抛物线与圆（1）——中考备考系列[尖子生之路]
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抛物线与圆（1）
——中考备考系列
【试题1】如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．
【图文解析】
（1）简析：把点A（3，0），B（4，1）代入y=ax2+bx+3，解得a=0.5，b=－2.5.
得：y=0.5x2﹣2.5x+3；
（2）简析：方法多种，仅选一种最便捷的方法，如下图，
所以△ABC是直角三角形.
显然圆心M是BC的中点，如下图示，
所以，圆心M的坐标为（2，2）.
（3）如下图示，不难证明OM∥AB.
因此存在一个位置，使⊙M1经过原点.同时当点M与O点重合时，抛物线顶点D所平移的方向和距离与点M相同.
如下图示，不难得到，⊙M1经过原点时，平移的方向和距离：
【反思】圆心的平移与抛物线的平移一致.
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【试题2】如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．
【图文解析】
（1）法一：如下图示，
不难证得，△ACP∽△AEM，得到AP：AM＝CP：EM＝AC：AE＝1：3，从而得到AM＝3(3+m)，EM＝3n.
进一步，又得到：（如下图示）
此时AM＝6+（9－3m）.
结合上述，可得：
6+（9－3m）=3(3+m)，解得m=1.
所以点P（1，0）.
法二：如下图示，
结合上述两图，得到：
4（3－m）=2(3+m)，解得m=1.
所以点P（1，0）.
（2）连接OC，并结合（1）可得，
【反思】解题的关键通过添加辅助线，构造相似三角形解决问题，并注意方程的思想在解题的运用．
【试题3】如图，已知二次函数y=4/9x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为根号5，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B（ ， ），C（ ， ）；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．
【图文解析】
（1）简析：在y=4/9x2﹣4中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=﹣4，所以B（3，0），C（0，﹣4）；
（2）①当PB与⊙相切即PB⊥PC时，△PBC为直角三角形，如下图示，
其次，常见的“直角构相似”（方法多种，本质相同）和方程思想，当然也可利用三角函数的定义，如下图示.
此时P点的坐标分别为（－1，－2）和（11/5，－22/5）.
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，如下图示，也有两种情况：
下面先证明，E点的运动路径为一个圆，且圆心为BC的中点.
添加如下图所示的辅助线，不能证明两彩色三角形相似（位似）（其中M为BC的中点），同时得到MF＝0.5CD＝定长.
反思：常见的基本图的构造辅助线的方法（多种，但本质相同）务必熟练掌握，同时应注意相似或三角函数的定义、方程思想在几何综合中的运用.
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