2019年晋江九下质检试题倒一压轴（抛物线与等腰三角形、增减性）

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2019年晋江九下质检试题倒一压轴

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【2019·晋江二检】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的底边AB上的中线EC放置于x轴的正半轴上滑动，OE＝t，AC＝2√2，经过O、E两点作抛物线y₁＝ax(x－t)（a为常数，a>0），抛物线与直角边AC交于点M，直线OA的解析式为y₂=kx（k为常数，k>0）．

（1）求tan∠AOE的值；（用含t的代数式表示）

（2）当三角板移动到某处时，此时a=1/2，且线段OM经过△AOC的重心，求t的值；

（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+2时，|y₂－y₁|的值随x的增大而减小，当t≥t+2时，|y₂－y₁|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

【图文解析】

（1）不难得到如下图示的相关结论，

在Rt△AOE中，tan∠AOE＝2/t．

（2）如下图示，当线段OM经过△AOC的重心时，OM必为△AOC的中线，得M是边AC的中点．

不难求得，M（t+1，1）．

由于点M在抛物线上，将a=1/2和点M的坐标代入抛物线解析式，得1＝1/2（t+1）(t+1－t)．解得t=1．

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（3）观察下列动画

动画1 

动画2 

动画3 

结合不难得到，当点D的横坐标与点C的横坐标相同，即当x_D=x_C=t+2时，满足条件．

由原点O和点A（t，2），得直线OA为y=2x/t．

把x＝t+2分别代入直线OA与抛物线的解析式，得2(t+2)/t= a(t+2) [(t+2)－t]．

即(t+2)/t= a(t+2)．显然t+2≠0，

两边除以t+2，得a＝1/t．

继续考虑在t≤x≤t+2范围内，

(再次观察动画，体会上述思路)

动画4．

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