

但笔者从科学角度看，可将甘茂瞎扯为古代的流体力学大师，在无法改变运动速度的情况下，通过改变当地声速，找到了预防“社会激波”的手段，通过科学的应用，成功地获得了战争的胜利。

同理，“七年之痒”是什么，无非就产生和消解矛盾这两个速度的不匹配导致的激波间断。要解决七年之痒，一是通过成长减少矛盾产生速度，二是通过增加修养增加矛盾消解速度，懂点科学咱就好办事了。

脱体激波、如来神掌、激波反射和马赫盘

附体激波与脱体激波

扯远了，又扯远了，回归正题。马赫盘是什么回事？还得再铺垫一下。

其实前面的两段有个矛盾，第一段说干扰下形成马赫锥，即如下图所示：

图斜激波

而在活塞的描述中，在一维空间内，被压缩气体在活塞之前形成一个激波；在三维空间内，由于被压缩气体向两侧移动，激波将向两侧延伸。但越靠外侧，波后气体的压强越小，激波强度越弱，所以激波运动的速度也变小，故形成两侧逐渐向后倾斜的激波，即弓形脱体激波。

图弓形脱体激波

在普法战争期间发现，大炮射击速度高时能听到两声响，而速度低时仅能听到一声。同时发现，法国军队新式高速子弹射击时产生火山状云。比利时弹道学家Meslen将后者解释为子弹之前的弓形激波，Ernst Mach对此十分惊奇，并通过试验验证了这种解释的正确性。

图子弹前弓形激波

就像周星驰的如来神掌，就是一个弓形激波。

图如来神掌弓形激波

两段说的激波，一个是附体的，一个是脱体的，到底哪个正确？两个都正确，马赫锥代表了无穷远处的行为，而在物体局部，则既可以形成附体激波，也可以形成脱体激波。

当物体的尖顶角不很大时，物体对气体的压缩作用较小，如果激波运动速度小于物体的运动速度，激波会附在物体的前端，形成附体激波。
当物体的尖顶角增大时，物体对气体的压缩作用变强，激波强度与激波运动速度随之增大，它起初表现为β角的增大，大到一定程度，当激波中间部分的运动速度超过物体运动的速度时，激波会跑到物体的前面，形成脱体激波。

具体可看下图，附体激波只能存在于彩色区域。当偏转角δ与Ma数匹配时，形成附体激波，当偏转角δ太大，或同一个偏转角，但Ma数较小时，都无法找到对应的激波角β，此时只能存在脱体激波。

图二维斜激波角度与偏转角关系图

激波反射

气体从过膨胀喷管（出口压力小于环境压力）中喷出时，被环境压力压缩，形成一道斜激波。如下图所示，I区气流经过AC和BC两道斜激波，气流内折角度δ进入II区和III区。如果M2和M3仍大于声速，气流相交于C点。以AC激波为例，为认识清晰，可假设上下完全对称，考虑对称性，它相当于以偏转角δ冲到壁面，于是会再产生一道激波CD。如下图所示。

图激波反射示意图

马赫反射和马赫盘

如果气流的偏转角δ较大，或者来流马赫数M1较小，那么气流通过激波AC和BC后，M2和M3进一步降低，如果在“二维斜激波角度与偏转角图”的彩色区域中找不到激波角时，将在相交点C之前形成脱体激波，即马赫反射，如下图所示。

激波达到AN和BN’，之后变为NR和NQ两道激波，NR与中心面垂直，由于激波经过NR和NQ汇合，两侧速度不等，会形成NT交会面这个速度滑移面。同时由于NQ和NR均为曲线激波，因此经过这两个面后气体参数不同，波后将会形成有旋流场，也就是马赫盘后面会看到的拖尾的形状。

图激波马赫反射及马赫盘的形成

图火箭发动机点火后形成的马赫盘

第二、三道马赫盘

这也是下图中的第一道红色弓形激波，即第一道马赫盘。气流经过NQ斜激波后经过压缩，压强大于大气压，在边界与大气相遇时，形成膨胀波QS，压力降低，此时气体与外界压力和流向相同，但上下气流间又不同了。在S点，气流分别向上下流动，会形成一道真空，为避免此道真空产生，气流会产生膨胀波SC，压力继续降低。并再次重复喷管出口的故事，形成第二道马赫盘。

图过膨胀喷管及其马赫盘

当喷管为欠膨胀，即出口压力大于环境大气压时，相当于少了上图的A~Q部分，气流经过膨胀和压缩波后，仍会形成马赫盘。

图欠膨胀喷管及其马赫盘

按温度画出马赫盘图见下所示，红色表示高温更高。

图马赫盘附近流场温度

随着流速的降低，以及空气阻尼，马赫盘将逐渐消散，如下图所示。

图马赫盘的消散

最后，再来欣赏一道马赫盘生成的盛宴吧。

视频马赫盘形成过程(https://mp.weixin.qq.com/s/pDNRDTPVXBHVuRKClrradw)

这就是火箭发射的斑斓(1)---马赫盘。它除了吐出一圈圈魅蓝外，还会一波一波地撕扯着你的衣服，抖动着你的皮肤，震撼着你，让你感受到地动山摇，你一定会拜服在这种伟力之下！

人，一辈子，一定要去看一次火箭发射！

往期文章：