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2019年晋江九下质检试题倒一压轴(抛物线与等腰三角形、增减性)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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2019年晋江九下质检试题倒一压轴


【2019·晋江二检】如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的底边AB上的中线EC放置于x轴的正半轴上滑动,OE=t,AC=2√2,经过O、E两点作抛物线y1=ax(x-t)(a为常数,a>0),抛物线与直角边AC交于点M,直线OA的解析式为y2=kx(k为常数,k>0).

(1)求tan∠AOE的值;(用含t的代数式表示)

(2)当三角板移动到某处时,此时a=1/2,且线段OM经过△AOC的重心,求t的值;

(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+2时,|y2-y1|的值随x的增大而减小,当t≥t+2时,|y2-y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

【图文解析】

(1)不难得到如下图示的相关结论,

在Rt△AOE中,tan∠AOE=2/t.

(2)如下图示,当线段OM经过△AOC的重心时,OM必为△AOC的中线,得M是边AC的中点.

不难求得,M(t+1,1).

由于点M在抛物线上,将a=1/2和点M的坐标代入抛物线解析式,得1=1/2(t+1)(t+1-t).解得t=1.

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(3)观察下列动画

动画1 

动画2 

动画3 

结合不难得到,当点D的横坐标与点C的横坐标相同,即当xD=xC=t+2时,满足条件.

由原点O和点A(t,2),得直线OA为y=2x/t.

把x=t+2分别代入直线OA与抛物线的解析式,得2(t+2)/t= a(t+2) [(t+2)-t].

即(t+2)/t= a(t+2).显然t+2≠0,

两边除以t+2,得a=1/t.

继续考虑在t≤x≤t+2范围内,

(再次观察动画,体会上述思路)

动画4.


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