一般三角形与动态问题（1）——中考备考系列[尖子生之路]
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一般三角形与动态问题（1）
【试题1】问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为．
（1）当AD＝3时，S‘/S＝_______；
（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示S‘/S．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝1/2BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示S‘/S．
问题二：
虽试题背景是梯形，但可转化为三角形，恰好可通过上下底平行的条件，充分利用上述的结论，或直接求解．
常见有以下两种思路转化为三角形.
解法一：分别延长BA，CD，相交于点O．
【试题2】我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点．过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．
（1）等边三角形的“内似线”的条数为__________；
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求证：BD是△ABC的“内似线”．
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别在边AC，BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．
【图文解析】
（1）简析：因原三角形是等边三角形，所以被两交点之间的线段所划分的两个图形中必须有一个是等边三角形，才能满足条件，因此过内心与三边平行的线段即可满足条件，如下图示，因此答案选3.
（2）如下图示，根据等腰三角形的性质，不难得到△BDC和△ABC中的两个内角相等，从而得到△BDC∽△ABC，同时也不难得到BD平分∠ABC，因此BD是△ABC的“内似线”．
说明：本题图形是课本中的一道例题，原题是求△ABC的三个内角度数（此三角形可称为黄金三角形，由题中所设，根据三角形的内角和定理，即可求出各内角的度数为360，720，720）.
（3）先画出符合题意的图形，显然有两种情况，如下图示：
可以通过全等证明，也可以直接利用角平分线的对称性（因I是内心）说明。
因此，只需求第一种情况中的EF的长，就可以直接通过证明说明第二情况的E’F’的长。作为解析试题，本文也分析第二种情况的一般求法。
先求出内切圆的半径（设为r）.
显然(4－r)+(3－r)＝5，解得r=1
下面解析第一种情况：
情况一的EF的求法多种，现在详细分析其中的常用的三种，其他方法大同小异，这里略去：
法一：如下图示，
由∠1＝∠A得：sin∠1＝sin∠A，根据三角函数的定义得：r/EI=3/5，得到EI＝5/3×r=5/3.同理FI＝5/4，所以EF＝EI+FI＝…＝35/12.
法二：先由sinA=1/AE=3/5得到AE＝5/3，所以CE＝4-5/3＝7/3，因此EF＝CE/cos∠1＝CE/cos∠A＝…＝.
法三：如下图示，先求出Rt△ABC的斜边AB上的高CD＝2.4，再利用EF∥AB，得到△CEF∽△CAB，根据“两相似三角形的对应高的比等于相似比”，又得到：EF/5＝1.4/2.4，…….
由∠1＝∠B得：sin∠1＝sin∠B，根据三角函数的定义得：r/E’I=4/5，得到E’I＝5/4×r=5/4.同理F’I＝5/3，所以E’F’＝E’I+F’I＝…＝35/12.
【反思】本题从题干（基本图）到结论，再解法思路、技巧都是最常见的，此类题目往往有多种类似的解法，其中灵活运用三角函数的定义解题，往往会给书写带来方便.
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【试题3】在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，若∠DAB=90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
【图文解析】
（1）简析：(最快解法，其他解法下面分析)
根据“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”得到AB=0.5AC，AD=0.5AC，所以AC=AD+AB.
（2）法一：“补形”——补成与第(1)问相类似的图形，如下图示，
根据(1)的结论，可得：AE+AF=AC，同时可通过角平分线的性质和全等的性质，得CE=CF，AE=AF.
进一步地，(如下图示)
法二 由“600”想到构造等边三角形.如下图示，
得到△ACD≌△ECB，所以AD=BE，因此AB+AD=AB+BE=AE=AC….
或
(文字说明略)
（3）本小题解法多种，类似(2)分析，下面仅提供两种解法.
法一：“补形”——补成与第(1)问相类似的图形，如下图示，
可得到AE=AF=AC/根号2.
如下图示，又可得到：
根据两三角形全等，可得DE=BF，所以AB+AD=(AF+BF)+(AE-DE) = AE+AF= … = AC×根号2. 即AB+AD=根号2× AC.
法二：由“450”想到构造等腰直角三角形.如下图示，
【反思】本题的题干中主要条件或结论涉及到相关的“450、600、900”的角，此类问题的解决往往有多种方法(如对称、旋转、构造特殊图形)，其中构造特殊图形(如等边三角形)是最常见的作法。
【试题4】
问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
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