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2019年福建省名校联合模拟试卷一第25题(直角三角形与圆)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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2019年福建省名校联合模拟试卷一第25题


(注:受邀于4月21日在南安进修校为这场考试做质量分析和今后教学思考的讲座,下面内容是这场讲座中的部分试题分析与思考)

【名校联考】如图1,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,点D是AC边上一点(不与C重合),以AD为直径作⊙O,过C作CE切⊙O于E,交AB于F.

(1)若⊙O半径为2,求线段CE的长

(2)若AF=BF,  求⊙O的半径;

(3)如图2,若CE=CB,点B关于AC的对称点为点G,试求G、E两点之间的距离。

【图文解析】

试题背景(题干)简要分析:

根据条件,△ABC可解,相应的∠A和∠B的三角函数值等所有与△ABC相关的结论均可求出.

(1)如下图示,可由勾股定理直接求得CE的长,CE=4√2.

(2)如下图示:

不难得到∠ACF=∠A,

根据三角函数的定义,得

sin∠ACF=OE/OC=R/(8-R),

sin∠B=BC/AB=6/10.

所以R/(8-R)=6/10.

解得R=3.

(用相似来解,本质相同)


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(3)当CE=AB=6时,如下图示:

(隐藏无关的线段与点,先不理点E在不在AB上,EG是否经过D点,本题的难度正是这些点与线的纠缠不清!)如下图示:

标注上相关数据后,类似第二问,不难得到相关结论,如下图示:

根据勾股定理,可求得R=7/4.

进一步,得OC=25/7,OE=7/4

得到Rt△OCE可解,因此就有了以下解法:

根据面积公式,可求得EN=OE×CE/OC=…=42/25.进一步,得CN=144/25.

进一步,得(如下图示)

最后利用勾股定理,可求得GE=48/5.

当然也通过相似求解.

(注:参考答案的解法与本题的分析不同)


继续思考:

【拓展1】若连接BE,当△BCE为直角三角形时,求⊙的半径.

【拓展2】若连接BE,当△BCE为等腰三角形时,求⊙的半径.

【拓展3】在第三问的基础上,若T是GC的中点,连接AT.

(1)当AT∥CE时,求⊙的半径;

(2)连接DT,当sin∠ATC=4/5时,求DT的长.


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