2019年晋江九下质检试题第16题——（与三角形、四边形、圆、相似、函数相关的最值问题）
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2019年晋江九下质检试题第16题
【2019·晋江二检】如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是________.
【图文解析】
注意到：
（1）本题的已知条件非常规，非独立条件．
（2）多直角——直角相关的，有矩形、圆、一线三直角，三角函数（常法）等．
【法一】首先想到的是“设元”，使已知条件变得相对“舒服”，再通过三角函数或相似转化为函数最值（或取值范围）问题．如下图示：
【法二】注意到本题多个直角，将图形补完整，可以得到最常见基本图形——直角三角形中嵌入矩形（或称内接矩形）．
此时，显然有下列结论（务必熟练掌握）
同时已知条件中的非常规条件，顺利转化为常规条件：AC＝6，BC＝8．进一步，得到△ABC是一个可解的“直角三角形“（即任意两个（至少一个是边的条件）确定的条件均可求出所有相关的结论．
而且所求的EF的长又可转化为求PC的长，显然PC的取值为4.8≤PC＜8（当PC⊥AB时，PC最短），从而4.8≤EF<8．
（显然这种解法最简练）
当然本题也可以“建系“或”辅助圆“来解决，还可以通过添加”平行线“，将所求的线段进行平移……，还可以通过对称、旋转（相似）……
【拓展1】如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，tanA=3/4，则线段EF的取值范围是______.
【拓展2】如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AB＝10，tanA=3/4，则线段EF的取值范围是______.
【拓展3】如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠PFB＝90°，∠EPF＝120°，若AB＝10，tanA=3/4，则线段EF的取值范围是______.
（有点难度，需要好好体会上述的解题思路，才可解出）
【拓展4】如图，点P为线段BA延长上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠PFB＝90°，∠EPF＝60°，若AB＝10，tanA=3/4，求线段EF的最小值.
（有点难度，需要好好体会上述的解题思路，才可解出）
【还能…】如果上述的90°的角改为其他“确定“的角（如其正切值为5/3）呢？……
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【同类题】如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作等边三角形，……
【反思】基本图形、基本思路！你从上述的解题中得到什么启发？请留言分享！
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