正方形与动态问题(2)——中考备考系列[尖子生之路]
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正方形与动态问题(2)
——中考备考系列
【试题1】已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG；
（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG，
①求证：∠ODG=∠OCE；
②当AB=1时，求HC的长．
图文分析：
（1）如下图示，可根据ASA证△DOG≌△COE，即可得到OE=OG.
答案如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD=OC，
∴∠4=∠5=90°，∠3+∠2=90°，
∵DF⊥CE，∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2（同角的余角相等），
∴△DOG≌△COE（ASA），
∴OE=OG．
拓展：
①若E，G分别是直线OB，OC上的动点，如下图示：（结论仍成立）
②若将上述的条件“DF⊥CE”与结论“OE=OG”，结果如何？（试试看）
（2）①如下图示，可通过SAS证△ODG≌△OCE，即可得到∠ODG=∠OCE．
答案如下：
∵OG=OE，OD=OC，
∠DOG=∠COE=90°
∴△ODG≌△OCE，
∴∠ODG=∠OCE．
②如下图示,由①得∠ODG=∠OCE,又∠CDO＝∠BCG＝450,得到∠6＝∠7.
进一步得到△CHE∽△DCH，由相似三角形的性质，可得到：EH：HC＝HC：CD，即HC2=EH•CD. 设CH=x，
则BH=1﹣x，可得方程x2=1﹣x，
反思：正方形、全等三角形、相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
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【试题2】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP=1，则AE= ；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
【图文解析】
（1）如下图示，
不难证得∠1＝∠3，由tan∠1＝tan∠3可得：AE/PA＝PB/BC，即AE/1＝3/4，解得AE＝3/4.（当然也可通过两阴影部分的三角形相似去证也可，本质一样）.
（2）①考虑到“四点共圆”有的教材（如人教版）不作为定理使用，所以此法只做简单说明。本文用“圆的定义”进行解析，如下图示：
根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上一半”可以得到：MA＝ME＝MP＝MO，所以A、P、O、E四点在同个圆M上，所以点O一定在△APE的外接圆上.
用“四点共圆”法不难得：
∠EOF+∠DAB=180°，所以…….
②首先要先确定“被动点O”因“主动点P”的运动所经过的路径是何种图形，然后再确定其所经过的路径长。
动中有“静”，此类最关键的解题思路是：应该想方设法找出与“被动点O”相关的“静”，其实由上小题，已经知道：O点在以EP为直径的圆上，因此可以利用“圆的相关性质”得到∠OAP(点P为“动”)=∠OEP=450(“静”)，如下图示，
由此可得到O点必在对角线AC上动，当点P从点A到点B的运动过程中，点O的运动范围应该是：
显然，应该是对角线AC的一半(可以由起点和终点对应的O点构成线段，得到答案)，值为2×根号2.
（3）本题表面上与上题类似，其实不然，原因是此题中我们所需的点受多种因素(P、E、BC的中点M均为“连动”)，影响，不易找出相应的运动路径，但仍然是动中有“静”，“静”是MN(圆心到AB的距离——题中所要求的)的长与AE的长之间永远有“MN=0.5AE”这个关系。
虽然无法直接用几何办法找到运动路径为何，但可以通过相似、勾股、三角形函数的定义等建立函数关系(或者建立坐标系，动点设定为参数).同时与之相关联的一个重要条件“直角”，为此：
所以x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=1/2×1=1/2.
即△APE的外接圆的圆心到AB边的距离的最大值为1/2． (当然本题也可以建立坐标系，本质完全相同)
其实，本题的M点(△APE的处心M的运动路径是一条抛物线。
【反思】本题是典型的路径相关的试题，路径中的相关问题的两种常用解法(几何法，函数法)在本题都有体现，同时“直角”相关的常用辅助线，在中考中应用太常见了，务必熟练掌握。
变式推广：如果将本题中所含的“两正方形” 类似改为“两等边三角形”呢？改为“其他正多边形”呢？如下图示：
更多……
朋友们，编一下试题，试试看!
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