全国第六届高中数学比赛一等奖：立体几何序言及点评课

本文及笔者的评论：《引言课怎么上----立体几何引言课评析》刊于核心期刊《中学数学教学参考》2016.5    

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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        立体几何序言课

          上海市文来高中  夏璡

一、 对本节课的教与学的基本认识

(一) 教学重点

初步了解立体几何研究的主要内容和方法.主要内容包括：作图与识图；空间中基本元素（点、线、面）间的位置关系(线线、线面、面面关系)度量关系（距离、角、面积、体积等）.主要思想方法体现在：类比思想、空间问题到平面问题的转化与化归的思想.

（二）教学目标设置

1.直观感受空间图形中的点、线、面间的位置关系和度量关系，了解立体几何的研究对象和内容.

2.体验平面到空间、空间到平面类比和转化思想，发展由直观到抽象，由平面到空间的想象能力.

3.了解我国古代立体几何的研究成果，产生爱国主义情感，增强学习立体几何的热情，树立学习立体几何自信心.

（三）学情分析

在知识层面上：初中阶段学生已直观地认识了正方体、长方体、圆柱、圆锥等几何体；从方法的层面：学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了类比与转化思想.

学生在学习过程中,也可能会遇到困难：空间问题难以转化为平面问题，通过几何体的直观图难以想象几何体在空间中的具体结构，思维容易受平面图形的干扰，缺少在三维空间条件下进行思考的经验等.故本节课教学难点设定为：学生从平面图形到空间图形认知的转变.

（四）教学策略分析

1、帮助学生寻找直观支柱

引导学生观察思考生活中具体实例，利用实物模型，归纳空间图形基本元素间的位置关系；运用信息技术展示空间图形，搭配相关文字说明、动画、音像等形式呈现丰富的教学情境.

2、加强作图、识图能力的培养

通过观察实物教具，运用信息技术，展示空间图形的直观图，引导学生观察、想象，由直观图想象空间图形的形状和结构，进而在观察的基础上引导学生从不同的角度来识图，并借助直观图进行简单的计算，体会从平面概念到空间概念的转化.

3、运用类比转化的思想实现知识的迁移

从学生较为熟悉的长方形、长方体入手，引导学生观察、思考空间图形和平面图形之间的诸多相似性，从平面问题出发，用类比的方法，以问题串的形式引导学生猜想.

二、 教学过程

（一）、情境引入

观看3D视频. (以下截图1-5依次是：城市交通立体图，建筑结构图，蜂巢结构图，地球卫星图，多面体等)

三、 教学反思

（一） 序言课要体现统领全局的地位

一章数学讲解的良好开端，不是急于进入知识的讲解、技能的训练、习题的演练、试卷的讲评，而是需要创设合理的生活情景，激发学生的学习兴趣，理清全章脉络.

（二） 序言课在教学手段和教学策略上要多元化创新

序言课在教学方式上需要多元化.比如在教学手段上，教师在备课时不仅要关注教学用书，教学用资料，还要充分运用直观教具，现代化教学手段，创设情境，调动学生学习积极性.与其它课一样，序言课还应注意运用多种教学策略.教师应在序言课中积极组织和调控各类教学活动：小组讨论、视频学习、探究式学习等等不同形式.

（三） 序言课在教学方法上要灵活.

序言课是对整个章节提纲挈领的指引，对知识方法的铺垫.既具有知识和技能的落实要求，又有对以往知识的回顾、对今后学习的展望，并实现知识的拓展、能力的延伸.因而，在教学方法上，教师需要运用语言对学生系统讲读、讲述、讲解、讲演知识；还要通过问题和学生的对话引导学生思考、探究；综合运用各类整合资源，展示实物、教具、进行试验等等.

（四）针对学生具体的情况的差异，做出适当的调整.

序言课的教学特别还需注意学生的个性差异.比如偏文的学生和偏理的学生在兴趣点和关注点上有较大的不同.在本节课的教学实践中，不同学习水平的班级学生的课堂反应有明显差异.理科班级的学生对祖暅原理产生了强烈的兴趣，很想一探究竟.而文科学生对立体图形画法更有想法.有位学习美术的同学一下课就来找我探讨正等测画法、斜二测画法和她在美术中学习的光学透视画法的区别与共性.   

（五）注重数学史的渗透，关注课程内容的思想性和人文性.

章节序言课介绍了章节内容的起源、发展，十分适合选择一些有趣的数学发展史中的故事融合进课堂.数学史的渗透传授了知识，更树立了一种理念，充分发挥了数学课的育人功能.在学生了解数学应用价值的过程中，体验了数学的人文价值.

在立体几何序言课的教学中，通过祖暅原理的历史介绍，引导学生去思考球的体积公式.教学效果十分显著.课下有位学生从祖暅原理、刘徽“割圆术”主动探究钻研到阿基米德的“穷竭法”、微积分的初步.学生的探究钻研的热情是教师远远没有想到的.

（六） 避免面面俱到

章节序言课要实现多方面的目标，但还是要根据教学内容本身的特点和学生的情况，有所侧重.这节立体几何的序言课，在备课初期面面俱到，预想在每个立体几何重点知识和思想上都有所涉及.可试讲的结果成了名符其实的百科课程.学生抓不住主线，课后收获散乱.因而，在序言课程设计中需要粗线条，突出知识体系中的关键点，大胆“留白”，通过后续的课程使其逐渐丰满，再在后续课中从众多枝叶中理出枝干.

    引言课怎么上----立体几何引言课评析

       ----评夏璡老师的立体几何序言

          上海市七宝中学 文卫星

新教材在数学分支开始前有引言，每章开头有章头语，介绍本分支或本章的主要内容和相关发展史，使学生了解即将学习的内容及其应用，并以此激发学生的学习兴趣.由于教材内容相对简单，寥寥数语高度概括，感觉没有多少东西好讲，但若细想，查查资料，又感觉有很多东西要讲，难以割舍，一节课安排不下.总之，这样的课不知道怎么上.以下结合夏璡老师的立体几何序言课谈些看法，供同行参考，以期抛砖引玉.

1．为何要上引言课

数学引言课的主要目的是在学科分支的第一节课上带领学生“游花看景”，向学生介绍为什么要学习这门学科（为何学习），通过对一些简单有趣而又典型例子的分析，揭示其主要知识脉络（学习什么）和思想方法（怎样学习），并展示相应地数学文化（愉快学习），同时对后续学习中可能出现的困难也要有所提醒，让学生对即将学习的内容充满向往，翘首以待新课程的学习.

2．怎样上引言课

2.1 精心设计激发认知冲突的引入

“好的开始是成功的一半”.引言课伊始若有一个既紧密联系即将学习内容，又能激发认知冲突的例子，引导学生去观察、思考、感悟，使学生感到已有知识无法解决所提出的问题，迫切需要新知识、新方法解决新问题.

本课中，夏老师通过3D视频，向学生展示现实生活中的立交桥、宏伟的建筑、美丽的蜂巢等，让学生在欣赏视频中就感受到为什么要学习立体几何----仅局限在平面中，我们就没有生存空间了，艺术地说明必须“冲出平面，走向空间”，于是，学习立体几何的必要性和迫切性就凸现出来，无需多费口舌.在视频的最后，带领学生把目光集中在几个几何体上，这是以前初中学习过的，由此顺势引出即将学习的新学科----立体几何.

这段视频给人以赏心悦目，酣畅淋漓之感，上课一开始就牢牢地吸引了学生，为后续做好铺垫.如果作为平常的一节课，没有3D视频，用ppt展示类似图片，甚至不用ppt，“用6根火柴最多能搭三角形”也能达到“冲出平面，走向空间”目的，关键在于教师的教学理念，手段是重要的，但不是最重要的.

2.2 搭起知识框架

引言课要通过一系列具体问题，搭起所要学习的学科分支的知识框架，让学生了解即将要学习哪些知识.例子既要具有科学性，还要具有趣味性，这样学生能从中一斑窥豹的了解即将学习的重要知识点和常用思想方法，对学生才有吸引力，才能使学生对引言课保持较高的兴趣.

本课中夏老师让学生从看达芬奇的名画开始，引导学生理解画作是实际物体的直观图、从折纸的直观图想象实际图形可以有不同的结果，而利用直线衬托后则不再出现这种情况，引出画直观图时看得见的线为实线，看不见的线为虚线（或不画），自然流畅，可以总结为“眼见为实，不见为虚”，在引言课就强调，以防学生受平面几何影响把辅助线化成虚线.

接着通过实例让学生得出立体几何的基本元素是点、线、面，并演示点动成线，线动成面，面动成体，这时立体几何“家族成员”都出场了，也就是立体几何的研究对象学生都知道了.然后就是研究它们之间的位置关系和度量关系，夏老师通过正方体让学生说出直线与直线之间的关系，由于学生是没有异面直线的概念，但发现有两条直线“既不平行也不相交”，与平面几何比较出现认知冲突，达到让学生在“迫切愿望下学习”的目的，给学生留下深刻印象，至于几何体的表面积和体积小学和初中已经出现过，只不过要求不同而已.

2.3用浅显的例子说明深刻道理

用浅显的例子说明深刻道理是引言课最精彩的部分.对于本课来说，就是通过具体问题说明怎样学习立体几何.夏老师通过平面几何问题迁移立体几何中，引入类比的思想，类比所得结论可能正确，也可能不正确，虽然正确现在不能证明，但可以举出反例来否定错误的类比.这就给出一种探究问题的方式----通过类比提出新问题，再证明或举反例否定.本课用割补法推导圆面积和祖暅原理的两个例子承前启后，虽然学生对祖暅原理一时不一定很理解，但只要能理解其大意，并不影响对类比思想的理解.这是引言课的特点决定的，不必某个细节都要学生理解.

另一种常见的思维方式就是把立体几何问题转化为平面几何问题来处理，简称“化空间为平面”，所举的两个例子能很好地说明观点.

还可以简要提及反证法，因为这是进入立体几何学习刚开始就要使用的方法.

3．以思想和文化提高教学品位

仅有扎实的数学知识和能力的教学还不够，还要让学生体会到这样教学是在一定的思想指导下进行的，这里的思想是指哲学思想或数学思想.同时还要融入数学文化，这不仅能使学生感受到数学的美，提高学习数学的积极性，还能帮助学生加深对所学知识的理解.

3.1 显性思想与隐性思想的统一

数学思想（比如数形结合、转化与化归等）是显性的，学生容易感受到，而显性思想背后孕育的育人则是隐性的，需要老师实时点拨，尽管这种点拨是“顺带”加以“发挥”，但学生感受可能很深.

比如，折纸的图形可以想象出不同的实物，老师评价道：同样一个现象从不同的角度看会有不同的结论，各自都有道理，所以生活是多姿多彩的.

直观图中眼见为实，不见为虚，虚实结合构建完美图形，学会欣赏美.迁移到生活中就是既要求真务实，又不目中无人，学会尊重人.

寥寥数语，使得学生对问题的理解可能会上升一个层次.

3.2 展示数学文化的魅力

文化，与自然之物相对应，是人类创造的精神产品.数学是人们通过对客观世界的研究，抽象其数量和图形特征的共性，运用符号语言，在公理、定义的基础上，通过推理得到相应的结论，不仅具有科学性，也具更有人文性.人文性可以体现在各个教学环节之中.

在本课中，夏老师通过数学史、3D视频、亲切的教态等在一定程度上展示了数学文化的魅力，收到很好的效果，倘若在相关阶段在做一些精当概括，则会更好.

比如，在讲完立体几何的研究内容和位置、度量关系后，以拟人化的口吻说：我家基本成员：点、线、面，扩展成员柱、锥、台、球.基本关系：相交、平行、异面，还有点在线、线在面，面围成体，扩展关系距离、角、面积和体积.在识图、画图及两直线位置关系（异面直线）教学之后总结道：眼见为实，不见为虚作美图；公理定义，各种性质推出来.在讲完类比、转化的思想方法后总结道：类比平几得性质，是否正确需证之，空间转化为平面，书写表达不容易.

这些既揭示本质又朗朗上口的表述，将有助于学生对所学问题的理解，也提醒学生立体几何的书写有时较困难，需要有思想准备.

3.3 课堂小结

一节课的小结是点睛之笔.既要以简洁、优美的语言、图表准确概括本课的基本概念、重要的技能、思想方法，还要提炼这些知识、思想方法后面的育人价值.

本课中夏老师的小结对前者做得非常好，以树图（平面形式）的形式概括立体几何的研究对象、内容和方法，还以手指为模型的三维坐标生动形象地加以说明（三维坐标也是“垂直于同一条直线的两条直线平行”在空间不成立的反例），便于学生加深对所学内容的理解与掌握，是高超的教学艺术.要锦上添花，还可以再能把这节内容概括为：

冲出平面向空间，点线面体尽开颜，类比转化反证法，迎接挑战不等闲.

第一句点题，二、三两句分别指出立体几何的研究内容和学习方法，第四句鼓励学生充满信心学好立体几何.

提高课堂教学品位，不仅要有扎实的知识教学和能力训练，还要体现一定的哲学思想或数学思想以及相应的数学文化，即知识适度、思想高度和文化厚度.做好这“三度”，数学教学就会血肉丰满，有思想、有灵魂，有助于学生体会学习的意义和人生哲理，真正做到教书育人.

参考资料

1．文卫星，立体几何引言[J]，数学通报，2005.5

2．文卫星，高中数学引言课[J]，中学数学教学参考，2011.11

3．文卫星，高中数学引言课教学设计[J]，数学教学通讯，2001.9，又见人大书报复印中心“中学数学教与学” [J]2002.2